Examkin

Soru

Zorluk: ZorÇokgenler

Kenar sayısı çift olan bir düzgün çokgenin en uzun köşegeninin uzunluğu, en kısa köşegeninin uzunluğunun 2 katıdır.

Buna göre, bu çokgenin bir iç açısının ölçüsü kaç derecedir?

  1. A
    120
  2. B
    135
  3. C
    144
  4. 150Cevap
  5. E
    160

Cevap

Düzgün çokgenin iç açısı 150 derecedir.
Soruda verilen ilişki (En uzun = 2 ×\times En kısa), çevrel çember mantığıyla çözüldüğünde sin⁡(360/n)=1/2\sin(360/n) = 1/2 eşitliğini verir. Bu da merkez açının 30 derece, dolayısıyla kenar sayısının 12 olduğunu gösterir. 12 kenarlı bir düzgün çokgenin bir iç açısı 150 derecedir.

Adım Adım Çözüm

1
Çevrel çember yarıçapı (RR) kullanılarak köşegen tanımlarını yap.
Kenar sayısı nn olan çift kenarlı düzgün çokgende en uzun köşegen çaptır: 2R2R. En kısa köşegen ise bir köşe atlanarak çizilen (örneğin AA ile CC arasındaki) köşegendir.
Düzgün çokgenlerde köşegen uzunlukları, köşeler arasındaki yay ölçüsüne (merkez açı) bağlıdır.
2
En kısa köşegenin uzunluğunu merkez açı (alpha\\alpha) cinsinden ifade et.
Bir kenarı gören merkez açı alpha=360/n\\alpha = 360/n dir. En kısa köşegen iki kenarı görür (2alpha2\\alpha). Uzunluğu: 2Rcdotsin(2alpha/2)=2Rcdotsin(alpha)2R \\cdot \\sin(2\\alpha / 2) = 2R \\cdot \\sin(\\alpha).
Kiriş uzunluğu formülü: L=2Rsin(theta/2)L = 2R \\sin(\\theta/2).
3
Verilen '2 katı' ilişkisini denkleme dök ve nn sayısını bul.
2R=2cdot(2Rsinalpha)Rightarrowsinalpha=1/22R = 2 \\cdot (2R \\sin \\alpha) \\Rightarrow \\sin \\alpha = 1/2. Buradan \\alpha = 30^\\circ bulunur. 360/n=30Rightarrown=12360/n = 30 \\Rightarrow n=12.
Sinüsü 1/2 olan dar açı 30 derecedir.
4
Düzgün onikigenin (n=12n=12) bir iç açısını hesapla.
Dış açı = 360/12 = 30^\\circ. İç açı = 180 - 30 = 150^\\circ.
İç açı ile dış açının toplamı 180 derecedir.

Anahtar Kavram

Düzgün çokgenlerde köşegen uzunlukları ve çevrel çember ilişkisi

İpuçları

1
Düzgün çokgenin çevrel çemberini ve merkezini (O) düşünün. En uzun köşegen merkezden geçer (çaptır).
2
En kısa köşegen, ardışık olmayan en yakın iki köşeyi birleştirir (Örneğin A ile C). Bu kirişin uzunluğunu yarıçap (R) cinsinden yazmaya çalışın.
3
En uzun köşegen = 2R. En kısa köşegen, merkezde 2×(360/n)2 \times (360/n) derecelik yayı gören kiriştir. Bu kirişin uzunluğu 2R⋅sin⁡(360/n)2R \cdot \sin(360/n) olur.

Alternatif Yöntem

Özel üçgenler yöntemi: Merkez O, köşeler A, B, C olsun. En kısa köşegen AC'dir. En uzun köşegen 2R'dir. AC = R olmalıdır (yarısı). OAC üçgeninde AC=R ve OA=OC=R olduğundan bu üçgen eşkenardır. O halde tepe açısı 60 derecedir. Bu açı iki kenarı (AB ve BC yaylarını) gördüğü için bir kenarı gören açı 30 derecedir.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Çokgenler

Bu konudan daha fazla soru