Examkin

Soru

Zorluk: ZorÇokgenler

Kenar sayısı nn olan bir düzgün çokgenin ardışık köşeleri sırasıyla A,B,C,D,E,…A, B, C, D, E, \dots şeklinde harflendirilmiştir. Bu çokgenin AEAE ve BDBD köşegenleri KK noktasında kesişmektedir.

m(AKB^)=24∘m(\widehat{AKB}) = 24^\circ olduğuna göre, bu düzgün çokgenin bir iç açısının ölçüsü kaç derecedir?

  1. A
    144
  2. B
    150
  3. 156Cevap
  4. D
    160
  5. E
    162

Cevap

Düzgün çokgenin bir iç açısı 156 derecedir.
Düzgün çokgenin çevrel çemberinde her kenar eşit ölçüde bir yay ayırır; buna α\alpha diyelim. A,B,C,D,EA, B, C, D, E ardışık köşeler olduğundan, ABAB yayı ve DEDE yayı birer birim yaydır (ölçüleri α\alpha). Çemberde kesişen kirişler arasındaki açı (iç açı), gördüğü yayların toplamının yarısıdır. Verilen m(AKB^)=24∘m(\widehat{AKB}) = 24^\circ açısı, ABAB ve DEDE yaylarını görür. O halde 24=α+α224 = \frac{\alpha + \alpha}{2} eşitliğinden α=24∘\alpha = 24^\circ bulunur. Bu değer aynı zamanda çokgenin bir dış açısıdır. Bir iç açı ise 180−24=156∘180 - 24 = 156^\circ olur.

Adım Adım Çözüm

1
Düzgün çokgenin köşelerinden geçen çevrel çemberi hayal et veya çiz.
Çevrel çemberde her bir kenar eşit uzunlukta bir yay (α\alpha) görür.
Düzgün çokgenin köşeleri çemberseldir ve eşit kirişler eşit yaylar ayırır.
2
KK noktasında kesişen AEAE ve BDBD kirişleri arasındaki AKB^\widehat{AKB} açısının gördüğü yayları belirle.
Bu açı, ters açısıyla birlikte ABAB yayını ve DEDE yayını görmektedir.
Çemberde iç açı kuralı: Kesişen iki kirişin oluşturduğu açı, gördüğü yayların toplamının yarısına eşittir.
3
Açı-yay ilişkisini denkleme dök.
m(AB^)=αm(\widehat{AB}) = \alpha ve m(DE^)=αm(\widehat{DE}) = \alpha (çünkü A−BA-B ve D−ED-E ardışık köşeler arası birer kenardır). Formül: 24∘=α+α224^\circ = \frac{\alpha + \alpha}{2}
İç açı formülü uygulanır.
4
Bir dış açıyı (α\alpha) ve ardından iç açıyı hesapla.
24=2α2⇒α=24∘24 = \frac{2\alpha}{2} \Rightarrow \alpha = 24^\circ. İç açı = 180∘−24∘=156∘180^\circ - 24^\circ = 156^\circ.
Düzgün çokgenin bir dış açısının ölçüsü, bir kenarı gören merkez açıya (α\alpha) eşittir.

Anahtar Kavram

Düzgün Çokgenlerde Çevrel Çember ve Açı İlişkileri

İpuçları

1
Düzgün çokgenin köşelerinden geçen bir çember (çevrel çember) olduğunu düşünün. Her kenar bu çemberde eşit uzunlukta bir yay ayırır.
2
Çemberde kesişen iki kirişin arasındaki açı, bu açının gördüğü yayların ölçüleri toplamının yarısına eşittir. AKBAKB açısı hangi yayları görüyor?
3
A,B,C,D,EA, B, C, D, E ardışık olduğu için ABAB yayı 1 birim, DEDE yayı da 1 birimdir. Formülü uygularsanız dış açıyı bulursunuz.

Alternatif Yöntem

Üçgenlerde açı hesabı: △ABK\triangle ABK ve simetri ekseni kullanarak, KAB^\widehat{KAB} ve KBA^\widehat{KBA} açılarını dış açı cinsinden ifade edip üçgen iç açılar toplamından gidilebilir.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Çokgenler

Bu konudan daha fazla soru