Examkin

Soru

Zorluk: ZorSayı Dizileri ve Örüntüler

Aşağıdaki sayı piramidi, pozitif tam sayılar belirli bir aritmetik kurala göre dizilerek oluşturulmuştur:

Buna göre, piramidin 10. satırında bulunan sayıların toplamı kaçtır?

  1. A
    1000
  2. B
    1810
  3. 1990Cevap
  4. D
    2170
  5. E
    2210

Cevap

Piramidin 10. satırındaki sayıların toplamı 1990'dır.
Doğru cevap, piramit yapısındaki terim sayılarının kümülatif toplamı ve genel aritmetik dizi formülünün birlikte kullanılmasıyla bulunur. Önce 10. satıra kadar kaç sayı olduğu (45), sonra 10. satırın ilk sayısı (181) ve son olarak bu satırdaki 10 sayının toplamı (1990) hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Örüntünün genel kuralını belirle.
Sayılar 1, 5, 9, 13, 17... şeklinde 4'er artarak gitmektedir. Genel terim formülü: an=1+(n−1)4=4n−3a_n = 1 + (n-1)4 = 4n - 3.
Dizinin kuralını bulmak için ilk birkaç terim arasındaki artış miktarı incelenir.
2
10. satırdan önce kaç adet sayı kullanıldığını hesapla.
1'den 9'a kadar olan satırlardaki terim sayısı toplamı: 9⋅102=45\frac{9 \cdot 10}{2} = 45.
Hangi sırada olduğumuzu bulmak için Gauss toplam formülü kullanılır.
3
10. satırın ilk terimini bul.
10. satırın ilk sayısı, tüm dizinin 46. terimidir. a46=4(46)−3=184−3=181a_{46} = 4(46) - 3 = 184 - 3 = 181.
Dizinin genel terim formülünde sıra numarası (46) yerine konur.
4
10. satırdaki 10 sayının toplamını hesapla.
Bu satırdaki sayılar: 181, 185, 189... (10 terim). Toplam formülü: T=n2(2a1+(n−1)r)=102(2⋅181+9⋅4)=5(362+36)=5⋅398=1990T = \frac{n}{2} (2a_1 + (n-1)r) = \frac{10}{2} (2 \cdot 181 + 9 \cdot 4) = 5 (362 + 36) = 5 \cdot 398 = 1990.
Sonlu aritmetik dizi toplam formülü uygulanır.

Anahtar Kavram

Aritmetik Diziler ve Gauss Toplamı

İpuçları

1
Önce piramidin 1. satırından 9. satırına kadar toplam kaç adet sayı yazıldığını bulunuz.
2
Sayılar arasındaki artış miktarının 4 olduğunu fark ettiniz mi? Genel terim 4n−34n - 3 formülündedir.
3
10. satırın ilk sayısı, dizinin 46. terimidir. Bu satırda, 4'er artan 10 adet sayı vardır.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir piramit sorusunda çift sayıların veya kare sayıların kullanıldığı bir örüntü çözünüz.

Alternatif Yöntem

10. satırın son terimini bulup (a55=217a_{55}=217), ilk terim (a46=181a_{46}=181) ile toplayıp 2'ye bölebilir, sonra terim sayısı (10) ile çarpabilirsiniz.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Sayı Dizileri ve Örüntüler

Bu konudan daha fazla soru