Examkin

Soru

Zorluk: ZorSayı Kümeleri (Doğal, Tam, Rasyonel, İrrasyonel)

aa ve bb gerçel sayıları için aşağıdakilerden hangisi daima doğrudur?

  1. A
    aa irrasyonel ve bb rasyonel bir sayı ise a⋅ba \cdot b çarpımı irrasyoneldir
  2. B
    aa ve bb irrasyonel sayılar ise a+ba + b toplamı irrasyoneldir
  3. a+ba + b ve a−ba - b sayıları rasyonel ise aa ve bb sayıları rasyoneldirCevap
  4. D
    a2a^2 ve b2b^2 sayıları rasyonel ise a⋅ba \cdot b çarpımı rasyoneldir
  5. E
    a⋅ba \cdot b çarpımı rasyonel ise aa ve bb sayıları rasyoneldir

Cevap

Toplamları ve farkları rasyonel olan iki sayının kendileri de rasyoneldir seçeneği doğrudur.
Rasyonel sayılar kümesi toplama, çıkarma ve (sıfır hariç) bölme işlemlerine göre kapalıdır. Eğer iki sayının toplamı (a+ba+b) ve farkı (a−ba-b) rasyonel ise, bu ifadelerin toplamı olan 2a2a da rasyoneldir. Dolayısıyla aa rasyoneldir. aa rasyonel ise ve a+ba+b rasyonel ise, bb de rasyonel olmak zorundadır.

Adım Adım Çözüm

1
Doğru olduğu iddia edilen önermedeki şartları belirle.
a+b=Q1a+b = Q_1 ve a−b=Q2a-b = Q_2 olsun. Burada Q1Q_1 ve Q2Q_2 birer rasyonel sayıdır.
Rasyonel sayılar kümesi Q\mathbb{Q} toplama ve çıkarma işlemine göre kapalıdır.
2
Bu iki ifadeyi taraf tarafa toplayarak aa sayısını elde et.
(a+b)+(a−b)=2a(a+b) + (a-b) = 2a. Dolayısıyla 2a=Q1+Q22a = Q_1 + Q_2 olur.
Q1+Q2Q_1 + Q_2 işlemi iki rasyonel sayının toplamı olduğundan sonuç yine rasyoneldir.
3
aa sayısının rasyonel olup olmadığını analiz et.
2a2a rasyonel ise a=Q1+Q22a = \frac{Q_1 + Q_2}{2} de rasyoneldir.
Sıfırdan farklı bir rasyonel sayıya bölme işlemi rasyonelliği bozmaz.
4
Aynı mantıkla bb sayısını bulmak için taraf tarafa çıkarma işlemi yap.
(a+b)−(a−b)=2b(a+b) - (a-b) = 2b. Benzer şekilde bb sayısı da rasyonel çıkar.
Hem aa hem de bb rasyonel olmak zorundadır. Bu nedenle bu önerme daima doğrudur.

Anahtar Kavram

Rasyonel Sayıların Kapalılık Özelliği

İpuçları

1
Seçenekleri değerlendirirken 'daima' kelimesine dikkat ediniz. Tek bir aksi örnek (karşıt örnek) bulmanız o seçeneği elemek için yeterlidir.
2
İrrasyonel sayılarla işlem yaparken sonucun rasyonel çıkabileceği özel durumları (sqrt2\\sqrt{2} ile −sqrt2-\\sqrt{2} toplamı veya sqrt2\\sqrt{2} ile sqrt2\\sqrt{2} çarpımı gibi) düşününüz.
3
Doğru seçenekte verilen iki ifadeyi (a+ba+b ve a−ba-b) taraf tarafa toplayıp çıkararak aa ve bb sayılarını yalnız bırakmayı deneyiniz.

Daha Fazla Pratik

İki irrasyonel sayının bölümünün rasyonel olma durumunu inceleyen sorular çözünüz.

Alternatif Yöntem

Değer verme yöntemi (Counter-example): Yanlış seçenekleri elemek için a=2,b=−2a=\sqrt{2}, b=-\sqrt{2} veya b=0b=0 gibi sınır değerleri deneyerek şıkların çoğunu eleyebilirsiniz.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Sayı Kümeleri (Doğal, Tam, Rasyonel, İrrasyonel)

Bu konudan daha fazla soru