Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorSayı Kümeleri (Doğal, Tam, Rasyonel, İrrasyonel)
Gerçel sayılar kümesi R\mathbb{R} üzerinde, AA ve BB kümeleri aşağıdaki gibi tanımlanıyor:
A={x∈R∣x2∈Q} A = \{ x \in \mathbb{R} \mid x^2 \in \mathbb{Q} \}
B={x∈R∣x3∈Q} B = \{ x \in \mathbb{R} \mid x^3 \in \mathbb{Q} \}

Buna göre, bu kümelerle ilgili aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?

  1. A
    Rasyonel sayılar kümesi, AA ve BB kümelerinin her ikisinin de alt kümesidir
  2. B
    AA kümesinde olup BB kümesinde olmayan en az bir eleman vardır
  3. C
    BB kümesinde olup AA kümesinde olmayan en az bir eleman vardır
  4. D
    AA ve BB kümelerinin kesişimi rasyonel sayılar kümesine eşittir
  5. AA ve BB kümelerinin birleşimi gerçel sayılar kümesine eşittirCevap

Cevap

AA ve BB kümelerinin birleşiminin gerçel sayılar kümesine eşit olduğu ifadesi yanlıştır.
Yanlış olan ifade, birleşim kümesinin tüm gerçel sayılara eşit olduğunu iddia eden seçenektir. π\pi (pi) sayısı veya 2+3\sqrt{2}+\sqrt{3} gibi transandantal veya karmaşık köklü sayılar ne AA kümesine (karesi rasyonel) ne de BB kümesine (küpü rasyonel) dahildir. Bu sayılar gerçel sayı olmalarına rağmen bu iki kümenin birleşiminin dışındadır.

Adım Adım Çözüm

1
AA ve BB kümelerinin tanımlarını analiz et.
AA, karesi rasyonel olan sayıları; BB ise küpü rasyonel olan sayıları içerir. Q⊂A\mathbb{Q} \subset A ve Q⊂B\mathbb{Q} \subset B'dir.
Rasyonel sayıların tüm kuvvetleri rasyoneldir.
2
AA ve BB kümelerinin farklarını incele.
2∈A\sqrt{2} \in A (çünkü (2)2=2∈Q(\sqrt{2})^2=2 \in \mathbb{Q}) fakat 2∉B\sqrt{2} \notin B (çünkü (2)3=22∉Q(\sqrt{2})^3=2\sqrt{2} \notin \mathbb{Q}). Benzer şekilde 23∈B\sqrt[3]{2} \in B fakat 23∉A\sqrt[3]{2} \notin A.
Bu durum, A∖BA \setminus B ve B∖AB \setminus A kümelerinin boş olmadığını gösterir.
3
Kesişim kümesi A∩BA \cap B'yi belirle.
Bir xx sayısı hem AA'da hem BB'de ise, x2∈Qx^2 \in \mathbb{Q} ve x3∈Qx^3 \in \mathbb{Q} olur. x≠0x \neq 0 ise x=x3/x2x = x^3 / x^2 işlemi rasyonel iki sayının bölümü olacağından xx rasyonel olmalıdır. Yani A∩B=QA \cap B = \mathbb{Q}.
Rasyonel sayıların bölümü (bölen sıfır değilse) rasyoneldir.
4
Birleşim kümesi A∪BA \cup B'yi ve R\mathbb{R} ile ilişkisini sına.
Birleşim kümesi tüm gerçel sayıları kapsamaz. Örneğin π\pi sayısı; π2∉Q\pi^2 \notin \mathbb{Q} olduğundan AA'da değildir ve π3∉Q\pi^3 \notin \mathbb{Q} olduğundan BB'de değildir. Dolayısıyla π∈R\pi \in \mathbb{R} olmasına rağmen A∪BA \cup B kümesinde yoktur.
Karşıt örnek (counter-example) yöntemi ile ifadenin yanlışlığı ispatlanır.

Anahtar Kavram

İrrasyonel Sayıların Özellikleri ve Kapalılık

İpuçları

1
Bir ifadenin yanlış olduğunu göstermek için o kurala uymayan tek bir örnek (karşıt örnek) bulmanız yeterlidir.
2
Şu sayıyı test edin: π\pi (pi sayısı). Karesi rasyonel midir? Küpü rasyonel midir?
3
Eğer bir sayı AA veya BB kümelerinde değilse, birleşimlerinde de değildir. π\pi sayısı her iki kümede de yoktur, ancak bir gerçel sayıdır.

Daha Fazla Pratik

Sayı kümeleri arasındaki kapsama ilişkilerini (örn. N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R) Venn şeması üzerinde çalışın.
Tahmini Süre:3m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Sayı Kümeleri (Doğal, Tam, Rasyonel, İrrasyonel)

Bu konudan daha fazla soru