Examkin

Soru

Zorluk: OrtaSayı Kümeleri (Doğal, Tam, Rasyonel, İrrasyonel)

Sıfırdan farklı bir aa rasyonel sayısı ile bir bb irrasyonel sayısı veriliyor.

Buna göre;
I. a⋅ba \cdot b
II. b2b^{2}
III. a+ba + b

ifadelerinden hangileri her zaman bir irrasyonel sayıdır?

  1. A
    Yalnız I
  2. B
    Yalnız III
  3. C
    I ve II
  4. I ve IIICevap
  5. E
    I, II ve III

Cevap

Sıfırdan farklı bir rasyonel sayı ile irrasyonel sayının çarpımı ve toplamı her zaman irrasyoneldir; dolayısıyla I ve III numaralı ifadeler doğrudur.
Sıfırdan farklı bir rasyonel sayı ile bir irrasyonel sayının çarpımı (a⋅ba \cdot b) ve toplamı (a+ba + b) her zaman irrasyonel bir sayı kümesinin elemanıdır. Bu temel bir matematiksel özelliktir.

Adım Adım Çözüm

1
Sayı kümelerinin tanımlarını yapma
a∈Q∖{0}a \in \mathbb{Q} \setminus \{0\} ve b∈Ib \in \mathbb{I} (veya R∖Q\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q})
Soruda verilen öncülleri sayı kümesi kurallarına göre test etmek için değişkenlerin sınırlarını belirlemek gerekir.
2
I. öncülün (a⋅ba \cdot b) incelenmesi
İrrasyonel sonuç
Sıfırdan farklı bir rasyonel sayı ile irrasyonel bir sayının çarpımı her zaman irrasyoneldir. Eğer sonuç rasyonel olsaydı, bb sayısının rasyonel olması gerekirdi.
3
II. öncülün (b2b^{2}) incelenmesi
Belirsiz (Rasyonel veya İrrasyonel olabilir)
b=2b = \sqrt{2} (irrasyonel) ise b2=2b^2 = 2 (rasyonel) olur. b=24b = \sqrt[4]{2} (irrasyonel) ise b2=2b^2 = \sqrt{2} (irrasyonel) olur. Bu nedenle her zaman irrasyonel değildir.
4
III. öncülün (a+ba + b) incelenmesi
İrrasyonel sonuç
Bir rasyonel sayı ile bir irrasyonel sayının toplamı her zaman irrasyoneldir. Rasyonel bir sayıdan rasyonel bir sayı çıkarıldığında sonuç rasyonel kalacağı için toplam rasyonel olamaz.

Anahtar Kavram

Rasyonel ve İrrasyonel Sayılar Arasındaki İşlemler

İpuçları

1
Rasyonel ve irrasyonel sayıların toplamının neden rasyonel olamayacağını, çelişki yöntemini düşünerek değerlendirin.
2
İrrasyonel sayı olarak 2\sqrt{2}'yi örnek alarak öncülleri test etmeyi deneyin.
3
2\sqrt{2}'nin karesinin bir tam sayı (ve dolayısıyla rasyonel) olduğunu hatırlayın; bu durum II. öncülü eler.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruda 'iki irrasyonel sayının toplamı'nın durumunu inceleyebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Öncülleri test ederken a=1a = 1 (rasyonel) ve b=2b = \sqrt{2} (irrasyonel) değerlerini vererek hangi sonuçların irrasyonel kalıp hangilerinin rasyonel olabildiğini hızlıca görebilirsiniz.
Tahmini Süre:1m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Sayı Kümeleri (Doğal, Tam, Rasyonel, İrrasyonel)

Bu konudan daha fazla soru