Examkin

Soru

Zorluk: ZorSayı Kümeleri (Doğal, Tam, Rasyonel, İrrasyonel)

Gerçel sayılar kümesinde tanımlı aa ve bb sayıları için aşağıdakilerden hangisi daima doğrudur?

  1. A
    a ve b irrasyonel sayılar ise a + b toplamı irrasyoneldir
  2. B
    a rasyonel ve b irrasyonel bir sayı ise a · b çarpımı irrasyoneldir
  3. C
    a² rasyonel bir sayı ise a rasyonel bir sayıdır
  4. a + b ve a - b rasyonel sayılar ise a · b rasyonel bir sayıdırCevap
  5. E
    a · b rasyonel bir sayı ise a ve b rasyonel sayılardır

Cevap

Toplamları ve farkları rasyonel olan iki sayının çarpımı daima rasyoneldir.
Rasyonel sayılar kümesi dört işleme göre kapalıdır. a+ba+b ve a−ba-b rasyonel ise, bu iki ifadenin toplamının yarısı olan aa ve farkının yarısı olan bb de rasyonel olmak zorundadır. İki rasyonel sayının çarpımı da rasyonel olacağından, bu ifade daima doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1
Yanlış seçenekleri elemek için 'aksine örnek verme' (counter-example) yöntemini kullanın.
Örneğin, irrasyonel sayıların toplamı için 2+(−2)=0\sqrt{2} + (-\sqrt{2}) = 0 örneği verilebilir; 0 rasyoneldir.
Daima doğru ifadeleri bulmak için tek bir istisna yeterlidir.
2
Doğru seçeneği cebirsel olarak kanıtlayın. a+b=xa+b = x ve a−b=ya-b = y olsun, burada x,y∈Qx, y \in \mathbb{Q} (Rasyonel).
Taraf tarafa toplama yapılırsa: 2a=x+y  ⟹  a=x+y22a = x+y \implies a = \frac{x+y}{2}.
Rasyonel sayılar kümesi toplama ve bölme işlemine göre kapalıdır, yani aa rasyoneldir.
3
bb sayısını bulmak için taraf tarafa çıkarma yapın.
Q\mathbb{Q} kümesinde işlem yapıldığından b=x−y2b = \frac{x-y}{2} de rasyoneldir.
Rasyonel sayıların farkı ve bölümü de rasyoneldir.
4
Bulunan aa ve bb değerlerini çarpın.
İki rasyonel sayının çarpımı (a⋅ba \cdot b) rasyonel olmak zorundadır.
Rasyonel sayılar kümesi çarpma işlemine göre kapalıdır.

Anahtar Kavram

Sayı Kümelerinde Kapalılık Özellikleri

İpuçları

1
Seçeneklerin doğruluğunu test etmek için 'ters örnek' (aksine örnek) bulmaya çalışın. Özellikle 2\sqrt{2} ve −2-\sqrt{2} gibi birbirini yok eden sayıları kullanın.
2
Bir sayının rasyonel olması için, rasyonel iki sayının toplamı, farkı, çarpımı veya bölümü (sıfıra bölme hariç) şeklinde ifade edilebilmesi yeterlidir.
3
Toplamları ve farkları rasyonel olan iki denklemi taraf tarafa toplayarak aa'yı yalnız bırakın. aa'nın rasyonel sayılardan oluşup oluşmadığını kontrol edin.

Alternatif Yöntem

Değer Verme Yöntemi: a+b=4a+b=4 ve a−b=2a-b=2 olsun. Bu durumda 2a=6  ⟹  a=32a=6 \implies a=3 ve b=1b=1 bulunur. Çarpımları 33 (rasyonel) olur. Sadece bir örnek doğruluğu kanıtlamaz ancak eleme yapmanızı sağlar.
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Sayı Kümeleri (Doğal, Tam, Rasyonel, İrrasyonel)

Bu konudan daha fazla soru