Examkin

Soru

Zorluk: OrtaTek ve Çift Sayılar
a,ba, b ve cc pozitif tam sayıları için,
4a2+a⋅b+b=c3+c4a^2 + a \cdot b + b = c^3 + c
eşitliği sağlanmaktadır.

Buna göre, aşağıdakilerden hangisi daima çift sayıdır?

  1. A
    a + b
  2. B
    a⋅ba \cdot b
  3. b^a + bCevap
  4. D
    a^2 + b
  5. E
    c^2 + a

Cevap

ba+bb^a + b ifadesi daima çift sayıdır.
Verilen eşitlikte sağ taraf (c3+cc^3+c) daima çifttir. Sol tarafta 4a24a^2 terimi de daima çifttir. Dolayısıyla geriye kalan a⋅b+ba \cdot b + b yani b(a+1)b(a+1) ifadesi çift sayı olmalıdır. Bu koşul iki durumda sağlanır: Ya bb çifttir ya da (bb tek ise) aa tektir. İstenen seçenek (ba+bb^a + b), b(ba−1+1)b(b^{a-1} + 1) olarak da düşünülebilir veya doğrudan yerine koyma yapılabilir. bb çift ise sonuç çifttir. bb tek ise aa da tek olacağından, Tek + Tek = Çift sonucu elde edilir. Her iki senaryoda da sonuç daima çifttir.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitliğin sağ tarafındaki c3+cc^3 + c ifadesini çarpanlarına ayırarak incele.
c3+c=c(c2+1)c^3 + c = c(c^2 + 1). Eğer cc tek ise c2+1c^2+1 çift olur; eğer cc çift ise sonuç zaten çifttir. Yani bu ifade daima çifttir.
Eşitliğin bir tarafının paritesini (tek/çift durumunu) kesinleştirmek çözümün anahtarıdır.
2
Sol tarafı düzenle ve çift sayıya eşitle.
4a2+b(a+1)4a^2 + b(a + 1) ifadesi çifttir. 4a24a^2 ifadesi, aa ne olursa olsun (4 çarpanından dolayı) daima çifttir.
Toplamın sonucunu etkileyen terimleri ayrıştırmak.
3
Kalan terim olan b(a+1)b(a + 1) ifadesini analiz et.
Çift + b(a+1)b(a+1) = Çift olmalı. Bu durumda b(a+1)b(a + 1) ifadesi kesinlikle çift olmalıdır.
Çift sayı ile ancak çift sayının toplamı çift eder.
4
Olası durumları (senaryoları) belirle.
Durum 1: bb çifttir (aa her şey olabilir). Durum 2: bb tektir, bu durumda (a+1)(a+1) çift olmalı, yani aa tek olmalıdır.
Çarpımın çift olması için çarpanlardan en az birinin çift olması gerekir.
5
Seçenekleri bu iki duruma göre test et.
ba+bb^a + b seçeneği: Durum 1'de (bb çift) C¸ifta+C¸ift=C¸ift\text{Çift}^a + \text{Çift} = \text{Çift}. Durum 2'de (bb tek, aa tek) TekTek+Tek=Tek+Tek=C¸ift\text{Tek}^{\text{Tek}} + \text{Tek} = \text{Tek} + \text{Tek} = \text{Çift}. Her iki durumda da sonuç çifttir.
Daima doğru olanı bulmak için tüm geçerli senaryoları sağlaması gerekir.

Anahtar Kavram

Tek ve çift sayılarda dört işlem kuralları ve x(x+1)x(x+1) biçimindeki ifadelerin paritesi.

İpuçları

1
Önce eşitliğin sağ tarafındaki c3+cc^3 + c ifadesinin tek mi yoksa çift mi olduğunu belirleyiniz.
2
Sol taraftaki 4a24a^2 ifadesinin her zaman çift olduğunu fark edip, geriye kalan b(a+1)b(a+1) ifadesinin paritesi üzerine yoğunlaşınız.
3
b(a+1)b(a+1) çarpımı çift ise, iki olasılık vardır: Ya bb çifttir ya da bb tek ise aa tektir. Seçenekleri bu iki duruma göre test ediniz.

Alternatif Yöntem

Değer verme yöntemi: Koşulu sağlayan küçük değerler vererek elemeyi deneyebilirsiniz. Örnek: c=1c=1 için sağ taraf 2 olur. 4a2+b(a+1)=24a^2+b(a+1)=2 için uygun a,ba,b değerleri bulup seçenekleri eleyebilirsiniz.
Tahmini Süre:1m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Tek ve Çift Sayılar

Bu konudan daha fazla soru