Examkin

Soru

Zorluk: ZorKümelerde Birleşim ve Kesişim İşlemleri

Tam sayılar kümesi (Z\mathbb{Z}) üzerinde tanımlı AA ve BB kümeleri aşağıdaki gibi verilmiştir:

A={x∈Z∣∣x∣≤72,x, 3 ile tam bo¨lu¨nu¨r}A = \{x \in \mathbb{Z} \mid |x| \le 72, \quad x, \text{ 3 ile tam bölünür}\}
B={x∈Z∣∣x∣≤72,x, 4 ile tam bo¨lu¨nu¨r}B = \{x \in \mathbb{Z} \mid |x| \le 72, \quad x, \text{ 4 ile tam bölünür}\}

Bu bilgilere göre, AA ve BB kümelerinin birleşimi olan A∪BA \cup B kümesinin eleman sayısı kaçtır?

  1. A
    71
  2. B
    35
  3. 73Cevap
  4. D
    86
  5. E
    61

Cevap

Doğru cevap 73'tür.
Soruda verilen mutlak değer eşitsizliği ∣x∣≤72|x| \le 72, sayıların −72≤x≤72-72 \le x \le 72 aralığında olduğunu gösterir. Bu aralıkta 3'e bölünen 49 sayı (s(A)s(A)), 4'e bölünen 37 sayı (s(B)s(B)) vardır. Hem 3'e hem 4'e bölünen (12'nin katı) 13 sayı (s(A∩B)s(A \cap B)) mevcuttur. Birleşim formülü s(A∪B)=s(A)+s(B)−s(A∩B)s(A \cup B) = s(A) + s(B) - s(A \cap B) uygulandığında 49+37−13=7349 + 37 - 13 = 73 sonucu bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
A kümesinin eleman sayısını hesapla.
s(A) = 49
A kümesi, -72 ile 72 arasındaki 3'ün katlarıdır. Terim sayısı formülü: [(Son Terim - İlk Terim) / Artış Miktarı] + 1. Buradan [72 - (-72)]/3 + 1 = 144/3 + 1 = 48 + 1 = 49 bulunur.
2
B kümesinin eleman sayısını hesapla.
s(B) = 37
B kümesi, -72 ile 72 arasındaki 4'ün katlarıdır. Terim sayısı: [72 - (-72)]/4 + 1 = 144/4 + 1 = 36 + 1 = 37 bulunur.
3
Kesişim kümesi A ∩ B'nin kuralını ve eleman sayısını belirle.
s(A ∩ B) = 13
Kesişim kümesi, hem 3'e hem 4'e bölünen, yani EKOK(3,4)=12'ye bölünen sayılardır. Aralık [-72, 72]. Terim sayısı: [72 - (-72)]/12 + 1 = 144/12 + 1 = 12 + 1 = 13.
4
Birleşim formülünü uygula: s(A ∪ B) = s(A) + s(B) - s(A ∩ B).
s(A ∪ B) = 73
49 + 37 - 13 = 73 olarak hesaplanır.

Anahtar Kavram

Kümelerin birleşim eleman sayısı, kümelerin eleman sayıları toplamından kesişim kümesinin eleman sayısının çıkarılmasıyla bulunur: s(A ∪ B) = s(A) + s(B) - s(A ∩ B). Tam sayılar kümesinde negatif sayıların ve 0'ın da dahil edilmesi unutulmamalıdır.

İpuçları

1
Önce verilen mutlak değer eşitsizliğini, bir sayı aralığı olarak yazınız (örneğin −a≤x≤a-a \le x \le a).
2
Belirlediğiniz aralıkta 3'ün katı olan ve 4'ün katı olan kaç tane tam sayı olduğunu terim sayısı formülüyle bulunuz. 0 sayısının her iki kümede de olduğunu unutmayınız.
3
s(A∪B)=s(A)+s(B)−s(A∩B)s(A \cup B) = s(A) + s(B) - s(A \cap B) formülünü kullanın. A∩BA \cap B kümesi, hem 3 hem de 4'e bölünen, yani 12'ye bölünen sayıları içerir.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla, '3'e bölünüp 5'e bölünmeyen' sayıların sayısını soran fark işlemi problemleri çözülebilir.

Alternatif Yöntem

Sayı doğrusu üzerinde düşünerek; 0'dan 72'ye kadar olan pozitif kısım için hesap yapıp (2 ile çarpıp), sonra 0'ı (1 adet) ekleyerek de sonuca ulaşabilirsiniz. Pozitiflerde: s(A+)=24, s(B+)=18, s(Kes+)=6. Birleşim(Pozitif) = 24+18-6=36. Negatifler için de 36. Toplam: 36 + 36 + 1(Sıfır) = 73.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Kümelerde Birleşim ve Kesişim İşlemleri

Bu konudan daha fazla soru