Examkin

Soru

Zorluk: ZorKüme Problemleri

Bir bakanlığın teftiş kurulu tarafından denetlenen 120 adet proje dosyasının her birinde; 'Mali', 'İdari' veya 'Teknik' eksiklik türlerinden en az biri tespit edilmiştir. Bu dosyalarla ilgili aşağıdaki bilgiler mevcuttur:

* Sadece bir türde eksiklik içeren dosya sayıları birbirine eşittir.
* Her üç türde de eksiklik içeren dosya sayısı, sadece Mali ve Teknik türde eksiklik içeren dosya sayısına eşittir.
* Sadece Mali ve İdari türde eksiklik içeren dosya sayısı ile sadece İdari ve Teknik türde eksiklik içeren dosya sayısı birbirine eşit olup, her üç türde eksiklik içeren dosya sayısının iki katıdır.
* En az iki türde eksiklik içeren toplam dosya sayısı 4242'dir.

Buna göre, 'Mali' türde eksiklik tespit edilen toplam dosya sayısı kaçtır?

  1. A
    26
  2. B
    47
  3. 54Cevap
  4. D
    68
  5. E
    78

Cevap

Mali türde eksiklik tespit edilen dosya sayısı 54'tür.
Soruda verilen ilişkiler Venn şeması üzerinde bölgelere ayrıldığında; üçlü kesişime yy denilirse, ikili kesişimlerin sadece o bölgeye ait kısımları sırasıyla yy, 2y2y ve 2y2y olur. 'En az iki' ifadesi bu bölgelerin toplamı olan 6y6y'ye eşittir ve 4242 olarak verilmiştir, buradan y=7y=7 bulunur. Toplam 120120 dosya olduğu için, sadece tek eksik içerenler (3x3x) hesaplanarak x=26x=26 bulunur. Mali kümesi, sınırları içindeki tüm bölgelerin (x+4yx+4y) toplamı olduğundan cevap 5454'tür.

Adım Adım Çözüm

1
Kümeleri ve bilinmeyenleri tanımla.
Sadece bir eksik (xx), üçlü kesişim (yy) olsun. Verilenlere göre: (M∩T yalnız) = yy, (M∩İ yalnız) = 2y2y, (İ∩T yalnız) = 2y2y.
Sözel ilişkileri matematiksel denklemlere dökmek için değişken atamak gerekir.
2
'En az iki türde eksiklik' bilgisini kullanarak yy değerini bul.
En az iki = (M∩T yalnız) + (M∩İ yalnız) + (İ∩T yalnız) + (M∩İ∩T) = y+2y+2y+y=6yy + 2y + 2y + y = 6y. Denklem: 6y=42⇒y=76y = 42 \Rightarrow y = 7.
Soruda verilen sayısal kısıtlamadan (4242) temel değişkenin değerini bulmak için.
3
Toplam dosya sayısını kullanarak xx değerini hesapla.
Toplam = (Sadece birler) + (En az ikiler) = 3x+42=1203x + 42 = 120. Buradan 3x=78⇒x=263x = 78 \Rightarrow x = 26.
Mali kümesini hesaplamak için gerekli olan 'sadece Mali' (xx) değerini bulmak için.
4
Mali kümesinin toplam eleman sayısını hesapla.
s(M)=(Sadece M)+(Sadece M∩T)+(Sadece M∩I˙)+(M∩I˙∩T)=x+y+2y+y=x+4ys(M) = (\text{Sadece } M) + (\text{Sadece } M \cap T) + (\text{Sadece } M \cap İ) + (M \cap İ \cap T) = x + y + 2y + y = x + 4y. Değerler yerine konulursa: 26+4(7)=26+28=5426 + 4(7) = 26 + 28 = 54.
Sorunun istediği nihai sonuca ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Kümelerle Problem Çözme (Venn Şeması Yöntemi)

İpuçları

1
Problemi çözmek için üç kümeli bir Venn şeması çizin ve her bir bölgeyi (sadece M, sadece M ve İ, vb.) harflendirerek (x, y gibi) denklem kurun.
2
'En az iki türde eksiklik içerenler', şemanın kesişim bölgelerindeki (ortadaki üçgenler ve merkez) sayıların toplamıdır.
3
Üçlü kesişime yy derseniz, sorudaki ilişkiye göre diğer kesişim bölgeleri yy, 2y2y ve 2y2y olur. Bunların toplamı 42'dir.

Alternatif Yöntem

Denklem kurmadan oran vererek deneme-yanılma (kat yöntemi) ile yy değerinin 7'nin katı olması gerektiğini fark edip seçeneklerden gitmek de mümkündür ancak risklidir.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Küme Problemleri

Bu konudan daha fazla soru