Examkin

Soru

Zorluk: OrtaKüme Problemleri

Bir ilçe tarım müdürlüğüne tarımsal destekleme ödemesi için başvuran 6060 çiftçinin tamamı "Tohum Desteği" veya "Mazot Desteği" kalemlerinden en az birine başvurmuştur. Tohum Desteği'ne başvuran çiftçi sayısı, sadece Mazot Desteği'ne başvuran çiftçi sayısının 22 katıdır. Her iki destek kalemine de başvuran 1212 çiftçi olduğuna göre, sadece Tohum Desteği'ne başvuran çiftçi sayısı kaçtır?

  1. A
    20
  2. B
    24
  3. 28Cevap
  4. D
    32
  5. E
    40

Cevap

Sadece Tohum Desteği'ne başvuran çiftçi sayısı 28'dir.
Sadece Mazot Desteği'ne başvuranlara xx dersek, Tohum Desteği'ne başvuranların tamamı 2x2x olur. Toplam çiftçi sayısı n(T∪M)=n(T)+n(Sadece Mazot)=2x+x=3xn(T \cup M) = n(T) + n(\text{Sadece Mazot}) = 2x + x = 3x olarak bulunur. 3x=603x = 60 denkleminden x=20x = 20 elde edilir. Bu durumda Tohum Desteği'ne başvuran toplam kişi sayısı 2×20=402 \times 20 = 40 olur. Sadece Tohum Desteği'ne başvuranlar ise 40−12=2840 - 12 = 28 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Küme elemanlarını değişkenlerle ifade etme
Sadece Mazot Desteği'ne başvuran çiftçi sayısı xx ise, Tohum Desteği'ne başvuranların toplamı n(T)=2xn(T) = 2x olur.
Sorudaki 'Tohum Desteği'ne başvuranlar, sadece Mazot Desteği'ne başvuranların 2 katıdır' ifadesini matematiksel dile dökmek için.
2
Birleşim formülünü kullanarak denklem kurma
n(T∪M)=n(T)+n(M∖T)⇒60=2x+xn(T \cup M) = n(T) + n(M \setminus T) \Rightarrow 60 = 2x + x
Tüm çiftçiler en az bir desteğe başvurduğu için birleşim kümesi toplam çiftçi sayısına eşittir.
3
Denklemi çözerek değişkenin değerini bulma
3x=60⇒x=203x = 60 \Rightarrow x = 20
Sadece Mazot Desteği alanların sayısını belirlemek için.
4
Tohum Desteği'ne başvuran toplam sayıyı bulma
n(T)=2x=2×20=40n(T) = 2x = 2 \times 20 = 40
Tohum Desteği kümesinin tamamını hesaplamak için.
5
Sadece Tohum Desteği'ne başvuranları hesaplama
n(T∖M)=n(T)−n(T∩M)=40−12=28n(T \setminus M) = n(T) - n(T \cap M) = 40 - 12 = 28
Tohum Desteği kümesinden her iki desteğe de başvuran ortak elemanları çıkarmak için.

Anahtar Kavram

Küme Problemlerinde Bölge Analizi

İpuçları

1
Verilen bilgileri bir Venn şeması üzerine yerleştirerek bölgeleri isimlendirmeyi deneyin.
2
Sadece Mazot Desteği alanlara xx derseniz, Tohum Desteği kümesinin tamamının 2x2x olacağını unutmayın.
3
Tüm grubun toplamı olan 60; Tohum Desteği kümesi (2x2x) ile sadece Mazot Desteği alanların (xx) toplamıdır.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruda 'en az birine başvuran' yerine 'hiçbirine başvurmayan' çiftçilerin olduğu bir senaryo üzerinde çalışabilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Venn şemasında üç bölge tanımlayalım: a (Sadece Tohum), b (Kesişim), c (Sadece Mazot). b = 12 olarak verilmiş. Tohum Desteği (a+b), Sadece Mazot'un (c) 2 katı olduğuna göre a + 12 = 2c yazılır. Ayrıca a + b + c = 60 olduğundan a + 12 + c = 60 -> a + c = 48 olur. İlk denklemden a = 2c - 12 ifadesini ikincide yerine koyarsak (2c - 12) + c = 48 -> 3c = 60 -> c = 20 bulunur. Buradan a = 2(20) - 12 = 28 elde edilir.
Tahmini Süre:1m 15s
Bu soruyu puanla

Konular

Küme Problemleri

Bu konudan daha fazla soru