Examkin

Soru

Zorluk: OrtaKüme Problemleri

Bir kamu kurumunun bilgi işlem dairesinde çalışan 5050 personelin tamamı, kurum içi yazılım sistemleri olan 'DYS' ve 'EBYS' sistemlerini kullanma durumlarına göre incelenmiştir. Yapılan inceleme sonucunda;

- DYS sistemini kullanan 3232 personel,
- EBYS sistemini kullanan 2828 personel olduğu görülmüştür.

Bu personelden her iki sistemi de kullanmayanların sayısı, her iki sistemi de kullananların sayısının yarısına eşittir.

Buna göre, bu personelden sadece bir sistemi kullanan toplam personel sayısı kaçtır?

  1. A
    1010
  2. B
    1212
  3. 2020Cevap
  4. D
    3030
  5. E
    4040

Cevap

Sadece bir sistemi kullanan toplam personel sayısı 2020 kişidir.
Verilen bilgiler doğrultusunda evrensel küme denklemi 50=(32+28−x)+x250 = (32 + 28 - x) + \frac{x}{2} şeklinde kurulur. Buradan kesişim kümesi olan xx (her iki sistemi kullananlar) 2020 olarak bulunur. Sadece bir sistemi kullananlar ise (32−20)+(28−20)=12+8=20(32-20) + (28-20) = 12 + 8 = 20 personelden oluşur.

Adım Adım Çözüm

1
Kümelerin ve bilinmeyenlerin tanımlanması
DYS kullananlar s(D)=32s(D) = 32, EBYS kullananlar s(E)=28s(E) = 28, her iki sistemi kullananlar s(D∩E)=xs(D \cap E) = x, hiçbirini kullanmayanlar s(D∪E)′=x2s(D \cup E)' = \frac{x}{2}.
Problemdeki verileri matematiksel sembollere dökerek denklem kurmak.
2
Evrensel küme denkleminin kurulması
s(U)=s(D∪E)+s(D∪E)′=50s(U) = s(D \cup E) + s(D \cup E)' = 50
Toplam personel sayısının, sistemleri kullananlar ve kullanmayanların toplamına eşit olması kuralı.
3
Birleşim kümesi formülünün uygulanması
50=[s(D)+s(E)−s(D∩E)]+x2⇒50=(32+28−x)+x250 = [s(D) + s(E) - s(D \cap E)] + \frac{x}{2} \Rightarrow 50 = (32 + 28 - x) + \frac{x}{2}
Kesişim kümesini çıkararak birleşim kümesini bulma formülünü kullanmak.
4
Denklemin çözülmesi
50=60−x+x2⇒50=60−x2⇒x2=10⇒x=2050 = 60 - x + \frac{x}{2} \Rightarrow 50 = 60 - \frac{x}{2} \Rightarrow \frac{x}{2} = 10 \Rightarrow x = 20
Her iki sistemi kullanan personel sayısını (xx) belirlemek.
5
Sadece bir sistemi kullananların hesaplanması
Sadece DYS: 32−20=1232 - 20 = 12, Sadece EBYS: 28−20=828 - 20 = 8. Toplam: 12+8=2012 + 8 = 20.
Her bir kümeden kesişimi çıkararak fark kümelerini bulmak ve toplamak.

Anahtar Kavram

Kümelerde Eleman Sayısı ve Problem Çözümü

İpuçları

1
Her iki sistemi de kullanan personel sayısına xx diyerek bir Venn şeması çizmeyi deneyin.
2
Hiçbirini kullanmayanlar x/2x/2 ise, tüm personelin toplamı olan 5050 sayısını birleşim kümesi ve dışarıdaki elemanların toplamı olarak yazın.
3
50=(32−x)+x+(28−x)+x/250 = (32 - x) + x + (28 - x) + x/2 denklemini çözerek xx değerine ulaşın.

Daha Fazla Pratik

Üçlü küme problemlerinde 'en az ikisi' veya 'en çok biri' gibi ifadelerle çalışma yaparak konuyu pekiştirebilirsiniz.
Tahmini Süre:1m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Küme Problemleri

Bu konudan daha fazla soru