Examkin

Soru

Zorluk: ZorSayı Kümeleri (Doğal, Tam, Rasyonel, İrrasyonel)

Gerçel sayılar kümesinde tanımlı aa ve bb sayıları için aşağıdakilerden hangisi daima doğrudur?

  1. a rasyonel ve b irrasyonel sayı ise, a + b toplamı irrasyonel sayıdırCevap
  2. B
    a ve b irrasyonel sayı ise, a · b çarpımı irrasyonel sayıdır
  3. C
    a ve b irrasyonel sayı ise, a + b toplamı irrasyonel sayıdır
  4. D
    a rasyonel ve b irrasyonel sayı ise, a · b çarpımı irrasyonel sayıdır
  5. E
    a pozitif rasyonel sayı ise, √a irrasyonel sayıdır

Cevap

a rasyonel ve b irrasyonel sayı ise, a + b toplamı irrasyonel sayıdır seçeneği doğrudur.
Rasyonel bir sayı (aa) ile irrasyonel bir sayının (bb) toplamı daima irrasyoneldir. Eğer sonuç rasyonel olsaydı (a+b=ra+b=r), irrasyonel sayı (bb) iki rasyonel sayının farkına (r−ar-a) eşit olurdu ki bu, rasyonel sayıların kapalılık özelliği gereği bb'nin de rasyonel olmasını gerektirirdi. Bu durum bb'nin irrasyonel olmasıyla çelişir.

Adım Adım Çözüm

1
Seçeneklerin analizi için rasyonel (Q) ve irrasyonel (Q') sayı kümelerinin özelliklerini hatırla.
Q: Rasyonel sayılar (a/b şeklinde yazılabilen), Q': İrrasyonel sayılar (köklü sayılar, π gibi).
Daima doğru olan ifadeyi bulmak için aksine örnek (counter-example) verme yöntemi kullanılacaktır.
2
İki irrasyonel sayının toplamı ve çarpımı özelliklerini test et.
a=2a=\sqrt{2} ve b=−2b=-\sqrt{2} alınırsa toplam 0∈Q0 \in Q olur. a=2a=\sqrt{2} ve b=2b=\sqrt{2} alınırsa çarpım 2∈Q2 \in Q olur.
Bu durum, 'İki irrasyonel sayının toplamı/çarpımı irrasyoneldir' seçeneklerini eler.
3
Rasyonel ve irrasyonel sayıların çarpımını test et (a∈Q,b∈Q′a \in Q, b \in Q').
a=0a=0 (rasyonel) ve b=2b=\sqrt{2} (irrasyonel) alınırsa, a⋅b=0a \cdot b = 0 olur ve 00 rasyoneldir.
Bu durum, 'Rasyonel ve irrasyonel sayının çarpımı daima irrasyoneldir' seçeneğini eler (0 yutan elemandır).
4
Rasyonel ve irrasyonel sayıların toplamını analiz et (a∈Q,b∈Q′a \in Q, b \in Q').
a+b=ra+b=r (rasyonel) olsaydı, b=r−ab=r-a olurdu. İki rasyonel sayının farkı rasyonel olacağından bb rasyonel olurdu. Bu bir çelişkidir.
Çelişki nedeniyle a+ba+b sonucu asla rasyonel olamaz, daima irrasyoneldir.

Anahtar Kavram

Rasyonel ve İrrasyonel Sayıların Kapalılık Özellikleri

İpuçları

1
'Daima' sorularında, verilen ifadeyi çürütecek tek bir ters örnek (aksine örnek) bulmaya çalışın.
2
Rasyonel sayılar kümesinde '0' (sıfır) sayısının çarpma işlemindeki etkisini ve irrasyonel sayılarda köklü ifadelerin eşleniklerini düşünün.
3
Rasyonel bir sayı ile irrasyonel bir sayının toplamı rasyonel olsaydı, irrasyonel sayı iki rasyonel sayının farkı olarak yazılabilir miydi?

Daha Fazla Pratik

İki irrasyonel sayının bölümünün rasyonel olabileceği durumları inceleyen bir soru çözebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Değer vererek eleme yöntemi: a=0,a=4,b=2,b=−2a=0, a=4, b=\sqrt{2}, b=-\sqrt{2} gibi özel değerleri seçeneklerde yerine koyarak yanlış olanları eleyebilirsiniz.
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Sayı Kümeleri (Doğal, Tam, Rasyonel, İrrasyonel)

Bu konudan daha fazla soru