Examkin

Kümeler

28 soru

Soru 21Soru →

A={1,3,5,7}A = \{1, 3, 5, 7\} ve B={2,3,4,5}B = \{2, 3, 4, 5\} kümeleri veriliyor. Buna göre, bu iki kümenin tüm elemanlarını bir araya getiren A∪BA \cup B kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: {1,2,3,4,5,7}\{1, 2, 3, 4, 5, 7\}

Cevap

{1,2,3,4,5,7}\{1, 2, 3, 4, 5, 7\} kümesi, A ve B kümelerinin tüm elemanlarını kapsayan birleşim kümesidir.
İki kümenin birleşimi (A∪BA \cup B), bu kümelerin tüm elemanlarını içeren ve ortak elemanların yalnızca bir kez yazıldığı kümedir. A kümesinin elemanları {1,3,5,7}\{1, 3, 5, 7\} ve B kümesinin elemanları {2,3,4,5}\{2, 3, 4, 5\} birleştirildiğinde {1,2,3,4,5,7}\{1, 2, 3, 4, 5, 7\} kümesi elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
A ve B kümelerinin elemanlarını belirleyelim.
A={1,3,5,7}A = \{1, 3, 5, 7\} ve B={2,3,4,5}B = \{2, 3, 4, 5\} kümeleri verilmiştir.
İşlem yapmadan önce her iki kümedeki elemanların listesini netleştirmemiz gerekir.
2
Kümelerdeki ortak elemanları tespit edelim.
3 ve 5 elemanları her iki kümede de ortaktır.
Kümelerin birleşimi yazılırken ortak elemanlar küme içine sadece bir kez yazılır.
3
Tüm elemanları tek bir küme içerisinde birleştirelim.
A∪B={1,3,5,7,2,4}A \cup B = \{1, 3, 5, 7, 2, 4\} (Küçükten büyüğe sıralarsak: {1,2,3,4,5,7}\{1, 2, 3, 4, 5, 7\})
Birleşim işlemi (∪\cup), her iki kümede bulunan tüm elemanları kapsayan yeni bir küme oluşturur.

Anahtar Kavram

Kümelerde Birleşim İşlemi (Union)

İpuçları

1
Birleşim sembolü olan ∪\cup, her iki kümedeki elemanların tamamını bir torbaya toplamak gibidir.
2
Her iki kümede de ortak olan elemanlar (3 ve 5) vardır. Bu elemanları sonuç kümesine yazarken sadece bir kez yazmanız gerektiğini unutmayın.
3
AA kümesinden 1, 3, 5, 7 elemanlarını ve BB kümesinden 2, 4 elemanlarını (3 ve 5 zaten yazıldığı için) alarak birleştirin.

Daha Fazla Pratik

Kümelerde kesişim (A∩BA \cap B) işlemini pekiştirmek için benzer bir soruyu kesişim odaklı çözebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Venn şeması çizerek A ve B halkalarının içindeki tüm elemanları tek tek sayarak da birleşim kümesini bulabilirsiniz.
Tahmini Süre:45s
Soru 22Soru →

A={x∈Z∣10<x≤100, x=3k, k∈Z}A = \{x \in \mathbb{Z} \mid 10 < x \le 100, \: x = 3k, \: k \in \mathbb{Z}\}

B={x∈Z∣20≤x<110, x=4k, k∈Z}B = \{x \in \mathbb{Z} \mid 20 \le x < 110, \: x = 4k, \: k \in \mathbb{Z}\}

olduğuna göre, A∪BA \cup B kümesinin eleman sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 46

Cevap

Birleşim kümesinin eleman sayısı 46 olarak bulunur.
Verilen aralıklarda 3'ün katı olan 30 eleman ve 4'ün katı olan 23 eleman bulunmaktadır. Bu kümelerin kesişimi olan ve her iki şarta da uyan 12'nin katı olan 7 eleman mevcuttur. Birleşim kümesi formülü gereği bu ortak elemanların bir kez çıkarılmasıyla 46 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
AA kümesinin elemanlarını ve sayısını belirleyelim.
s(A)=30s(A) = 30
10<x≤10010 < x \le 100 aralığında 3'ün katı olan sayılar 12,15,…,9912, 15, \dots, 99 şeklindedir. Terim sayısı: 99−123+1=29+1=30\frac{99 - 12}{3} + 1 = 29 + 1 = 30 olur.
2
BB kümesinin elemanlarını ve sayısını belirleyelim.
s(B)=23s(B) = 23
20≤x<11020 \le x < 110 aralığında 4'ün katı olan sayılar 20,24,…,10820, 24, \dots, 108 şeklindedir. Terim sayısı: 108−204+1=22+1=23\frac{108 - 20}{4} + 1 = 22 + 1 = 23 olur.
3
Kesişim kümesini (A∩BA \cap B) belirleyelim.
s(A∩B)=7s(A \cap B) = 7
A∩BA \cap B kümesi, hem 3'ün hem de 4'ün katı olan (yani EKOK(3,4)=12EKOK(3,4) = 12'nin katı olan) elemanlardan oluşur. Aralık ise her iki kümenin kesişimi olan 20≤x≤10020 \le x \le 100 aralığıdır. Bu sayılar 24,36,48,60,72,84,9624, 36, 48, 60, 72, 84, 96 olup toplam 7 tanedir.
4
Birleşim kümesinin eleman sayısı formülünü uygulayalım.
s(A∪B)=46s(A \cup B) = 46
s(A∪B)=s(A)+s(B)−s(A∩B)s(A \cup B) = s(A) + s(B) - s(A \cap B) formülünden; 30+23−7=4630 + 23 - 7 = 46 bulunur.

Anahtar Kavram

Kümelerde birleşim kümesinin eleman sayısı, kümelerin kendi eleman sayılarının toplamından kesişim kümesinin eleman sayısının çıkarılmasıyla hesaplanır: s(A∪B)=s(A)+s(B)−s(A∩B)s(A \cup B) = s(A) + s(B) - s(A \cap B).

İpuçları

1
Önce her iki kümenin eleman sayılarını ayrı ayrı terim sayısı formülünü kullanarak bulun.
2
İki kümenin ortak elemanlarını (yani hem 3'e hem de 4'e bölünebilenleri) belirleyip kesişim kümesini oluşturun.
3
Birleşim kümesinin eleman sayısı bulunurken, toplamdan kesişimin çıkarılması gerektiğini unutmayın: s(A∪B)=s(A)+s(B)−s(A∩B)s(A \cup B) = s(A) + s(B) - s(A \cap B).

Daha Fazla Pratik

Kümelerdeki fark işlemini pekiştirmek için s(A∖B)s(A \setminus B) değerini hesaplamayı deneyebilirsiniz.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 23Soru →

Gerçel sayılar kümesi (R\mathbb{R}) üzerinde AA ve BB kümeleri aşağıdaki gibi tanımlanmıştır:

A={x∈R∣x2−16≤0} A = \{x \in \mathbb{R} \mid x^2 - 16 \le 0 \}
B={x∈R∣∣x−1∣≥2} B = \{x \in \mathbb{R} \mid |x - 1| \ge 2 \}

Buna göre, A∩BA \cap B kümesinin ifade ettiği aralık aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: [−4,−1]∪[3,4][-4, -1] \cup [3, 4]

Cevap

[−4,−1]∪[3,4][-4, -1] \cup [3, 4] aralığıdır.
Doğru cevap, AA kümesi olan [−4,4][-4, 4] aralığı ile BB kümesi olan (−∞,−1]∪[3,∞)(-\infty, -1] \cup [3, \infty) aralığının ortak elemanlarının birleşimidir. Bu kesişim işlemi sonucunda elde edilen küme, [−4,−1][-4, -1] ve [3,4][3, 4] kapalı aralıklarının birleşimidir.

Adım Adım Çözüm

1
AA kümesinin çözüm aralığını bul.
x2−16≤0  ⟹  x2≤16  ⟹  −4≤x≤4x^2 - 16 \le 0 \implies x^2 \le 16 \implies -4 \le x \le 4. Yani A=[−4,4]A = [-4, 4].
İkinci dereceden bir eşitsizliğin çözüm kümesinin belirlenmesi.
2
BB kümesinin çözüm aralığını bul.
∣x−1∣≥2|x - 1| \ge 2 eşitsizliği iki durumu ifade eder: x−1≥2  ⟹  x≥3x - 1 \ge 2 \implies x \ge 3 VEYA x−1≤−2  ⟹  x≤−1x - 1 \le -2 \implies x \le -1. Yani B=(−∞,−1]∪[3,∞)B = (-\infty, -1] \cup [3, \infty).
Mutlak değerli eşitsizliğin 'büyüktür' durumuna göre açılması.
3
AA ve BB kümelerinin kesişimini (A∩BA \cap B) hesapla.
[−4,4][-4, 4] aralığı ile (−∞,−1]∪[3,∞)(-\infty, -1] \cup [3, \infty) birleşiminin ortak elemanları: [−4,4][-4, 4] ile (−∞,−1](-\infty, -1] kesişimi [−4,−1][-4, -1] verir. [−4,4][-4, 4] ile [3,∞)[3, \infty) kesişimi [3,4][3, 4] verir.
İki farklı kümenin sayı doğrusu üzerindeki ortak bölgelerinin tespit edilmesi.

Anahtar Kavram

Eşitsizlik Sistemleri ve Kümelerle Gösterimi

İpuçları

1
Önce AA ve BB kümelerinin hangi sayı aralıklarını temsil ettiğini ayrı ayrı bulun.
2
AA kümesi, karesi 16'dan küçük veya eşit olan sayıları; BB kümesi ise 1'e olan uzaklığı 2 birim veya daha fazla olan sayıları içerir.
3
Sayı doğrusu üzerinde AA kümesini [−4,4][-4, 4] olarak çizin. BB kümesini ise 1'den sağa 2 birim gidip (3 ve sonrası) ve sola 2 birim gidip (-1 ve öncesi) olarak işaretleyin. Bu iki çizimin üst üste geldiği yerleri belirleyin.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruyu tam sayılar kümesi (Z\mathbb{Z}) üzerinde sorarak eleman sayısını bulmayı deneyin.

Alternatif Yöntem

Sayı doğrusu çizerek görsel çözüm: Bir sayı doğrusunda -4 ile 4 arasını tarayın (Set A). Aynı doğru üzerinde -1'den küçük ve 3'ten büyük yerleri tarayın (Set B). İki taramanın da olduğu bölgeler cevaptır.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 24Soru →

Bir üniversitenin spor kulübünde futbol (F), basketbol (B) ve voleybol (V) branşlarından en az birine kayıtlı öğrencilerin bulunduğu bir grup incelenmiştir.

Bu gruptaki öğrencilerin sayıları ile ilgili aşağıdaki bilgiler verilmiştir:

* Futbol oynayanların sayısı: s(F)=30s(F) = 30
* Basketbol oynayanların sayısı: s(B)=26s(B) = 26
* Voleybol oynayanların sayısı: s(V)=24s(V) = 24
* Futbol ve basketbol oynayanların sayısı: s(F∩B)=10s(F \cap B) = 10
* Futbol ve voleybol oynayanların sayısı: s(F∩V)=9s(F \cap V) = 9
* Basketbol ve voleybol oynayanların sayısı: s(B∩V)=8s(B \cap V) = 8
* Her üç branşı da oynayanların sayısı: s(F∩B∩V)=4s(F \cap B \cap V) = 4

Buna göre, bu grupta yalnızca bir branşa kayıtlı olan öğrenci sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 38

Cevap

Yalnızca bir branşa kayıtlı öğrenci sayısı 38'dir.
Yalnızca bir branş oynayan öğrencilerin sayısı, her bir branşın toplam sayısından o branşın diğerleriyle olan kesişimlerinin çıkarılmasıyla bulunur. Sadece futbol oynayanlar 30−(6+5+4)=1530 - (6+5+4) = 15, sadece basketbol oynayanlar 26−(6+4+4)=1226 - (6+4+4) = 12, sadece voleybol oynayanlar 24−(5+4+4)=1124 - (5+4+4) = 11 kişidir. Bunların toplamı 15+12+11=3815 + 12 + 11 = 38 eder.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen sayıları Venn şeması mantığına göre analiz et.
s(F)=30, s(B)=26, s(V)=24. İkili kesişimler: 10, 9, 8. Üçlü kesişim: 4.
Her bir bölgedeki öğrenci sayısını bulmak için verileri sınıflandırmak gerekir.
2
Yalnızca iki branşı oynayan öğrenci sayılarını hesapla.
Sadece F ve B = 10 - 4 = 6; Sadece F ve V = 9 - 4 = 5; Sadece B ve V = 8 - 4 = 4. Toplam 'yalnızca iki' = 6 + 5 + 4 = 15.
İkili kesişim kümeleri, üçlü kesişim kümesini de kapsadığı için, 'sadece' iki ders alanları bulmak adına üçlü kesişim çıkarılmalıdır.
3
Toplam formülünü kullanarak veya kümelerden çıkararak 'yalnızca bir' branş oynayanları bul.
Yöntem 1 (Parça parça): Sadece F = 30 - (6+5+4) = 15. Sadece B = 26 - (6+4+4) = 12. Sadece V = 24 - (5+4+4) = 11. Toplam = 15 + 12 + 11 = 38.
Her kümenin toplam eleman sayısından, o kümenin diğer kümelerle olan kesişim bölgelerindeki elemanlar çıkarılarak sadece o kümeye ait elemanlar bulunur.

Anahtar Kavram

Üçlü Kümelerde Birleşim ve Kesişim Problemleri

İpuçları

1
Verilen sayıları yerleştirmek için üç kesişen daireden oluşan bir Venn şeması çizmeyi deneyin.
2
Şemayı doldurmaya en içten, yani her üçünü de oynayanların sayısından (4 kişi) başlayın.
3
'Futbol ve Basketbol' kesişimi 10 kişidir, ancak bunlardan 4'ü voleybol da oynamaktadır. Sadece Futbol ve Basketbol oynayanları bulmak için 10'dan 4'ü çıkarın.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruyu 'en az iki ders alanlar' veya 'en çok bir ders alanlar' koşuluyla çözmeyi deneyin.

Alternatif Yöntem

Toplam Formülü Yöntemi: s(A)+s(B)+s(C)=1⋅N1+2⋅N2+3⋅N3s(A)+s(B)+s(C) = 1 \cdot N_1 + 2 \cdot N_2 + 3 \cdot N_3. Burada NkN_k tam olarak kk ders alanların sayısıdır. 30+26+24=N1+2(15)+3(4)30+26+24 = N_1 + 2(15) + 3(4) denklemiyle N1N_1 doğrudan bulunabilir.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 25Soru →

AA ve BB birer küme olmak üzere,

s(A∖B)=s(A∩B)+3s(B∖A)=2⋅s(A∩B)s(A∪B)=19\begin{aligned} s(A \setminus B) &= s(A \cap B) + 3 \\ s(B \setminus A) &= 2 \cdot s(A \cap B) \\ s(A \cup B) &= 19 \end{aligned}

olduğuna göre, AA kümesinin eleman sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 11

Cevap

A kümesinin eleman sayısı 11'dir.
Verilen bağıntılar kullanılarak kesişim kümesine xx dendiğinde, AA fark BB kümesi x+3x+3, BB fark AA kümesi ise 2x2x olur. Bu üç bölgenin toplamı birleşim kümesini (19) verdiğinden 4x+3=194x+3=19 denkleminden x=4x=4 bulunur. AA kümesi ise (x+3)+x(x+3) + x toplamından 7+4=117+4=11 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Kesişim kümesinin eleman sayısına bir değişken atayın.
s(A∩B)=xs(A \cap B) = x olsun.
Diğer tüm bölgeler kesişim kümesine bağlı olarak tanımlanmıştır.
2
Diğer bölgeleri xx cinsinden ifade edin.
s(A∖B)=x+3s(A \setminus B) = x + 3 ve s(B∖A)=2xs(B \setminus A) = 2x.
Soruda verilen eşitlikler kullanılmıştır.
3
Birleşim formülünü kullanarak denklem kurun.
(x+3)+x+2x=19  ⟹  4x+3=19(x + 3) + x + 2x = 19 \implies 4x + 3 = 19.
Birleşim kümesi, ayrık olan A∖BA \setminus B, A∩BA \cap B ve B∖AB \setminus A bölgelerinin toplamıdır.
4
Denklemi çözerek xx değerini bulun.
4x=16  ⟹  x=44x = 16 \implies x = 4.
Kesişim kümesinin eleman sayısı belirlenmiştir.
5
AA kümesinin eleman sayısını hesaplayın.
s(A)=s(A∖B)+s(A∩B)=(x+3)+x=7+4=11s(A) = s(A \setminus B) + s(A \cap B) = (x + 3) + x = 7 + 4 = 11.
A kümesi, kendisine ait fark bölgesi ile kesişim bölgesinin birleşimidir.

Anahtar Kavram

Küme işlemlerinde bölgelerin ayrık olarak incelenmesi ve birleşim prensibi.

İpuçları

1
Venn şeması çizerek bölgeleri harflerle veya değişkenlerle isimlendirin.
2
Kesişim bölgesine xx derseniz, diğer bölgeleri bu xx türünden yazıp birleşimin toplamına eşitleyebilirsiniz.
3
AA kümesinin eleman sayısının s(A∖B)+s(A∩B)s(A \setminus B) + s(A \cap B) olduğunu unutmayın.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruyu, eleman sayıları yerine alt küme sayıları verildiğinde nasıl çözeceğinizi düşünün.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 26Soru →

AA ve BB kümeleri için;

s(A∪B)=17s(A \cup B) = 17
s(A∩B)=4s(A \cap B) = 4
s(A)=2⋅s(B)s(A) = 2 \cdot s(B)

olduğuna göre, B∖AB \setminus A kümesinin eleman sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

Sadece B kümesine ait olan eleman sayısı 3'tür.
Doğru yanıt olan 3 değeri, BB kümesinin toplam eleman sayısı olan 7'den, her iki kümede ortak bulunan 4 elemanın çıkarılmasıyla elde edilir. Bu işlem B∖AB \setminus A bölgesini doğru tanımlar.

Adım Adım Çözüm

1
Kümelerde birleşim formülünü yazalım.
s(A∪B)=s(A)+s(B)−s(A∩B)s(A \cup B) = s(A) + s(B) - s(A \cap B)
İki kümenin birleşimindeki eleman sayısını bulmak için temel kuraldır.
2
Verilen oranları değişken kullanarak ifade edelim.
s(B)=xs(B) = x ise s(A)=2xs(A) = 2x olur.
Soruda s(A)s(A)'nın s(B)s(B)'nin iki katı olduğu belirtilmiştir.
3
Değerleri formülde yerine koyarak denklemi çözelim.
17=2x+x−4⇒17+4=3x⇒21=3x⇒x=717 = 2x + x - 4 \Rightarrow 17 + 4 = 3x \Rightarrow 21 = 3x \Rightarrow x = 7. Yani s(B)=7s(B) = 7 ve s(A)=14s(A) = 14 bulunur.
s(B)s(B) değerini bulmak için cebirsel çözüm yapılır.
4
İstenen fark kümesinin eleman sayısını hesaplayalım.
s(B∖A)=s(B)−s(A∩B)=7−4=3s(B \setminus A) = s(B) - s(A \cap B) = 7 - 4 = 3.
B∖AB \setminus A, BB kümesinde olup AA kümesinde olmayan elemanları temsil eder.

Anahtar Kavram

Kümelerde Birleşim ve Fark İşlemi

İpuçları

1
s(A∪B)=s(A)+s(B)−s(A∩B)s(A \cup B) = s(A) + s(B) - s(A \cap B) formülünü hatırlayın.
2
s(B)s(B)'ye xx diyerek s(A)s(A)'yı 2x2x olarak yazın ve birleşim sayısını veren denklemde yerine koyun.
3
s(B)s(B)'yi bulduktan sonra, sadece BB kümesinde olanları bulmak için kesişimdeki 4 elemanı çıkarmayı unutmayın.

Daha Fazla Pratik

Venn şeması çizerek her bölgeye düşen eleman sayılarını yerleştirmek, bu tür soruları görselleştirmek için en iyi yoldur.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 27Soru →

A={1,2,3,4,5,6}A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} kümesi ile 1010'dan küçük asal sayılardan oluşan BB kümesi veriliyor. Buna göre, bu iki kümenin kesişimi olan A∩BA \cap B kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: {2,3,5}\{2, 3, 5\}

Cevap

Ortak elemanlardan oluşan {2, 3, 5} kümesidir.
Kesişim kümesi (A∩BA \cap B), iki kümenin ortak elemanlarından oluşur. A kümesi {1,2,3,4,5,6}\{1, 2, 3, 4, 5, 6\} olarak verilmiştir. B kümesi ise 10'dan küçük asal sayılar olan {2,3,5,7}\{2, 3, 5, 7\} elemanlarını içerir. Her iki listede de ortak olan sayılar 2, 3 ve 5 olduğu için doğru cevap bu elemanların oluşturduğu kümedir.

Adım Adım Çözüm

1
B kümesinin elemanlarını liste yöntemiyle belirlemek
B={2,3,5,7}B = \{2, 3, 5, 7\}
10'dan küçük asal sayılar 2, 3, 5 ve 7'dir. 1 asal sayı değildir.
2
A kümesinin elemanları ile B kümesinin elemanlarını karşılaştırmak
A={1,2,3,4,5,6}A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} ve B={2,3,5,7}B = \{2, 3, 5, 7\}
Kesişim işlemi için ortak olanları seçmemiz gerekir.
3
Her iki kümede de bulunan ortak elemanları yazmak
A∩B={2,3,5}A \cap B = \{2, 3, 5\}
2, 3 ve 5 sayıları her iki kümenin de elemanıdır.

Anahtar Kavram

Kümelerde Kesişim İşlemi

İpuçları

1
Kesişim sembolü (∩), her iki kümede de aynı anda bulunan elemanları bulmanızı sağlar.
2
Önce B kümesinin elemanlarını listeleyin: 10'dan küçük olan asal sayıları (2, 3, 5, 7) hatırlayın.
3
A kümesinin elemanları ile sizin oluşturduğunuz B kümesi listesini karşılaştırıp ortak olanları seçin.

Daha Fazla Pratik

Farklı bir örnek olarak bu iki kümenin birleşimindeki eleman sayısını bulmayı deneyebilirsiniz.
Tahmini Süre:1m 0s
Soru 28Soru →

AA, BB ve CC kümeleri tam sayılar kümesi üzerinde aşağıdaki gibi tanımlanmıştır:

A={x∣10<x<200,x=3k,k∈Z}A = \{x \mid 10 < x < 200, x = 3k, k \in \mathbb{Z}\}
B={x∣10<x<200,x=4m,m∈Z}B = \{x \mid 10 < x < 200, x = 4m, m \in \mathbb{Z}\}
C={x∣10<x<200,x=5n,n∈Z}C = \{x \mid 10 < x < 200, x = 5n, n \in \mathbb{Z}\}

Buna göre, A∩(B∪C)A \cap (B \cup C) kümesinin eleman sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 26

Cevap

İstenen kümenin eleman sayısı 26'dır.
Soru bizden AA kümesinin elemanlarından hem BB hem de CC kümesinin birleşiminde olanları istemektedir. Dağılma özelliği gereği A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C) olur. Bu iki kümenin birleşimini bulmak için önce her birinin eleman sayısını, sonra da kesişimlerini bulup formülde yerine koyarız: s((A∩B)∪(A∩C))=s(A∩B)+s(A∩C)−s(A∩B∩C)s((A \cap B) \cup (A \cap C)) = s(A \cap B) + s(A \cap C) - s(A \cap B \cap C). Hesaplamalar sonucu 16+13−3=2616 + 13 - 3 = 26 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
İstenen ifadeyi dağılma özelliği kullanarak sadeleştir.
A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)
Kümelerde işlem kolaylığı sağlamak için dağılma özelliği uygulanır.
2
Alt kümelerin eleman sayılarını bulmak için EKOK hesapla.
A∩BA \cap B için EKOK(3,4)=12; A∩CA \cap C için EKOK(3,5)=15; A∩B∩CA \cap B \cap C için EKOK(3,4,5)=60.
Kesişim kümeleri, ilgili sayıların ortak katlarından oluşur.
3
Belirtilen aralıktaki (10, 200) eleman sayılarını hesapla.
s(A∩B)=⌊19912⌋−⌊1012⌋=16s(A \cap B) = \lfloor \frac{199}{12} \rfloor - \lfloor \frac{10}{12} \rfloor = 16; s(A∩C)=⌊19915⌋−⌊1015⌋=13s(A \cap C) = \lfloor \frac{199}{15} \rfloor - \lfloor \frac{10}{15} \rfloor = 13; s(A∩B∩C)=⌊19960⌋−⌊1060⌋=3s(A \cap B \cap C) = \lfloor \frac{199}{60} \rfloor - \lfloor \frac{10}{60} \rfloor = 3.
Terim sayısı formülü veya tam sayı bölmesi ile aralıktaki katlar bulunur.
4
Birleşim kümesi formülünü uygula: s(X∪Y)=s(X)+s(Y)−s(X∩Y)s(X \cup Y) = s(X) + s(Y) - s(X \cap Y).
16+13−3=2616 + 13 - 3 = 26
İki kümenin birleşiminde ortak elemanlar iki kez sayıldığı için bir kez çıkarılmalıdır.

Anahtar Kavram

Kümelerde Dağılma Özelliği ve Birleşim Formülü (İçerme-Dışlama Prensibi)

İpuçları

1
İstenen ifadeyi (A∩B)∪(A∩C)(A \cap B) \cup (A \cap C) şeklinde düşünmek işlemi kolaylaştırır.
2
A∩BA \cap B kümesi hem 3'e hem 4'e bölünen (12'nin katı) sayılardır. Benzer şekilde A∩CA \cap C kümesi 15'in katlarıdır.
3
İki kümenin birleşimini hesaplarken s(X)+s(Y)−s(X∩Y)s(X) + s(Y) - s(X \cap Y) formülünü kullanın. Buradaki X∩YX \cap Y ifadesi, üç kümenin de kesişimi olan 60'ın katlarıdır.

Alternatif Yöntem

Venn şeması çizerek sadece (A∩B)∖C(A \cap B) \setminus C, sadece (A∩C)∖B(A \cap C) \setminus B ve (A∩B∩C)(A \cap B \cap C) bölgelerinin eleman sayılarını ayrı ayrı bulup toplayabilirsiniz: (16−3)+(13−3)+3=13+10+3=26(16-3) + (13-3) + 3 = 13 + 10 + 3 = 26.
Tahmini Süre:2m 30s
ÖncekiSayfa 2 / 2
Kümeler Alıştırma Soruları — KPSS Genel Yetenek - Genel Kültür — Sayfa 2 | Examkin