Examkin

Soru

Zorluk: ZorSayı Kümeleri (Doğal, Tam, Rasyonel, İrrasyonel)

Sıfırdan farklı xx ve yy gerçel sayıları için aşağıdaki bilgiler verilmiştir:

I. x⋅yx \cdot y çarpımı rasyonel bir sayıdır.
II. x+yx + y toplamı irrasyonel bir sayıdır.

Buna göre, xx ve yy sayılarıyla ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi kesinlikle doğrudur?

  1. A
    Her ikisi de rasyonel sayıdır.
  2. B
    Biri rasyonel, diğeri irrasyonel sayıdır.
  3. Her ikisi de irrasyonel sayıdır.Cevap
  4. D
    Her ikisinin de karesi rasyonel sayıdır.
  5. E
    x−yx - y farkı rasyonel bir sayıdır.

Cevap

Her iki sayı da irrasyoneldir.
Verilen iki koşulu aynı anda sağlayan tek senaryo, her iki sayının da irrasyonel olmasıdır. Rasyonel sayıların kendi aralarındaki toplamı rasyoneldir (II. öncüle aykırı). Biri rasyonel diğeri irrasyonel (ve sıfırdan farklı) ise çarpımları irrasyoneldir (I. öncüle aykırı). Geriye kalan tek seçenek ikisinin de irrasyonel olmasıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Olası durumları analiz et.
Üç ana durum vardır: 1) İkisi de rasyonel, 2) Biri rasyonel biri irrasyonel, 3) İkisi de irrasyonel.
Gerçel sayılar kümesi rasyonel ve irrasyonel sayıların birleşiminden oluşur.
2
Birinci durumu (İkisi de rasyonel) test et.
Yanlış. Eğer x,y∈Qx, y \in \mathbb{Q} ise, x+y∈Qx+y \in \mathbb{Q} olur. Ancak II. öncül toplamın irrasyonel olduğunu söylüyor.
Rasyonel sayılar kümesi toplama işlemine göre kapalıdır.
3
İkinci durumu (Biri rasyonel, biri irrasyonel) test et.
Yanlış. x∈Q(x≠0)x \in \mathbb{Q} (x \neq 0) ve y∈Q′y \in \mathbb{Q}' ise, x⋅y∈Q′x \cdot y \in \mathbb{Q}' (irrasyonel) olur. Ancak I. öncül çarpımın rasyonel olduğunu söylüyor.
Sıfırdan farklı bir rasyonel sayı ile irrasyonel sayının çarpımı daima irrasyoneldir.
4
Üçüncü durumu (İkisi de irrasyonel) değerlendir.
Doğru. Diğer tüm olasılıklar elendiği için xx ve yy sayılarının ikisi de irrasyonel olmak zorundadır.
Örnek doğrulama: x=2x=\sqrt{2} ve y=8y=\sqrt{8} olsun. x⋅y=16=4∈Qx \cdot y = \sqrt{16} = 4 \in \mathbb{Q} (Koşul I sağlandı). x+y=32∈Q′x+y = 3\sqrt{2} \in \mathbb{Q}' (Koşul II sağlandı).

Anahtar Kavram

Rasyonel ve irrasyonel sayı kümelerinin işlemsel özellikleri (Kapalılık ve etkileşim).
Bu soruyu puanla

Konular

Sayı Kümeleri (Doğal, Tam, Rasyonel, İrrasyonel)

Bu konudan daha fazla soru