Examkin

Soru

Zorluk: ZorÇokgenler

Bir konveks düzgün çokgenin toplam köşegen sayısı ile kenar sayısının toplamı, bu çokgenin bir dış açısının ölçüsünün (derece cinsinden) 14\frac{1}{4} katına eşittir. Buna göre, bu düzgün çokgenin bir iç açısının ölçüsü kaç derecedir?

  1. A
    108∘108^{\circ}
  2. 120∘120^{\circ}Cevap
  3. C
    135∘135^{\circ}
  4. D
    144∘144^{\circ}
  5. E
    150∘150^{\circ}

Cevap

Düzgün çokgenin bir iç açısının ölçüsü 120∘120^{\circ}'dir.
Verilen matematiksel koşullar denkleme döküldüğünde n2(n−1)=180n^2(n-1) = 180 eşitliği elde edilir. Bu eşitliği sağlayan tek pozitif tam sayı n=6n=6 değeridir. Kenar sayısı 66 olan düzgün bir çokgenin (altıgen) bir dış açısı 60∘60^{\circ}, dolayısıyla bir iç açısı 180−60=120∘180 - 60 = 120^{\circ} olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Değişken tanımlama ve formüllerin yazılması
Kenar sayısı nn olsun. Toplam köşegen sayısı: n(n−3)2\frac{n(n-3)}{2}, Dış açı ölçüsü: 360n\frac{360}{n}
Soruda verilen sözel ifadeleri cebirsel sembollerle ifade etmek gerekir.
2
Verilen şartlara göre denklemin kurulması
n(n−3)2+n=14⋅360n\frac{n(n-3)}{2} + n = \frac{1}{4} \cdot \frac{360}{n}
Köşegen sayısı ve kenar sayısı toplamının dış açının dörtte birine eşit olduğu bilgisi kullanılmıştır.
3
Denklemin sadeleştirilmesi ve çözülmesi
n2−3n+2n2=90n⇒n2−n2=90n⇒n(n2−n)=180⇒n2(n−1)=180\frac{n^2 - 3n + 2n}{2} = \frac{90}{n} \Rightarrow \frac{n^2 - n}{2} = \frac{90}{n} \Rightarrow n(n^2 - n) = 180 \Rightarrow n^2(n-1) = 180
Payda eşitleyerek ve içler dışlar çarpımı yaparak nn değerini bulacak denkleme ulaşılır.
4
Kenar sayısının bulunması
n=6n=6 için 62(6−1)=36⋅5=1806^2(6-1) = 36 \cdot 5 = 180 olur. Dolayısıyla n=6n=6 (Altıgen).
Denklemi sağlayan tam sayı değeri tespit edilir.
5
Bir iç açının hesaplanması
I˙c¸ Ac¸ı=(6−2)⋅1806=4⋅1806=120∘\text{İç Açı} = \frac{(6-2) \cdot 180}{6} = \frac{4 \cdot 180}{6} = 120^{\circ}
Düzgün çokgenin iç açı formülü kullanılarak sonuca gidilir.

Anahtar Kavram

Düzgün çokgenlerde kenar sayısı (nn), köşegen sayısı ve açı ölçüleri arasındaki cebirsel ilişkiler.
Bu soruyu puanla

Konular

Çokgenler

Bu konudan daha fazla soru