Examkin

Soru

Zorluk: ZorÇokgenler

Bir dışbükey çokgenin üç iç açısının ölçüleri 105∘105^{\circ}, 120∘120^{\circ} ve 135∘135^{\circ}'dir. Bu çokgenin diğer iç açılarının ölçüleri birbirine eşit ve 168∘168^{\circ} olduğuna göre, çokgenin kenar sayısı kaçtır?

  1. A
    15
  2. B
    16
  3. 18Cevap
  4. D
    24
  5. E
    30

Cevap

Çokgenin kenar sayısı 18'dir.
Çokgenin dış açıları toplamının 360∘360^{\circ} olması kuralından hareket edildiğinde; verilen açılara ait dış açılar 75∘,60∘,45∘75^{\circ}, 60^{\circ}, 45^{\circ} bulunur. Bunların toplamı 180∘180^{\circ}'dir. Geriye kalan 360∘−180∘=180∘360^{\circ} - 180^{\circ} = 180^{\circ}'lik dış açı toplamı, her biri 12∘12^{\circ} olan (180∘−168∘180^{\circ}-168^{\circ}) diğer köşelere aittir. 180/12=15180/12 = 15 adet diğer köşe vardır. Başlangıçtaki 3 köşe ile birlikte toplam 15+3=1815+3=18 kenarlıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Çokgen sorularında kenar sayısını bulmak için dış açılar toplamından gitmek en pratik yöntemdir. Dışbükey bir çokgenin dış açılarının ölçüleri toplamı daima 360∘360^{\circ}'dir.
Dış Açılar Toplamı = 360∘360^{\circ}
İç açılar toplamı kenar sayısına (n)(n) bağlıyken, dış açılar toplamı sabittir.
2
Verilen iç açılara karşılık gelen dış açıları hesaplayalım (180∘−I˙c¸ Ac¸ı180^{\circ} - \text{İç Açı}).
1. Dış Açı: 180∘−105∘=75∘180^{\circ} - 105^{\circ} = 75^{\circ}
2. Dış Açı: 180∘−120∘=60∘180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ}
3. Dış Açı: 180∘−135∘=45∘180^{\circ} - 135^{\circ} = 45^{\circ}
Bir köşedeki iç açı ile dış açının toplamı 180∘180^{\circ}'dir.
3
Diğer eşit iç açıların (168∘168^{\circ}) her birine karşılık gelen dış açıyı bulalım.
Diğer Dış Açılar: 180∘−168∘=12∘180^{\circ} - 168^{\circ} = 12^{\circ}
Kalan tüm köşelerdeki dış açılar birbirine eşittir.
4
Dış açılar toplamı denklemini kuralım. Bilinen üç dış açının toplamı ile kalan kk adet dış açının toplamı 360∘360^{\circ} olmalıdır.
75∘+60∘+45∘+12∘⋅k=360∘75^{\circ} + 60^{\circ} + 45^{\circ} + 12^{\circ} \cdot k = 360^{\circ}
180∘+12∘⋅k=360∘180^{\circ} + 12^{\circ} \cdot k = 360^{\circ}
Tüm dış açıların toplamı 360∘360^{\circ}'ye eşitlenir.
5
Denklemden kk (eşit açıların sayısı) değerini bulup toplam kenar sayısına ulaşalım.
12∘⋅k=180∘⇒k=1512^{\circ} \cdot k = 180^{\circ} \Rightarrow k = 15
Toplam Kenar Sayısı = 3+15=183 + 15 = 18
Başlangıçtaki 3 köşe ile sonradan bulunan 15 köşe toplanır.

Anahtar Kavram

Dışbükey çokgenlerde dış açılar toplamı sabit olup 360∘360^{\circ}'dir. Kenar sayısı hesaplamalarında iç açılar yerine dış açıları kullanmak işlem kolaylığı sağlar.

İpuçları

1
Kenar sayısı sorularında iç açılar toplamı formülü (n−2)180(n-2)180 yerine, dış açılar toplamı (360∘360^{\circ}) üzerinden gitmek daha kolaydır.
2
Her bir iç açıyı 180∘180^{\circ}'ye tamamlayan dış açıları bulunuz. Verilenler için: 75∘,60∘,45∘75^{\circ}, 60^{\circ}, 45^{\circ}.
3
Bilinen dış açıların toplamı 180∘180^{\circ} eder. Kalan 180∘180^{\circ}'lik dış açı toplamını, eşit olan dış açılara (12∘12^{\circ}) bölerek kaç tane daha kenar olduğunu bulunuz.

Daha Fazla Pratik

Bir iç açısı ve bir dış açısı arasında kat ilişkisi verilen düzgün çokgen sorularını inceleyiniz.

Alternatif Yöntem

İç açılar toplamı formülüyle çözüm: 105+120+135+(n−3)⋅168=(n−2)⋅180105 + 120 + 135 + (n-3) \cdot 168 = (n-2) \cdot 180. Bu denklem çözüldüğünde de n=18n=18 sonucu bulunur ancak işlem yükü daha fazladır.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Çokgenler

Bu konudan daha fazla soru