Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorKarışım Problemleri

Tuz yüzdeleri birbirinden farklı olan A ve B homojen tuzlu su karışımları bulunmaktadır. A karışımından xx gram, B karışımından yy gram alınarak oluşturulan I. karışımın tuz yüzdesi C1C_1; A karışımından yy gram, B karışımından xx gram alınarak oluşturulan II. karışımın tuz yüzdesi C2C_2 olarak hesaplanmıştır.

C2C_2 değerinin, A karışımının kendi tuz yüzdesi ile C1C_1 değerinin aritmetik ortalamasına eşit olduğu bilindiğine göre, xx ile yy arasındaki bağıntı aşağıdakilerden hangisidir?

  1. y=2xy = 2xCevap
  2. B
    x=2yx = 2y
  3. C
    y=xy = x
  4. D
    y=3xy = 3x
  5. E
    x=3yx = 3y

Cevap

y=2xy = 2x bağıntısı elde edilir.
Soruda verilen karışım senaryoları cebirsel olarak modellendiğinde, C1C_1 ve C2C_2 değerleri kütlelerin (xx ve yy) ağırlıklı ortalamalarına bağlıdır. C2C_2'nin, AA ile C1C_1'in aritmetik ortalaması olması şartı (2C2=A+C12C_2 = A + C_1), gerekli cebirsel sadeleştirmeler yapıldığında (a−b)(y−2x)=0(a-b)(y-2x)=0 eşitliğini verir. Karışımların yüzdeleri farklı (a≠ba \neq b) olduğu için tek çözüm y=2xy=2x bağıntısıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Değişkenleri tanımla
A karışımının tuz yüzdesi aa, B karışımının tuz yüzdesi bb olsun. Verilen bilgiye göre a≠ba \neq b.
Yüzde hesaplamalarını cebirsel olarak ifade edebilmek için sabitlere ihtiyaç vardır.
2
I. Karışım (C1C_1) ve II. Karışım (C2C_2) için denklemleri kur
C1=x⋅a+y⋅bx+yC_1 = \frac{x \cdot a + y \cdot b}{x + y} ve C2=y⋅a+x⋅bx+yC_2 = \frac{y \cdot a + x \cdot b}{x + y}
Karışım problemlerinde yeni yüzde, (Miktar ×\times Yüzde) toplamının toplam miktara bölünmesiyle bulunur.
3
Verilen aritmetik ortalama şartını denkleme dök
C2=a+C12⇒2C2=a+C1C_2 = \frac{a + C_1}{2} \Rightarrow 2C_2 = a + C_1
Sorudaki sözel ifade matematiksel eşitliğe dönüştürülür.
4
Denklemde ifadeleri yerine yaz ve düzenle
2(ya+xbx+y)=a+xa+ybx+y2 \left( \frac{ya + xb}{x+y} \right) = a + \frac{xa + yb}{x+y}
Kesirli ifadelerden kurtulmak ve x,yx, y ilişkisini bulmak için yerine koyma işlemi yapılır.
5
Eşitliğin her iki tarafını (x+y)(x+y) ile çarp ve sadeleştir
2(ya+xb)=a(x+y)+xa+yb⇒2ya+2xb=ax+ay+xa+yb⇒2ya+2xb=2ax+ay+yb2(ya + xb) = a(x+y) + xa + yb \Rightarrow 2ya + 2xb = ax + ay + xa + yb \Rightarrow 2ya + 2xb = 2ax + ay + yb
Paydaları yok ederek lineer bir denklem elde edilir.
6
Benzer terimleri bir araya topla ve çarpanlara ayır
2ya−ay−yb+2xb−2ax=0⇒ay−yb−2ax+2xb=0⇒y(a−b)−2x(a−b)=0⇒(a−b)(y−2x)=02ya - ay - yb + 2xb - 2ax = 0 \Rightarrow ay - yb - 2ax + 2xb = 0 \Rightarrow y(a-b) - 2x(a-b) = 0 \Rightarrow (a-b)(y-2x) = 0
a≠ba \neq b olduğu bilindiği için (a−b)(a-b) terimi sadeleşebilir.
7
Sonucu bul
a≠ba \neq b olduğundan a−b≠0a-b \neq 0 olur. Bu durumda y−2x=0y - 2x = 0 olmalıdır, yani y=2xy = 2x.
Çarpımın sıfır olması için çarpanlardan en az birinin sıfır olması gerekir.

Anahtar Kavram

Karışım Problemlerinde Ağırlıklı Ortalama ve Cebirsel Modelleme

İpuçları

1
A ve B karışımlarının tuz yüzdelerine sırasıyla aa ve bb diyerek C1C_1 ve C2C_2 değerlerini xx ve yy cinsinden yazın.
2
Karışım formülünü hatırlayın: (Miktar1 ×\times Yüzde1 + Miktar2 ×\times Yüzde2) / Toplam Miktar. Bu formülü kullanarak 2C2=a+C12C_2 = a + C_1 eşitliğini kurun.
3
Elde ettiğiniz denklemde paydaları eşitleyip (x+y)(x+y) ifadelerini sadeleştirin. Sonrasında (a−b)(a-b) parantezine alarak çözüme ulaşın.

Daha Fazla Pratik

Karışımların bir kısmının dökülüp yerine saf su eklendiği problemleri inceleyiniz.

Alternatif Yöntem

Değer vererek kontrol etme: x=1x=1 ve y=2y=2 (yani y=2xy=2x) varsayalım. Eğer a=10,b=40a=10, b=40 ise; C1=(10+80)/3=30C_1 = (10+80)/3 = 30. C2=(20+40)/3=20C_2 = (20+40)/3 = 20. Şart: 20=(10+30)/220 = (10+30)/2. Bu eşitlik sağlandığı için y=2xy=2x doğrudur.
Tahmini Süre:4m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Karışım Problemleri

Bu konudan daha fazla soru