Examkin

Soru

Zorluk: ZorRutin Olmayan Problemler

Bir tekstil fabrikasında kullanılan otomatik boyama makinesi, kumaşın renk tonunu (TT) her bir işlem döngüsünde aşağıdaki kurallara göre değiştirmektedir:

* Eğer renk tonu (TT) çift sayı ise; bir sonraki işlemdeki renk tonu T2+4\frac{T}{2} + 4 olmaktadır.
* Eğer renk tonu (TT) tek sayı ise; bir sonraki işlemdeki renk tonu T+3T + 3 olmaktadır.

Başlangıçtaki renk tonu 6060 olan bir kumaşa toplam 8585 işlem uygulandığında, kumaşın son renk tonu kaç olur?

  1. A
    8
  2. 9Cevap
  3. C
    10
  4. D
    12
  5. E
    15

Cevap

Renk tonu 9 olur.
İşlem adımları tek tek uygulandığında T5=12T_5=12, T6=10T_6=10 ve T7=9T_7=9 değerlerine ulaşılır. Bir sonraki adımda T8=9+3=12T_8=9+3=12 olduğu için sistem bu üç sayı arasında döngüye girer. 5. adımdan sonraki her 3 adımda bir aynı değerlere ulaşıldığı için (85−5)(mod3)(85-5) \pmod 3 işlemi yapıldığında kalan 22 olur. Bu da döngünün üçüncü elemanı olan 9'a karşılık gelir.

Adım Adım Çözüm

1
İlk birkaç işlem adımını hesaplayarak bir örüntü arayalım.
T0=60T_0 = 60
T1=602+4=34T_1 = \frac{60}{2} + 4 = 34 (Çift)
T2=342+4=21T_2 = \frac{34}{2} + 4 = 21 (Çift)
T3=21+3=24T_3 = 21 + 3 = 24 (Tek)
T4=242+4=16T_4 = \frac{24}{2} + 4 = 16 (Çift)
T5=162+4=12T_5 = \frac{16}{2} + 4 = 12 (Çift)
Dizinin gidişatını ve olası bir döngüyü tespit etmek için ilk terimleri bulmamız gerekir.
2
Hesaplamaya devam ederek döngüyü netleştirelim.
T6=122+4=10T_6 = \frac{12}{2} + 4 = 10
T7=102+4=9T_7 = \frac{10}{2} + 4 = 9
T8=9+3=12T_8 = 9 + 3 = 12
T9=122+4=10T_9 = \frac{12}{2} + 4 = 10
T10=102+4=9T_{10} = \frac{10}{2} + 4 = 9
T8T_8 değerinin T5T_5 ile aynı çıktığı görülür, bu da bir periyodun başladığını kanıtlar.
3
Döngü periyodunu ve periyodik değerleri tanımlayalım.
Döngü T5,T6,T7T_5, T_6, T_7 terimlerinden oluşur ve periyot uzunluğu 33'tür. Değerler sırasıyla (12,10,9)(12, 10, 9) şeklindedir.
85. adıma tek tek gitmek yerine periyodik tekrardan faydalanmak işlemi kolaylaştırır.
4
85. adımın periyot içindeki yerini hesaplayalım.
Döngü 5. adımda başladığı için (85−5)=80(85 - 5) = 80 adım döngü içinde ilerlemiş oluruz. 80÷380 \div 3 işleminden kalan 22'dir. Kalan 00 ise 1212, kalan 11 ise 1010, kalan 22 ise 99 değeri elde edilir.
Modüler aritmetik kullanarak büyük adım sayılarını döngü içine indirgeriz.

Anahtar Kavram

Sayısal mantık ve rutin olmayan problemlerde periyodik tekrar eden dizilerin analizi.
Bu soruyu puanla

Konular

Rutin Olmayan Problemler

Bu konudan daha fazla soru