Examkin

Soru

Zorluk: ZorRutin Olmayan Problemler

Pozitif tam sayılar kümesinde tanımlı bir TT işlemi, her nn sayısı için aşağıdaki adımlarla uygulanmaktadır:

1. Adım: nn sayısı 4 tabanında yazılır.
2. Adım: Elde edilen sayının basamakları tersten sıralanarak 4 tabanında yeni bir sayı oluşturulur.
3. Adım: Bu yeni sayı 10 tabanına çevrilir ve sonuç T(n)T(n) değeri olarak belirlenir.

Örnek: n=6n=6 sayısı için 6=(12)46 = (12)_4 tür. Basamaklar ters çevrilince (21)4(21)_4 elde edilir. (21)4=2⋅4+1=9(21)_4 = 2 \cdot 4 + 1 = 9 olduğundan T(6)=9T(6)=9 bulunur.

Buna göre, T(n)=nT(n) = n eşitliğini sağlayan iki basamaklı (10 tabanında) kaç farklı nn doğal sayısı vardır?

  1. A
    14
  2. B
    15
  3. 16Cevap
  4. D
    17
  5. E
    18

Cevap

Şartı sağlayan 16 farklı sayı vardır.
İstenen şart, nn sayısının 4 tabanında palindrom olmasıdır. 10 ile 99 arasındaki sayılar incelendiğinde; 4 tabanında 2 basamaklı olanlardan 10 ve 15 (2 adet), 3 basamaklı olanların tamamı (12 adet) ve 4 basamaklı olanlardan 65 ve 85 (2 adet) olmak üzere toplam 16 sayı bu şartı sağlar.

Adım Adım Çözüm

1
Soruyu analiz et
T(n)=nT(n)=n olması, nn sayısının 4 tabanındaki gösteriminin tersten okunuşuyla aynı olması, yani palindrom olması demektir.
İşlem tanımına göre sayının tersi kendisine eşitse, değeri de aynı kalır.
2
Aralığı belirle
nn sayısı 10 tabanında iki basamaklı olduğuna göre 10≤n≤9910 \le n \le 99 aralığındadır.
Sorudaki 'iki basamaklı' kısıtlaması bu aralığı verir.
3
4 tabanındaki 2 basamaklı palindromları incele
Form: (aa)4=4a+a=5a(aa)_4 = 4a + a = 5a. a∈{1,2,3}a \in \{1,2,3\}. Değerler: 5, 10, 15. Aralığa (10−9910-99) uyanlar: 10, 15 (2 tane).
n=5n=5 tek basamaklı olduğu için elenir.
4
4 tabanındaki 3 basamaklı palindromları incele
Form: (aba)4=16a+4b+a=17a+4b(aba)_4 = 16a + 4b + a = 17a + 4b. a∈{1,2,3},b∈{0,1,2,3}a \in \{1,2,3\}, b \in \{0,1,2,3\}. Her aa için 4 farklı bb değeri vardır. Toplam 3×4=123 \times 4 = 12 sayı. En büyüğü a=3,b=3a=3, b=3 için 51+12=6351+12=63 olup hepsi 99'dan küçüktür. Hepsi uygundur (12 tane).
Tüm kombinasyonlar 10-99 aralığına düşer.
5
4 tabanındaki 4 basamaklı palindromları incele
Form: (abba)4=64a+16b+4b+a=65a+20b(abba)_4 = 64a + 16b + 4b + a = 65a + 20b. a=1a=1 için 65+20b65+20b. b=0→65b=0 \to 65 (Uygun), b=1→85b=1 \to 85 (Uygun), b=2→105b=2 \to 105 (Büyük). Sadece 2 tane uygundur.
Üst sınır olan 99'u aşan değerler elenir.
6
Sonuçları topla
2+12+2=162 + 12 + 2 = 16.
Tüm uygun durumların toplamı.

Anahtar Kavram

Sayı Sistemleri ve Palindrom Sayılar

İpuçları

1
Bir sayının tersten yazılışı ile kendisinin aynı olması, o sayının 'palindrom' olduğu anlamına gelir. 4 tabanında palindrom olan sayıları aramalısınız.
2
Aradığınız nn sayısı 10 ile 99 arasındadır. Bu aralıktaki sayıları 4 tabanına çevirdiğinizde kaç basamaklı olabilirler? Hem 2, hem 3, hem de 4 basamaklı (4 tabanında) durumları inceleyin.
3
4 tabanında (aba)4(aba)_4 formundaki tüm sayılar 10 tabanında 17a+4b17a + 4b eder ve hepsi 99'dan küçüktür. Ancak (abba)4(abba)_4 formundakiler için 65a+20b65a + 20b değerinin 99'u geçip geçmediğini kontrol etmelisiniz.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Rutin Olmayan Problemler

Bu konudan daha fazla soru