Examkin

Soru

Zorluk: OrtaSayı Kümeleri (Doğal, Tam, Rasyonel, İrrasyonel)

Sıfırdan farklı xx ve yy gerçel sayıları için;

I. x⋅yx \cdot y çarpımının bir rasyonel sayı,
II. x+yx + y toplamının bir irrasyonel sayı

olduğu bilinmektedir.

Buna göre, bu sayılarla ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi kesinlikle doğrudur?

  1. A
    x rasyonel, y irrasyonel sayıdır
  2. x ve y irrasyonel sayılardırCevap
  3. C
    x ve y rasyonel sayılardır
  4. D
    x² ve y² rasyonel sayılardır
  5. E
    x bir tam sayı ise y bir doğal sayıdır

Cevap

Her iki sayının da irrasyonel sayı olduğu kesindir.
Verilen iki koşulu aynı anda sağlayan tek durum, her iki sayının da irrasyonel olmasıdır. Rasyonel sayılar kümesi çarpma ve toplama işlemlerine göre kapalıdır; yani iki rasyonel sayının toplamı ve çarpımı yine rasyoneldir. Toplamın irrasyonel olması için sayılardan en az biri irrasyonel olmalıdır. Eğer biri rasyonel (sıfır hariç) diğeri irrasyonel olsaydı, çarpımları irrasyonel olurdu. Çarpımın rasyonel kalabilmesi için (biri diğerinin eşleniği gibi durumlarda) her ikisinin de irrasyonel olması gerekir.

Adım Adım Çözüm

1
Birinci durumu analiz et (Rasyonel olma durumu)
Eğer x rasyonel bir sayı olsaydı (x ∈ Q ve x ≠ 0), çarpımları rasyonel olduğu için y = (x·y)/x işlemi gereği y de rasyonel olmak zorunda kalırdı.
Sıfırdan farklı iki rasyonel sayının bölümü rasyoneldir.
2
Çelişkiyi tespit et
Eğer hem x hem de y rasyonel olsaydı, toplamları (x+y) kesinlikle rasyonel olurdu. Ancak soruda toplamın irrasyonel olduğu verilmiştir.
Rasyonel sayılar kümesi toplama işlemine göre kapalıdır.
3
Sonuca var
Varsayımımız yanlış olduğu için x rasyonel olamaz. x irrasyoneldir. Aynı mantık y için de geçerlidir. Dolayısıyla her ikisi de irrasyoneldir.
Olmayana ergi (redüksiyon) yöntemi ile ispat.

Anahtar Kavram

Rasyonel ve İrrasyonel Sayıların İşlem Özellikleri

İpuçları

1
Rasyonel sayılar kendi aralarında toplandığında sonuç ne tür bir sayı olur?
2
Eğer sayılardan biri rasyonel (örneğin 3) diğeri irrasyonel (örneğin √2) olsaydı, çarpımları (3√2) rasyonel olabilir miydi?

Daha Fazla Pratik

Rasyonel ve irrasyonel sayıların toplamının daima irrasyonel olduğunu gösteren bir ispat sorusu çözülebilir.

Alternatif Yöntem

Değer vererek deneme yöntemi: x = √2 ve y = √2 durumunu dene (Toplam: 2√2 İrrasyonel, Çarpım: 2 Rasyonel). x = 2 ve y = 3 durumunu dene (Toplam: 5 Rasyonel - uymaz).
Tahmini Süre:1m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Sayı Kümeleri (Doğal, Tam, Rasyonel, İrrasyonel)

Bu konudan daha fazla soru