Examkin

Soru

Zorluk: ZorKüme Problemleri

Bir kurumda çalışan 50 personelin her biri; İngilizce, Almanca ve Fransızca dillerinden en az birini konuşabilmektedir. Bu personel grubuyla ilgili aşağıdaki bilgiler verilmiştir:

* Yalnızca bir dil bilenlerin sayıları birbirine eşittir.
* Yalnızca iki dil bilenlerin sayıları birbirine eşittir.
* Her üç dili de bilenlerin sayısı xx'tir.
* Yalnızca İngilizce bilenlerin sayısı, her üç dili de bilenlerin sayısının 3 katıdır.

Buna göre, bu kurumda İngilizce bilen personel sayısı en çok kaçtır?

  1. A
    20
  2. B
    24
  3. C
    26
  4. 28Cevap
  5. E
    30

Cevap

İngilizce bilen personel sayısı en çok 28'dir.
Kurulan 10x+3b=5010x + 3b = 50 denkleminde xx ve bb doğal sayı olmalıdır. Bu denklemi sağlayan iki durum vardır: (x=2,b=10)(x=2, b=10) ve (x=5,b=0)(x=5, b=0). İngilizce bilenlerin sayısı s(I˙)=4x+2bs(İ) = 4x + 2b formülüyle hesaplanır. İlk durumda sonuç 28, ikinci durumda 20 bulunur. En çok istendiği için doğru cevap 28'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Kümeler için değişkenleri tanımla.
Yalnızca bir dil bilenlerin sayısı her bir dil için aa, yalnızca iki dil bilenlerin sayısı her bir ikili kombinasyon için bb, her üç dili bilenlerin sayısı c=xc=x olsun.
Soruda verilen eşitliklerden yararlanarak bilinmeyen sayısını azaltmak gerekir.
2
Toplam personel sayısı üzerinden genel denklemi kur.
3 tane 'yalnız bir', 3 tane 'yalnız iki' ve 1 tane 'üçlü kesişim' bölgesinin toplamı 50'dir: 3a+3b+x=503a + 3b + x = 50
Birleşim kümesinin eleman sayısı formülü: s(I˙∪A∪F)=50s(İ \cup A \cup F) = 50.
3
Verilen katsayı ilişkisini denkleme uygula.
Yalnızca İngilizce bilen (aa) ile üç dili bilen (xx) arasındaki ilişki a=3xa = 3x şeklindedir. Denklem: 3(3x)+3b+x=50⇒10x+3b=503(3x) + 3b + x = 50 \Rightarrow 10x + 3b = 50
Tek bilinmeyenli veya iki bilinmeyenli bir Diophant (tam sayı) denklemine ulaşmak için.
4
Tam sayı şartını sağlayan (x,b)(x, b) ikililerini bul.
İnsan sayısı negatif veya kesirli olamayacağı için:
1. Durum: x=2x=2 için 20+3b=50⇒3b=30⇒b=1020 + 3b = 50 \Rightarrow 3b = 30 \Rightarrow b = 10 (Geçerli)
2. Durum: x=5x=5 için 50+3b=50⇒3b=0⇒b=050 + 3b = 50 \Rightarrow 3b = 0 \Rightarrow b = 0 (Geçerli)
Diğer xx değerleri için bb tam sayı çıkmaz.
Soruda 'en çok' ifadesi geçtiği için olası tüm durumlar incelenmelidir.
5
İngilizce bilenlerin sayısını (s(I˙)s(İ)) formüle et ve maksimum değeri bul.
s(I˙)=(Yalnız I˙)+(Yalnız I˙∩A)+(Yalnız I˙∩F)+(U¨c¸u¨)s(İ) = (\text{Yalnız } İ) + (\text{Yalnız } İ \cap A) + (\text{Yalnız } İ \cap F) + (\text{Üçü})
s(I˙)=a+b+b+x=3x+2b+x=4x+2bs(İ) = a + b + b + x = 3x + 2b + x = 4x + 2b

1. Durum (x=2,b=10x=2, b=10): 4(2)+2(10)=8+20=284(2) + 2(10) = 8 + 20 = 28
2. Durum (x=5,b=0x=5, b=0): 4(5)+0=204(5) + 0 = 20

En büyük değer 28'dir.
İngilizce kümesi, sadece İngilizce bilenleri değil, İngilizce içeren tüm kesişimleri kapsar.

Anahtar Kavram

Kümelerde Birleşim ve Denklem Kurma

İpuçları

1
Kümeleri çizerek her bir bölgeye değişken verin (Örn: Yalnız bir dil bilenler 'a', yalnız iki dil bilenler 'b', hepsi 'x').
2
Tüm bölgelerin toplamı 50'dir. Verilen 'Yalnız İngilizce = 3 * Hepsi' bilgisini kullanarak denklemi iki bilinmeyenli hale getirin (10x+3b=5010x + 3b = 50).
3
10x+3b=5010x + 3b = 50 denkleminde xx ve bb insan sayısı olduğu için negatif olamaz ve tam sayı olmalıdır. xx'e değer vererek bb'nin tam sayı çıktığı durumları bulun.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Küme Problemleri

Bu konudan daha fazla soru