Examkin

Soru

Zorluk: ZorTek ve Çift Sayılar

a,ba, b ve cc birer tam sayı olmak üzere,

I. a⋅b+ca \cdot b + c ifadesinin tek sayı,
II. b⋅c+ab \cdot c + a ifadesinin çift sayı

olduğu bilinmektedir.

Buna göre aşağıdakilerden hangisi daima tek sayıdır?

  1. A
    a⋅c+ba \cdot c + b
  2. B
    (a+c)⋅b(a+c) \cdot b
  3. a2+b2+ca^2 + b^2 + cCevap
  4. D
    c2+c+ac^2 + c + a
  5. E
    a+c+1a + c + 1

Cevap

a2+b2+ca^2 + b^2 + c ifadesi daima tek sayıdır.
Verilen iki denklem sistemini aynı anda sağlayan tek durum; aa ve bb sayılarının çift, cc sayısının ise tek olmasıdır. Bu durumda a2a^2 ve b2b^2 çift olacağından toplamları da çifttir. Bu toplama tek sayı olan cc eklendiğinde sonuç (C\c+TÇ+T) daima tek sayı olur.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen ifadeleri analiz et
I. a⋅b+c=Teka \cdot b + c = Tek
II. b⋅c+a=C\ciftb \cdot c + a = Çift
Soru kökündeki öncüllerden yola çıkarak a,b,ca, b, c sayılarının tek veya çift olma durumlarını (paritelerini) belirlememiz gerekir.
2
II. ifadeden başlayarak durum analizi yap
b⋅c+a=C\ciftb \cdot c + a = Çift olması için iki durum vardır:
Durum 1: b⋅cb \cdot c Tek ve aa Tek
Durum 2: b⋅cb \cdot c Çift ve aa Çift
Toplamın çift olması için terimlerin ikisi de tek veya ikisi de çift olmalıdır.
3
Durum 1'i (T, T) I. ifadede test et
Eğer b⋅cb \cdot c Tek ise (b=T,c=Tb=T, c=T) ve a=Ta=T ise;
I. ifade: a⋅b+c=T⋅T+T=T+T=C\cifta \cdot b + c = T \cdot T + T = T + T = Çift olur.
Fakat soruda I. ifadenin Tek olduğu verilmiş. Bu yüzden Durum 1 GEÇERSİZDİR.
Çelişki bulma yöntemiyle hatalı senaryoları eliyoruz.
4
Durum 2'yi (Ç, Ç) analiz et ve kesin yargıya var
Geriye kalan tek ihtimal: aa Çifttir.
b⋅cb \cdot c Çift ve aa Çift ise I. ifadeye bakalım:
a⋅b+c=C\c⋅b+c=C\c+ca \cdot b + c = Ç \cdot b + c = Ç + c. Sonucun Tek olması için cc Tek olmalıdır.
cc Tek olduğuna göre, b⋅cb \cdot c çarpımının Çift olması için bb Çift olmalıdır.
Bu adımda a,b,ca, b, c değerlerinin türlerini kesinleştirdik: aa=Çift, bb=Çift, cc=Tek.
5
Bulunan değerleri (a:C\c,b:C\c,c:Ta:Ç, b:Ç, c:T) şıklarda dene
Doğru şık: a2+b2+c=C\c2+C\c2+T=C\c+C\c+T=Teka^2 + b^2 + c = Ç^2 + Ç^2 + T = Ç + Ç + T = Tek.
Daima tek sayı olan seçeneği belirliyoruz.

Anahtar Kavram

Tam sayılarda toplama ve çarpma işlemlerinin tek/çift (parite) özellikleri.

İpuçları

1
İkinci ifadeden (b⋅c+a=C\ciftb \cdot c + a = Çift) başlayarak aa ve b⋅cb \cdot c için olası Tek/Çift durumlarını yazın.
2
Birinci ifade (a⋅b+c=Teka \cdot b + c = Tek) yardımıyla, yazdığınız durumlardan hangisinin çelişki yarattığını bulun ve eleyin.
3
Tek geçerli durum: aa çift, bb çift ve cc tek olmalıdır. Bunu şıklarda yerine koyun.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla kurgulanmış fakat negatif sayıların kuvvetlerini içeren (işaret incelemesi gerektiren) sorular çözülebilir.

Alternatif Yöntem

Değer verme yöntemi: Şartları sağlayan en küçük sayıları seçin. Örneğin a=2a=2 (çift), c=1c=1 (tek) olsun. I. denklem 2b+1=Tek2b+1=Tek ise 2b2b çifttir, bu her bb için sağlanır. II. denklem b⋅1+2=C\cift⇒b+2=C\cift⇒bb\cdot1 + 2 = Çift \Rightarrow b+2=Çift \Rightarrow b Çift olmalıdır. Öyleyse a=2,b=2,c=1a=2, b=2, c=1 değerlerini şıklarda deneyebilirsiniz.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Tek ve Çift Sayılar

Bu konudan daha fazla soru