Examkin

Soru

Zorluk: ZorSayı Kümeleri (Doğal, Tam, Rasyonel, İrrasyonel)

xx ve yy sıfırdan farklı birer gerçel sayı olmak üzere, x+yx+y toplamının ve x⋅yx \cdot y çarpımının rasyonel sayı olduğu bilinmektedir. Buna göre aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?

  1. A
    xx ve yy irrasyonel sayılardır
  2. B
    x−yx - y farkı rasyonel sayıdır
  3. x2+y2x^2 + y^2 toplamı rasyonel sayıdırCevap
  4. D
    xy\frac{x}{y} oranı rasyonel sayıdır
  5. E
    xx ve yy rasyonel sayılardır

Cevap

x2+y2x^2 + y^2 ifadesinin rasyonel olduğu kesinlikle doğrudur.
Verilen ifadede x2+y2x^2 + y^2 terimi, bilinen x+yx+y ve x⋅yx \cdot y değerleri cinsinden (x+y)2−2xy(x+y)^2 - 2xy olarak yazılabilir. Rasyonel sayıların karesi, çarpımı ve farkı yine rasyonel sayı olduğundan (kapalılık özelliği), bu işlemin sonucu kesinlikle rasyoneldir.

Adım Adım Çözüm

1
Soruda verilen bilgileri matematiksel kümelerle ifade et.
x+y∈Qx+y \in \mathbb{Q} ve x⋅y∈Qx \cdot y \in \mathbb{Q} (Burada Q\mathbb{Q} rasyonel sayılar kümesidir).
Verilen önermeleri sembolik mantığa dökerek çözüm için zemin hazırlamak gerekir.
2
Seçenekleri analiz etmek için tam kare özdeşliğini kullan.
(x+y)2=x2+y2+2xy(x+y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy özdeşliğinden x2+y2x^2 + y^2 yalnız bırakılırsa: x2+y2=(x+y)2−2xyx^2 + y^2 = (x+y)^2 - 2xy.
İstenen x2+y2x^2+y^2 terimi ile verilen x+yx+y ve xyxy terimleri arasındaki ilişkiyi kurmak için.
3
Rasyonel sayıların kapalılık özelliğini uygula.
x+yx+y rasyonel ise karesi (x+y)2(x+y)^2 rasyoneldir. xyxy rasyonel ise 2 katı 2xy2xy de rasyoneldir. İki rasyonel sayının farkı yine rasyonel olacağından sonuç rasyoneldir.
Rasyonel sayılar kümesi toplama, çıkarma ve çarpma işlemleri altında kapalıdır.

Anahtar Kavram

Tam Kare Özdeşliği ve Rasyonel Sayıların Kapalılık Özelliği

İpuçları

1
Seçeneklerdeki ifadelerin doğruluğunu test etmek için x+yx+y ve x⋅yx \cdot y terimlerini içeren cebirsel özdeşlikleri düşünün.
2
(x+y)2(x+y)^2 açılımını yazarak elinizdeki verilerle (x+yx+y ve xyxy) hangi terimi elde edebileceğinizi kontrol edin.
3
x2+y2=(x+y)2−2xyx^2 + y^2 = (x+y)^2 - 2xy eşitliğini kullanın. Rasyonel sayıların karesi ve farkı yine rasyoneldir.

Daha Fazla Pratik

İrrasyonel sayılar kümesinin hangi işlemler altında kapalı olmadığını inceleyen sorular çözünüz.

Alternatif Yöntem

Değer verme yöntemi (Counter-example): x=3x=\sqrt{3} ve y=−3y=-\sqrt{3} vererek A, B, D ve E seçeneklerinin her zaman sağlanmadığını görebilirsiniz.
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Sayı Kümeleri (Doğal, Tam, Rasyonel, İrrasyonel)

Bu konudan daha fazla soru