Examkin

Soru

Zorluk: OrtaAralarında Asal Sayılar

aa ve bb aralarında asal pozitif tam sayılardır.

a+60b=12 a + \frac{60}{b} = 12

olduğuna göre, bb'nin alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?

  1. A
    47
  2. 107Cevap
  3. C
    113
  4. D
    117
  5. E
    137

Cevap

b'nin alabileceği değerler toplamı 107'dir.
Verilen denklemde aa'nın pozitif tam sayı olması için bb'nin 60'ı bölmesi ve b>5b > 5 olması gerekir. Olası bb değerleri denenip, aa ile aralarında asallık şartı kontrol edildiğinde sadece 12, 15, 20 ve 60 değerlerinin bu şartı sağladığı görülür. Bu değerlerin toplamı 107'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen denklemi aa'yı yalnız bırakacak şekilde düzenle.
a=12−60ba = 12 - \frac{60}{b}
aa ve bb'nin tamsayı olma şartını sağlamak için bb'nin özelliklerini belirlemek gerekir.
2
aa'nın pozitif tam sayı olması şartını sağlayan bb değerlerini belirle.
a>0⇒12−60b>0⇒60b<12⇒b>5a > 0 \Rightarrow 12 - \frac{60}{b} > 0 \Rightarrow \frac{60}{b} < 12 \Rightarrow b > 5. Ayrıca bb, 60'ın bir böleni olmalıdır.
aa pozitif bir tam sayı olduğu için sonuç 0 veya negatif olamaz ve kesirli ifade tam sayı çıkmalıdır.
3
5'ten büyük ve 60'ı tam bölen sayıları listele.
b∈{6,10,12,15,20,30,60}b \in \{6, 10, 12, 15, 20, 30, 60\}
Olası tüm aday değerleri belirlemek için.
4
Her bb değeri için aa'yı bul ve aralarında asal olup olmadıklarını kontrol et.
- b=6⇒a=2b=6 \Rightarrow a=2. (2,6)(2,6) ortak bölen 2. (ELENDİ)
- b=10⇒a=6b=10 \Rightarrow a=6. (6,10)(6,10) ortak bölen 2. (ELENDİ)
- b=12⇒a=7b=12 \Rightarrow a=7. (7,12)(7,12) aralarında asal. (ALINDI)
- b=15⇒a=8b=15 \Rightarrow a=8. (8,15)(8,15) aralarında asal. (ALINDI)
- b=20⇒a=9b=20 \Rightarrow a=9. (9,20)(9,20) aralarında asal. (ALINDI)
- b=30⇒a=10b=30 \Rightarrow a=10. (10,30)(10,30) ortak bölen 10. (ELENDİ)
- b=60⇒a=11b=60 \Rightarrow a=11. (11,60)(11,60) aralarında asal. (ALINDI)
Sorunun en önemli kısıtı olan 'aralarında asal olma' şartını sağlamayan kökleri elemek için.
5
Şartı sağlayan bb değerlerini topla.
12+15+20+60=10712 + 15 + 20 + 60 = 107
Sonuca ulaşmak için.

Anahtar Kavram

İki sayının aralarında asal olması için 1'den başka ortak pozitif tam sayı bölenlerinin olmaması gerekir.

İpuçları

1
Denklemde aa'yı yalnız bırakın: a=12−60ba = 12 - \frac{60}{b}. aa'nın pozitif tam sayı olması için bb hangi değerleri alabilir?
2
bb sayısı 60'ı tam bölmeli ve sonucun pozitif çıkması için b>5b > 5 olmalıdır. Bu şartı sağlayan bb tamsayılarını listeleyin.
3
Bulduğunuz her bb değeri için karşılık gelen aa değerini hesaplayın ve (a,b)(a, b) ikilisinin 1'den başka ortak böleni olup olmadığına (aralarında asal olup olmadıklarına) bakın.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla, x⋅y=60x \cdot y = 60 ve x,yx, y aralarında asal ise x+yx+y'nin alabileceği değerleri soran bir soru çözebilirsiniz.
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Aralarında Asal Sayılar

Bu konudan daha fazla soru