Examkin

Soru

Zorluk: ZorBasamak Analizi ve Çözümleme

Üç basamaklı ABCABC doğal sayısı, rakamları toplamının 51 katına eşittir.

ABC=51⋅(A+B+C)ABC = 51 \cdot (A + B + C)

Buna göre, bu koşulu sağlayan ABCABC sayısı için A⋅C−BA \cdot C - B ifadesinin değeri kaçtır?

  1. A
    64
  2. 71Cevap
  3. C
    72
  4. D
    79
  5. E
    82

Cevap

71
Verilen eşitlik 100A+10B+C=51(A+B+C)100A + 10B + C = 51(A+B+C) şeklinde açılıp düzenlendiğinde 49A=41B+50C49A = 41B + 50C elde edilir. Bu denklemi sağlayan tek rakam üçlüsü A=9,B=1,C=8A=9, B=1, C=8 şeklindedir (918=51×18918 = 51 \times 18). İstenen değer 9×8−1=719 \times 8 - 1 = 71 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen sözel ifadeyi matematiksel denkleme dök ve çözümle.
100A+10B+C=51(A+B+C)100A + 10B + C = 51(A + B + C)
Basamak analizi kuralına göre ABC=100A+10B+CABC = 100A + 10B + C şeklinde açılır.
2
Parantezi dağıt ve benzer terimleri bir araya getirerek sadeleştir.
100A+10B+C=51A+51B+51C  ⟹  49A=41B+50C100A + 10B + C = 51A + 51B + 51C \implies 49A = 41B + 50C
Eşitliğin her iki tarafındaki A, B ve C terimleri gruplandırılır.
3
Elde edilen 49A=41B+50C49A = 41B + 50C eşitliğinde modüler aritmetik veya değer verme yöntemini kullan.
Eşitliğin birler basamağına (mod 10) bakalım. 49A49A'nın son basamağı ile 41B+50C41B + 50C'nin son basamağı aynı olmalıdır. 50C50C'nin son basamağı 0 olduğundan, 9A9A ile 1B1B'nin son basamağı aynı olmalıdır (9A≡B(mod10)9A \equiv B \pmod{10}).
B ve C birer rakam olduğu için katsayıların büyüklüğü çözüm kümesini sınırlar.
4
Olası A rakamlarını dene ve uygun B, C değerlerini bul.
A=9A=9 için: 9A9A'nın sonu 1, yani B=1B=1 olmalı. Denklemde yerine koyalım: 49(9)=44149(9) = 441. 41(1)+50C=441  ⟹  41+50C=441  ⟹  50C=400  ⟹  C=841(1) + 50C = 441 \implies 41 + 50C = 441 \implies 50C = 400 \implies C=8. Bu geçerli bir çözümdür (ABC=918ABC = 918).
Diğer A değerleri (örn. A=8, B=2) denendiğinde C tam sayı veya rakam çıkmaz (Örn: 49(8)=39249(8)=392, 41(2)=8241(2)=82, 392−82=310392-82=310, 310/50310/50 tam sayı değil).
5
Bulunan rakamlarla istenen A⋅C−BA \cdot C - B işlemini yap.
A=9,B=1,C=8A=9, B=1, C=8 olduğuna göre; 9⋅8−1=72−1=719 \cdot 8 - 1 = 72 - 1 = 71.
Sorunun son kısmı sonuç değerini istemektedir.

Anahtar Kavram

Basamak Analizi ve Diophantine Denklemler

İpuçları

1
Sayımızı 100A+10B+C100A + 10B + C olarak çözümleyip verilen eşitliği düzenleyin.
2
Düzenleme sonucunda 49A=41B+50C49A = 41B + 50C eşitliğini elde etmelisiniz.
3
50C50C terimi 50'nin katı olduğu için sonu 0 ile biter. Bu durumda 49A49A ile 41B41B'nin birler basamağının aynı olması gerekir.

Daha Fazla Pratik

İki basamaklı ABAB sayısı rakamları toplamının xx katı ise xx en çok kaç olabilir?

Alternatif Yöntem

Deneme-yanılma yöntemi ile 51'in katları incelenebilir, ancak 3 basamaklı sayılar içinde 51'in katı olan ve rakamları toplamının 51 katı olan sayıyı bulmak (örneğin 51x10=510, toplam=6, 51x6=306!=510) zaman alabilir.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Basamak Analizi ve Çözümleme

Bu konudan daha fazla soru