Kümeler Alıştırma Soruları — KPSS Genel Yetenek - Genel Kültür

$A$ , $B$ ve $C$ kümeleri için aşağıdaki bilgiler verilmiştir:

* $s(A \cup B \cup C) = 61$
* Sadece $A$ , sadece $B$ ve sadece $C$ kümelerine ait olan eleman sayıları birbirine eşittir.
* Herhangi iki kümenin kesişiminde bulunup üçüncü kümede bulunmayan eleman sayıları birbirine eşittir.
* $s(A) = 32$
* $s(B \cup C) = 51$
* $s(A \cap B \cap C) = 4$

Buna göre, $s((A \cap B) \cup (A \cap C))$ değeri kaçtır?

13

18

22

26

30

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 22

Cevap

İstenen birleşim kümesinin eleman sayısı 22'dir.

Venn şemasındaki bölgeler isimlendirildiğinde

k=10

ve

m=9

olarak bulunur.

s((A \cap B) \cup (A \cap C))

ifadesi

m+m+p

bölgesine karşılık geldiğinden

9+9+4=22

sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Kümelerin bölgelerini değişkenlerle ifade edin.

Sadece bir kümede olanlar

k

, sadece iki kümede olanlar

m

, üçünde birden olanlar

p

olsun.

Sorudaki eşitlikleri matematiksel bir modele dökmek için bu isimlendirme gereklidir.

2

Verilen bilgilerle denklemleri kurun.

s(A \cup B \cup C) = 3k + 3m + p = 61

ve

s(B \cup C) = 61 - k = 51

buradan

k = 10

bulunur.

Kümelerin birleşimi, tüm bölgelerin toplamıdır;

B \cup C

ise tüm birleşimden sadece

A

kümesine ait olan bölgenin çıkarılmasıdır.

3

s(A)

bilgisini kullanarak

m

değerini bulun.

s(A) = k + 2m + p = 32 \Rightarrow 10 + 2m + 4 = 32 \Rightarrow 2m = 18 \Rightarrow m = 9

olur.

A

kümesi; sadece

A

,

A \cap B

sadece ve

A \cap C

sadece bölgeleri ile üçlü kesişimin toplamıdır.

4

İstenen birleşim kümesini hesaplayın.

s((A \cap B) \cup (A \cap C)) = m + m + p = 9 + 9 + 4 = 22

.

İstenen bölge,

A

kümesi içindeki iki kesişim bölgesinin birleşimidir ve üçlü kesişimi bir kez içerir.

Anahtar Kavram

Üçlü Venn diyagramı üzerinde bölge bazlı eleman sayısı hesaplama ve küme işlemleri özellikleri.

Soru 2Soru →

$A$ ve $B$ kümeleri için aşağıdaki bilgiler verilmiştir:

* $s(A \cup B) = 35$
* $s(A \setminus B) = 2 \cdot s(B \setminus A)$
* $s(A \cap B)$ bir asal sayıdır.

Buna göre, $s(B)$ değeri en çok kaçtır?

23

27

29

31

33

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 31

Cevap

B kümesinin eleman sayısının alabileceği en büyük değer 31'dir.

Verilen

3k + p = 35

eşitliğinde,

s(B) = 35 - 2k

fonksiyonunu maksimum yapmak için

k

en küçük seçilmelidir.

k=1

denenir ancak

p=32

asal değildir.

k=2

için

p=29

asaldır ve bu değer

s(B)

'yi maksimum (31) yapar.

Adım Adım Çözüm

1

Kümelerin eleman sayılarını değişkenler cinsinden ifade etme

s(B \setminus A) = k

denirse, verilen eşitlikten

s(A \setminus B) = 2k

olur. Kesişim kümesine

s(A \cap B) = p

(asal sayı) diyelim.

Bilinmeyenleri azaltarak denklem kurmak için.

2

Birleşim kümesi formülünü kullanarak denklem kurma

s(A \cup B) = s(A \setminus B) + s(B \setminus A) + s(A \cap B) \Rightarrow 35 = 2k + k + p \Rightarrow 35 = 3k + p

k ve p arasındaki ilişkiyi belirlemek için.

3

s(B) ifadesini k cinsinden yazma ve maksimizasyon analizi

s(B) = s(B \setminus A) + s(A \cap B) = k + p

. Denklemden

p = 35 - 3k

yazarsak;

s(B) = k + (35 - 3k) = 35 - 2k

.

s(B)'nin en büyük olması için k'nın en küçük pozitif tam sayı olması gerektiğini görmek için.

4

k değerlerini deneyerek p'nin asal olma şartını sağlama

k=1

için

p = 35 - 3(1) = 32

(Asal değil).

k=2

için

p = 35 - 3(2) = 29

(Asal).
En küçük

k=2

değeri şartı sağlar.

Asal sayı şartını sağlayan en küçük k değerini bulmak için.

5

s(B) değerini hesaplama

s(B) = 35 - 2k = 35 - 2(2) = 31

.

Sonuca ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Kümelerde Birleşim ve Denklem Kurma

İpuçları

1

Kümelerin eleman sayılarını birer bilinmeyen (

x, y

gibi) ile isimlendirip birleşim formülünü yazmayı deneyin.

2

s(B \setminus A) = k

dersek,

s(A \setminus B) = 2k

olur. Birleşim kümesi denklemini

3k + p = 35

şeklinde kurabilirsiniz.

3

s(B)

'nin en büyük olması için

k

'nın mümkün olan en küçük değeri alması gerekir.

p

'nin asal sayı olduğu en küçük

k

değerini bulun.

Daha Fazla Pratik

Kesişim kümesinin boş olmadığı ve birleşim kümesinin sabit olduğu durumlarda s(A)'nın minimum değerini soran sorular çözülebilir.

Alternatif Yöntem

s(B)

'yi doğrudan

p

cinsinden de yazabiliriz:

k = (35-p)/3

.

s(B) = k+p = (35-p)/3 + p = (35+2p)/3

.

s(B)

'nin tam sayı olması için

35+2p

3'e bölünmeli ve

s(B)

'nin büyük olması için

p

büyük olmalı. En büyük asal

p

adaylarını deneyerek (29, 23, 17...) de sonuca ulaşabilirsiniz.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 3Soru →

$A$ ve $B$ kümeleri ortak özellik yöntemiyle aşağıdaki gibi tanımlanmıştır:

A = \{x \mid 30 < x \le 240, \, x = 4k, \, k \in \mathbb{Z}\}

B = \{y \mid 45 \le y < 300, \, y = 6m, \, m \in \mathbb{Z}\}

Buna göre, $A \cup B$ kümesinin eleman sayısı kaçtır?

61

77

78

79

95

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 78

Cevap

78

İstenen

s(A \cup B)

değeri için

s(A) + s(B) - s(A \cap B)

formülü kullanılır. Öncelikle her kümenin eleman sayısı terim sayısı formülü

\left(\frac{\text{Son} - \text{İlk}}{\text{Artış}} + 1\right)

ile hesaplanır.

s(A)=53

,

s(B)=42

ve

s(A \cap B)=17

bulunduktan sonra işlem yapılarak doğru cevap 78 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

A kümesinin eleman sayısını bulmak için belirtilen aralıktaki 4'ün katlarını belirle.

Aralık

(30, 240]

. İlk terim 32, son terim 240. Terim sayısı:

\frac{240-32}{4} + 1 = 52 + 1 = 53

.

Eşitsizlikte 30 dahil değil, 240 dahildir.

2

B kümesinin eleman sayısını bulmak için belirtilen aralıktaki 6'nın katlarını belirle.

Aralık

[45, 300)

. İlk terim 48, son terim 294. Terim sayısı:

\frac{294-48}{6} + 1 = 41 + 1 = 42

.

Eşitsizlikte 45 dahil, 300 dahil değildir.

3

A ve B kümelerinin kesişimini (

A \cap B

) bulmak için ortak katları (EKOK) ve ortak aralığı belirle.

EKOK(4, 6) = 12. Ortak aralık:

[45, 240]

. İlk terim 48, son terim 240. Terim sayısı:

\frac{240-48}{12} + 1 = 16 + 1 = 17

.

Kesişim kümesi için alt sınırların büyüğü, üst sınırların küçüğü alınır.

4

Birleşim kümesi formülünü uygula:

s(A \cup B) = s(A) + s(B) - s(A \cap B)

.

53 + 42 - 17 = 78

.

Kesişim bölgesindeki elemanlar her iki kümede de sayıldığı için bir kez çıkarılmalıdır.

Anahtar Kavram

Kümelerde Birleşim İşlemi ve Terim Sayısı Bulma

İpuçları

1

Birleşim kümesinin eleman sayısını bulmak için

s(A \cup B) = s(A) + s(B) - s(A \cap B)

formülünü kullanmalısınız.

2

Kesişim kümesi (

A \cap B

), her iki kümenin ortak katlarını (4 ve 6'nın EKOK'u) ve her iki aralığın kesişim bölgesini içerir.

3

A kümesi için 4'ün katlarını (30-240 aralığı), B kümesi için 6'nın katlarını (45-300 aralığı), kesişim için 12'nin katlarını (45-240 aralığı) sayın. 240'ın A ve kesişim kümesine dahil olduğuna dikkat edin.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 4Soru →

$A$ ve $B$ kümeleri için aşağıdaki bilgiler verilmiştir:

* $A$ kümesinin alt küme sayısı, $B$ kümesinin alt küme sayısının $64$ katıdır.
* $s(A \cap B) = 3$
* $s(A \cup B) = 19$

Buna göre, $A$ kümesinin eleman sayısı kaçtır?

8

11

12

14

17

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 14

Cevap

A kümesinin eleman sayısı 14'tür.

Alt küme sayısı

2^n

olduğundan, bir kümenin alt küme sayısının 64 katına çıkması (

2^6

), o kümenin eleman sayısının 6 artması demektir.

s(A) = s(B) + 6

ilişkisi ve birleşim formülü (

A \cup B = A + B - A \cap B

) kullanılarak

s(A)=14

bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Alt küme sayısı ilişkisini eleman sayısı denklemine dönüştür.

2^{s(A)} = 64 \cdot 2^{s(B)} \Rightarrow 2^{s(A)} = 2^6 \cdot 2^{s(B)} \Rightarrow s(A) = s(B) + 6

Alt küme sayısı

2^n

formülü ile hesaplanır ve üslü sayı kuralları gereği çarpım durumunda üsler toplanır.

2

Kümelerin birleşim formülünü yaz.

s(A \cup B) = s(A) + s(B) - s(A \cap B)

Birleşim kümesinin eleman sayısı, kümelerin eleman sayıları toplamından kesişimin çıkarılmasıyla bulunur.

3

Verilen değerleri ve 1. adımdaki ilişkiyi formülde yerine yaz.

19 = (s(B) + 6) + s(B) - 3

s(A)

yerine

s(B)+6

yazılarak tek bilinmeyenli denklem elde edilir.

4

Denklemi çözerek

s(B)

değerini bul.

19 = 2s(B) + 3 \Rightarrow 16 = 2s(B) \Rightarrow s(B) = 8

Bilinmeyen yalnız bırakılarak değer hesaplanır.

5

s(B)

değerini kullanarak

s(A)

değerini bul.

s(A) = s(B) + 6 = 8 + 6 = 14

Soruda

A

kümesinin eleman sayısı istenmektedir.

Anahtar Kavram

Alt Küme Sayısı ve Birleşim Formülü

İpuçları

1

Bir kümenin alt küme sayısı

2^n

formülü ile bulunur. 64 sayısı 2'nin kaçıncı kuvvetidir?

Alternatif Yöntem

Venn şeması çizerek;

s(A \cap B)=3

olduğu için kesişim bölgesine 3 yazılır.

s(B \setminus A) = x

denirse,

s(A \setminus B) = x+6

olur (çünkü

s(A)=s(B)+6

). Toplam birleşim

x + 3 + (x+6) = 19

denklemiyle de çözülebilir.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 5Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde

A

ve

B

kümeleri aşağıdaki gibi tanımlanmıştır:

A = \{x \in \mathbb{R} \mid |x - 2| \le 3\}

B = \{x \in \mathbb{R} \mid 2x - 4 < 0\}

Buna göre, $A \setminus B$ kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

[-1, 2)

[2, 5]

(2, 5]

[2, 3]

[-1, 5]

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $[2, 5]$

Cevap

[2, 5]

aralığıdır.

Öncelikle

A

ve

B

kümelerinin aralıkları bulunur.

A = [-1, 5]

ve

B = (-\infty, 2)

olarak hesaplanır.

A \setminus B

işlemi,

A

kümesinde bulunup

B

kümesinde bulunmayan elemanları ifade eder.

B

kümesi

2

'den küçük tüm sayıları kapsadığı için,

A

kümesinden bu kısım atılır. Geriye

2

ve daha büyük olan,

5

'e kadar olan sayılar kalır.

B

kümesi

2

'yi içermediği (açık aralık olduğu) için,

2

sayısı

A

'dan çıkarılmaz ve sonuç kümesine dahil edilir. Bu nedenle doğru cevap

[2, 5]

aralığıdır.

Adım Adım Çözüm

1

A

kümesini açık aralık olarak yazmak için mutlak değer eşitsizliğini çöz

|x - 2| \le 3 \implies -3 \le x - 2 \le 3 \implies -1 \le x \le 5

. Yani

A = [-1, 5]

.

Mutlak değerli eşitsizliklerin çözüm kuralı uygulanır.

2

B

kümesini açık aralık olarak yazmak için eşitsizliği çöz

2x - 4 < 0 \implies 2x < 4 \implies x < 2

. Yani

B = (-\infty, 2)

.

Birinci dereceden eşitsizlik çözülür.

3

A \setminus B

(A fark B) kümesini bul

A

kümesinden,

B

kümesinin elemanlarını çıkarırız.

B

,

2

'den küçük sayıları içerir.

A = [-1, 5]

aralığından

2

'den küçük kısımları atarsak geriye

2

ve

2

'den büyük kısımlar kalır.

2

sayısı

B

'ye dahil OLMADIĞI için (

x<2

), fark kümesinde KALIR.

Fark işlemi tanımı: A'da olup B'de olmayan elemanlar.

4

Sonucu aralık notasyonu ile ifade et

Kalan kısım

2

'den

5

'e kadardır ve her iki sınır da dahildir:

[2, 5]

.

Sınır değerlerin dahiliyeti kontrol edilir.

Anahtar Kavram

Kümelerde fark işlemi ve aralık kavramı

İpuçları

1

Önce

A

ve

B

kümelerini sayı doğrusu üzerinde aralık olarak ifade ediniz.

2

|x - 2| \le 3

eşitsizliği

-3 \le x - 2 \le 3

anlamına gelir.

B

kümesi için ise

2x < 4

eşitsizliğini çözünüz.

3

A = [-1, 5]

ve

B = (-\infty, 2)

şeklindedir. A kümesinden 2'den küçük sayıları çıkarırsanız geriye ne kalır? 2 sayısının B'ye dahil olup olmadığına dikkat ediniz.

Alternatif Yöntem

Sayı doğrusu çizerek görselleştirme yöntemi: Sayı doğrusunda -1 ile 5 arasını tarayın (A). Sonra 2'den küçük kısmı silin (B). Geriye kalan parça cevaptır.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 6Soru →

Tam sayılar kümesi üzerinde tanımlı

A = \{x \in \mathbb{Z} \mid -3 \le x < 4\}

kümesi veriliyor.

Buna göre, $A$ kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde en az bir negatif tam sayı bulunur?

16

64

96

112

120

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 112

Cevap

112

Soruda 'en az bir negatif tam sayı bulunur' ifadesi geçtiğinde, doğrudan hesaplama yapmak yerine tümleyen mantığını kullanmak daha pratiktir. Öncelikle kümenin tüm elemanları

A = \{-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3\}

olarak belirlenir. Toplam 7 eleman vardır, dolayısıyla toplam alt küme sayısı

2^7 = 128

'dir. İstenmeyen durum, alt kümede hiç negatif sayı bulunmamasıdır. Bu da alt kümenin sadece

\{0, 1, 2, 3\}

elemanlarından (4 eleman) oluşması demektir. Bu elemanlarla yazılabilecek alt küme sayısı

2^4 = 16

'dır. Sonuç olarak, tüm durumlardan istenmeyen durum çıkarılır:

128 - 16 = 112

.

Adım Adım Çözüm

1

A kümesinin elemanlarını liste yöntemiyle yazma

A = \{-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3\}

Aralıktaki tam sayıları belirleyerek kümenin toplam eleman sayısını bulmak gerekir.

2

Kümenin toplam eleman sayısını ve negatif olmayan elemanları belirleme

Toplam eleman sayısı

s(A) = 7

. Negatif olmayan elemanlar:

\{0, 1, 2, 3\}

(4 eleman).

Tüm alt kümelerden istenmeyen durumu çıkarmak için bu gruplandırma gereklidir.

3

Tüm alt kümelerin sayısını hesaplama

2^7 = 128

n elemanlı bir kümenin tüm alt kümelerinin sayısı

2^n

formülü ile bulunur.

4

İçinde hiç negatif sayı bulunmayan (sadece negatif olmayanlardan oluşan) alt küme sayısını hesaplama

2^4 = 16

Negatif olmayan 4 elemanın oluşturabileceği alt kümeler, soruda istenmeyen durumlardır.

5

Tüm durumlardan istenmeyen durumları çıkarma

128 - 16 = 112

Tüm alt kümelerden, hiç negatif sayı içermeyenleri çıkarırsak, geriye kalanların hepsinde en az bir negatif sayı bulunur.

Anahtar Kavram

Tümleyenden Gitme Yöntemi (Tüm Durumlar - İstenmeyen Durumlar)

İpuçları

1

Önce A kümesinin elemanlarını açıkça yazarak kaç elemanlı olduğunu bulun.

2

'En az bir negatif sayı' bulunanları tek tek saymak zordur. Bunun yerine, 'hiç negatif sayı bulunmayan' durumları bulup tüm durumlardan çıkarmayı deneyin.

3

Kümedeki negatif olmayan elemanlar

\{0, 1, 2, 3\}

tür. Sadece bu elemanlar kullanılarak oluşturulan alt kümelerin içinde negatif sayı olmaz. Toplam alt küme sayısından (

2^7

) bu sayıyı (

2^4

) çıkarın.

Alternatif Yöntem

Kombinasyon yöntemiyle: 3 negatif elemandan 1 tane seçilip yanına diğerlerinden seçilenler eklenebilir, ancak bu yöntem 'en az bir' sorularında çok daha uzun sürer. Tümleyen yöntemi en verimlisidir.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 7Soru →

$A = \{x \mid 10 < x \leq 30, \text{ } x = 3k, \text{ } k \in \mathbb{Z}\}$
$B = \{x \mid 15 \leq x < 40, \text{ } x = 2k, \text{ } k \in \mathbb{Z}\}$
kümeleri veriliyor. Buna göre, $A \cap B$ kümesinin eleman sayısı kaçtır?

2

3

4

7

16

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

Ortak elemanlar 18, 24 ve 30 olduğundan eleman sayısı 3'tür.

Kesişim kümesi, her iki kümenin de eleman özelliklerini aynı anda taşıyan sayılardan oluşur.

x

hem 3'ün hem de 2'nin katı olmalıdır (

EKOK(2,3) = 6

). Ayrıca

x

hem

(10, 30]

hem de

[15, 40)

aralığında olmalıdır, yani

15 \leq x \leq 30

şartını sağlamalıdır. Bu aralıktaki 6'nın katları 18, 24 ve 30'dur.

Adım Adım Çözüm

1

A

kümesinin elemanlarını listeleyelim.

A = \{12, 15, 18, 21, 24, 27, 30\}

10 ile 30 arasındaki (30 dahil) 3'ün katı olan tam sayıları bulmamız gerekir.

2

B

kümesinin elemanlarını listeleyelim.

B = \{16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30, 32, 34, 36, 38\}

15 ile 40 arasındaki (15 dahil, 40 hariç) 2'nin katı olan tam sayıları bulmamız gerekir.

3

A \cap B

(kesişim) kümesinin elemanlarını belirleyelim.

A \cap B = \{18, 24, 30\}

Her iki listede de ortak olan sayıları seçmelisiniz. Bu sayılar aynı zamanda 2 ve 3'ün en küçük ortak katı olan 6'nın katlarıdır.

4

Eleman sayısını sayalım.

s(A \cap B) = 3

Kümede 3 adet eleman bulunmaktadır.

Anahtar Kavram

Ortak özellik yöntemiyle verilen kümelerde kesişim işlemi, her iki kümenin de şartlarını sağlayan elemanların bulunmasını gerektirir.

İpuçları

1

Kesişim kümesi (

A \cap B

), her iki kümede de bulunan ortak elemanlardan oluşur.

2

Her iki kümede de ortak olan elemanlar hem 2'nin hem de 3'ün katı (yani 6'nın katı) olmalıdır.

3

x

sayısının hem

10 < x \leq 30

hem de

15 \leq x < 40

aralıklarını sağlaması gerekir. Yani

x

, 15 ile 30 (dahil) arasında olmalıdır.

Daha Fazla Pratik

Kümelerin birleşim kümesinin eleman sayısını

s(A \cup B) = s(A) + s(B) - s(A \cap B)

formülü ile hesaplamayı deneyin.

Alternatif Yöntem

Aralıkları birleştirerek ortak bir aralık bulun:

\max(10, 15) \leq x \leq \min(30, 39) \Rightarrow 15 \leq x \leq 30

. Hem 2 hem 3'e bölünen sayılar 6'nın katıdır. 15 ile 30 arasındaki 6'nın katları:

18, 24, 30

.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 8Soru →

Tam sayılar kümesi üzerinde tanımlı $A$ ve $B$ kümeleri aşağıdaki gibi verilmiştir:

A = \{x \mid 100 < x \le 600, \; x = 4k, \; k \in \mathbb{Z}\}

B = \{x \mid 150 \le x < 700, \; x = 6m, \; m \in \mathbb{Z}\}

Buna göre, $A$ fark $B$ kümesinin eleman sayısı ( $s(A \setminus B)$ ) kaçtır?

83

87

88

106

125

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 87

Cevap

Doğru cevap 87'dir.

Soru, A kümesinde olup B kümesinde olmayan elemanların sayısını sormaktadır. Bunun için önce A kümesinin toplam eleman sayısı bulunur (125). Daha sonra hem A hem de B'de olan (kesişim) elemanlar bulunur. Kesişim kümesi için sayılar hem 4'ün hem 6'nın katı olmalı (EKOK=12) ve her iki aralığın ortak bölgesinde (150-600) bulunmalıdır. Kesişimdeki eleman sayısı 38 olarak bulunur. Sonuç olarak

125 - 38 = 87

elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

A kümesinin eleman sayısını hesapla. A kümesi 100'den büyük, 600'e eşit veya küçük 4'ün katı olan sayıları içerir.

İlk terim: 104, Son terim: 600. Terim Sayısı = (600 - 104) / 4 + 1 = 125.

Terim sayısı formülü: [(Son Terim - İlk Terim) / Artış Miktarı] + 1

2

Kesişim kümesi

A \cap B

'yi tanımla. Hem 4'e hem 6'ya bölünen sayılar EKOK(4,6) = 12'ye bölünür. Aralık ise iki kümenin kesişimidir.

Alt sınır: max(100, 150) = 150. Üst sınır: min(600, 700) = 600. Aralık: [150, 600].

Kesişim kümesi, her iki kısıtlamayı da aynı anda sağlayan elemanlardan oluşur.

3

A \cap B

kümesinin eleman sayısını hesapla. 150 ile 600 aralığında (sınırlar dahil) 12'nin katı olan sayılar.

İlk terim: 156 (150'den büyük ilk 12 katı), Son terim: 600. Terim Sayısı = (600 - 156) / 12 + 1 = 38.

600 sayısı 12'ye tam bölünür, bu yüzden son terim olarak alınır.

4

s(A \setminus B)

değerini bulmak için

s(A) - s(A \cap B)

işlemini yap.

125 - 38 = 87.

s(A \setminus B) = s(A) - s(A \cap B)

kuralı uygulanır.

Anahtar Kavram

Kümelerde fark işlemi ve eleman sayısı hesabı (Sonlu Toplamlar ve Bölünebilme Kuralları ile birlikte)

İpuçları

1

s(A \setminus B)

değerini bulmak için

s(A) - s(A \cap B)

formülünü kullanmalısınız.

2

A \cap B

kümesi, her iki kümenin sayı aralıklarının kesişiminde (ortak bölgesinde) bulunan ve hem 4'e hem de 6'ya bölünebilen sayılardan oluşur.

3

4 ve 6'nın en küçük ortak katı (EKOK) 12'dir. Kesişim aralığı ise

150 \le x \le 600

olacaktır. Bu aralıktaki 12'nin katlarını sayınız.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla, 'A veya B kümesinin eleman sayısı' (

s(A \cup B)

) sorulan soruları da çözebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

A kümesinin elemanlarını listeleyip 6'ya bölünenleri elemek yerine, doğrudan 12'nin katlarını çıkarmak daha hızlıdır.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 9Soru →

$E$ evrensel kümesinin iki alt kümesi olan $A$ ve $B$ için aşağıdaki bilgiler verilmiştir:

- $s(E) = 30$
- $s(A' \cap B') = 8$
- $s(A \cap B) = 4$
- $s(A \setminus B) = 2 \cdot s(B \setminus A)$

Buna göre, $A$ kümesinin eleman sayısı kaçtır?

10

12

16

18

22

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 16

Cevap

Verilen oranlar ve evrensel küme verileri kullanıldığında A kümesinin eleman sayısı 16 olarak hesaplanır.

Evrensel kümeden dış bölge çıkarıldığında birleşim kümesi 22 bulunur. Kesişim bölgesi olan 4 çıkarıldığında kalan 18 eleman,

2:1

oranında fark kümelerine dağıtılır (

12

ve

6

).

A

kümesi, kendisine ait olan 12 eleman ile ortak olan 4 elemanın toplamından oluştuğu için sonuç 16'dır.

Adım Adım Çözüm

1

Birleşim kümesinin eleman sayısını bulun.

s(A \cup B) = s(E) - s(A' \cap B') = 30 - 8 = 22

Evrensel kümeden, hem A hem de B kümesinin dışında kalan elemanlar çıkarıldığında birleşim kümesine ulaşılır.

2

Fark kümeleri toplamını hesaplayın.

s(A \setminus B) + s(B \setminus A) = s(A \cup B) - s(A \cap B) = 22 - 4 = 18

Birleşim kümesinden kesişim kümesinin eleman sayısı çıkarıldığında, sadece A'da olanlar ile sadece B'de olanların toplamı bulunur.

3

Verilen oranı kullanarak bilinmeyenleri bulun.

s(B \setminus A) = x

ise

2x + x = 18 \Rightarrow 3x = 18 \Rightarrow x = 6

s(A \setminus B) = 2x

ve

s(B \setminus A) = x

olarak denkleme yerleştirilir.

4

A kümesinin toplam eleman sayısını hesaplayın.

s(A) = s(A \setminus B) + s(A \cap B) = 12 + 4 = 16

A kümesinin eleman sayısı, sadece A'da olanlar ile kesişim bölgesindeki elemanların toplamıdır.

Anahtar Kavram

Kümelerde Eleman Sayısı ve Bölge İşlemleri

İpuçları

1

s(A \cup B)

değerini bulmak için evrensel kümeden dışarıdaki elemanları çıkarın.

2

Birleşim kümesi;

A \setminus B

,

B \setminus A

ve

A \cap B

bölgelerinin toplamıdır.

3

s(B \setminus A)

'ya

x

derseniz,

s(A \setminus B)

değeri

2x

olur.

2x + x + 4 = 22

denklemini çözün.

Daha Fazla Pratik

Alt küme sayısı ve kartezyen çarpım özellikleri ile ilgili sorulara göz atabilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Venn şeması çizerek bölgelere

2x

,

4

ve

x

değerlerini yerleştirip dış bölgeye

8

yazarak

s(E)

üzerinden toplamı eşitleyebilirsiniz.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 10Soru →

Bir kurumda çalışan personelin tamamı İngilizce, Almanca ve Rusça dillerinden en az birini bilmektedir. Bu personelle ilgili aşağıdaki bilgiler verilmiştir:

* Sadece bir dil bilenlerin sayısı 38'dir.
* İngilizce ve Almanca bilenlerin sayısı 15, Almanca ve Rusça bilenlerin sayısı 12, İngilizce ve Rusça bilenlerin sayısı 10'dur.
* Her üç dili de bilenlerin sayısı 5'tir.
* Sadece İngilizce bilenlerin sayısı, sadece Almanca bilenlerin sayısının 2 katıdır.
* İngilizce bilenlerin toplam sayısı, Almanca bilenlerin toplam sayısından 8 fazladır.

Buna göre, bu kurumda sadece Rusça bilen kaç personel vardır?

6

8

10

12

14

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 8

Cevap

Sadece Rusça bilen personel sayısı 8'dir.

Verilen bilgilerle kurulan Venn şemasında, kesişim bölgeleri düzeltildikten sonra elde edilen

x - y = 10

ve

x = 2y

denklemleri sayesinde sadece İngilizce bilenler 20, sadece Almanca bilenler 10 kişi olarak bulunur. Toplam 38 olan 'sadece bir dil bilenler' grubundan bu sayılar çıkarıldığında sadece Rusça bilenlerin sayısı 8 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

Kümelerin kesişim bölgelerini (sadece iki dil bilen kısımları) belirle.

Sadece İ ve A:

15 - 5 = 10

; Sadece A ve R:

12 - 5 = 7

; Sadece İ ve R:

10 - 5 = 5

.

Verilen kesişim sayıları, her üç dili bilenleri de kapsadığından, sadece iki dil bilenleri bulmak için 5 çıkarılmalıdır.

2

İngilizce ve Almanca bilenlerin toplam sayılarını değişkenler cinsinden ifade et.

s(İ) = x + 10 + 5 + 5 = x + 20

ve

s(A) = y + 10 + 7 + 5 = y + 22

.

Bir dili bilenlerin toplamı; o dili sadece bilenler, başka bir dille birlikte bilenler ve her üç dili bilenlerin toplamıdır.

3

Diller arası ilişkileri kullanarak x ve y değerlerini çöz.

x = 2y

ve

x + 20 = (y + 22) + 8 \implies x - y = 10

. Buradan

2y - y = 10 \implies y = 10

ve

x = 20

.

Verilen '2 katı' ve '8 fazla' bilgileriyle bir denklem sistemi kurulur.

4

Sadece bir dil bilenlerin toplamından z (Sadece Rusça) değerini bul.

x + y + z = 38 \implies 20 + 10 + z = 38 \implies z = 8

.

Sadece bir dil bilen personelin toplamı verildiği için bilinen değerler yerine konularak sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Kümelerde kesişim, fark ve birleşim işlemleri ile çoklu değişkenli problem çözümü.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 11Soru →

$A$ ve $B$ , $E$ evrensel kümesinin boş kümeden farklı iki alt kümesidir. $A'$ ve $B'$ , sırasıyla $A$ ve $B$ kümelerinin tümleyenlerini göstermektedir.

Buna göre,

[(A \cup B') \setminus (A \cap B)] \cap A

ifadesinin en sade hali aşağıdakilerden hangisidir?

A \setminus B

B'

A \cap B

B \setminus A

E

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $A \setminus B$

Cevap

İfadenin en sade hali

A \setminus B

dir.

Verilen ifadede öncelikle fark işlemi kesişim ve tümleyen cinsinden yazılır (

X \setminus Y = X \cap Y'

). Ardından

(A \cap B)'

ifadesine De Morgan kuralı uygulanarak

A' \cup B'

elde edilir. İfade

[(A \cup B') \cap (A' \cup B')]

haline gelir. Burada

B'

ile birleşim işlemi ortak olduğu için dağılma özelliği tersten işletilerek

B' \cup (A \cap A')

elde edilir.

A \cap A' = \emptyset

olduğundan köşeli parantezin içi

B'

olur. Son olarak dışarıdaki

A

ile kesişim alındığında

B' \cap A

elde edilir ki bu da

A \setminus B

demektir.

Adım Adım Çözüm

1

Fark işlemi özelliğini (

X \setminus Y = X \cap Y'

) parantez içindeki ifadeye uygulayalım.

[(A \cup B') \cap (A \cap B)'] \cap A

Küme işlemlerinde fark işlemini kesişim ve tümleyen cinsinden yazmak sadeleştirmeyi kolaylaştırır.

2

De Morgan kuralını (

(A \cap B)' = A' \cup B'

) uygulayalım.

[(A \cup B') \cap (A' \cup B')] \cap A

Tümleyen işlemini parantez içine dağıtarak ortak terimleri görmeyi sağlarız.

3

Ortak olan

B'

terimini dağılma özelliği ile parantez dışına alalım.

[B' \cup (A \cap A')] \cap A

Her iki parantezde de

B'

birleşim işlemi ortaktır (

X \cup Y

ve

Z \cup Y

yapısı).

4

Bir küme ile tümleyeninin kesişiminin boş küme (

A \cap A' = \emptyset

) olduğunu kullanalım.

[B' \cup \emptyset] \cap A = B' \cap A

Boş küme ile birleşme işlemi etkisizdir.

5

Elde edilen ifadeyi fark işlemi tanımına geri çevirelim.

A \cap B' = A \setminus B

Sonuç şıklarda genellikle fark işlemi formatında verilir.

Anahtar Kavram

Kümelerde İşlemler ve De Morgan Kuralları

İpuçları

1

Fark işlemini (

X \setminus Y

), kesişim ve tümleyen kullanarak

X \cap Y'

şeklinde yazarak başlayın.

2

İkinci kısımdaki

(A \cap B)'

ifadesi için De Morgan kuralını uygulayın ve her iki tarafta ortak olan terimi (

B'

) parantez dışına almaya çalışın.

Alternatif Yöntem

Venn şeması çizerek bölgelere numara verilebilir.

A \setminus B

(bölge 1),

A \cap B

(bölge 2),

B \setminus A

(bölge 3) ve dışarıdaki bölge 4 olsun. Sorudaki her bir adımı bu bölgeler üzerinden takip ederek (Örn:

A \cup B' = \{1, 2, 4\}

) sonucu bulabilirsiniz.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 12Soru →

Tam sayılar kümesi üzerinde tanımlı $A$ , $B$ ve $C$ kümeleri aşağıdaki gibi verilmiştir:

A = \{x \in \mathbb{Z} \mid 40 \le x \le 360, \; x = 3k \}

B = \{x \in \mathbb{Z} \mid 40 \le x \le 360, \; x = 4m \}

C = \{x \in \mathbb{Z} \mid 40 \le x \le 360, \; x = 5n \}

Buna göre, bu sayı aralığında bulunan elemanlardan kaç tanesi yalnızca iki kümeye aittir?

42

48

54

60

66

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 48

Cevap

Yalnızca iki kümeye ait eleman sayısı 48'dir.

İstenen bölge, Venn şemasında sadece iki kümenin kesiştiği ancak üçüncü kümenin dahil olmadığı 'yaprak' bölgeleridir.

s(A \cap B)

,

s(A \cap C)

ve

s(B \cap C)

değerlerinin toplamı, üç kümenin de kesiştiği orta göbeği (

A \cap B \cap C

) üç kez içerir. Yalnızca iki kümeye ait olanları bulmak için, bu üçlü kesişim sayısı toplamdan 3 kez çıkarılmalıdır:

(27+22+17) - 3(6) = 48

.

Adım Adım Çözüm

1

Kümelerin tanımlarını analiz et

A

kümesi 3'ün katları,

B

kümesi 4'ün katları,

C

kümesi 5'in katlarıdır. Aralık

[40, 360]

kapalı aralığıdır.

Soruda 'yalnızca iki kümeye ait' elemanlar sorulduğu için ikili kesişimlerin (

EKOK

) bulunması gerekir.

2

İkili kesişim kümelerinin eleman sayılarını hesapla

s(A \cap B)

: 12'nin katları (EKOK(3,4)=12). Aralıkta:

\frac{360-48}{12} + 1 = 27

adet.

s(A \cap C)

: 15'in katları (EKOK(3,5)=15). Aralıkta:

\frac{360-45}{15} + 1 = 22

adet.

s(B \cap C)

: 20'nin katları (EKOK(4,5)=20). Aralıkta:

\frac{360-40}{20} + 1 = 17

adet.

Yalnızca iki kümeye ait olanları bulmak için önce tüm ikili kesişimlerin toplam boyutu bulunmalıdır.

3

Üçlü kesişim kümesinin eleman sayısını hesapla

s(A \cap B \cap C)

: 60'ın katları (EKOK(3,4,5)=60). Aralıkta: 60, 120, 180, 240, 300, 360. Toplam 6 adet.

İkili kesişimlerin her biri, üçlü kesişimi (

A \cap B \cap C

) de kendi içinde barındırır. Bu fazlalıkların atılması gerekir.

4

Yalnızca iki kümeye ait eleman sayısını formülize et ve hesapla

Formül:

[s(A \cap B) + s(A \cap C) + s(B \cap C)] - 3 \cdot s(A \cap B \cap C)

İşlem:

(27 + 22 + 17) - 3(6) = 66 - 18 = 48

.

Her bir ikili kesişim kümesi (örneğin

A \cap B

), 'sadece A ve B' ile 'A, B ve C' bölgelerinin toplamıdır. Üçlü kesişim bölgesi üç ikili kesişimde de sayıldığı için, 'yalnızca iki' bölgesini bulmak için 3 kez çıkarılmalıdır.

Anahtar Kavram

Kümelerde Kesişim ve Birleşim Problemleri (EKOK Uygulamaları)

İpuçları

1

Soruda 'yalnızca iki' kümeye ait elemanlar soruluyor. Önce hangi sayıların hem A hem B, hem A hem C, hem de B ve C kümelerinde ortak olduğunu (EKOK kullanarak) bulun.

2

12'nin, 15'in ve 20'nin katlarını bulduğunuzda, bu sayıların içinde 60'ın katları da (yani üç kümenin de elemanları) yer alır.

3

Her bir ikili kesişim grubunu topladığınızda, üç kümenin ortak elemanlarını (60'ın katlarını) fazladan saymış olursunuz. 'Yalnızca iki' bölgesi için, her ikili kesişimden üçlü kesişim sayısını çıkarmanız gerekir.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 13Soru →

40 kişilik bir öğrenci grubunda İngilizce konuşan 24, Almanca konuşan 22 kişi vardır. Bu grupta her iki dili de konuşanların sayısı, bu iki dili de konuşamayanların sayısının 2 katıdır. Buna göre, bu grupta sadece Almanca konuşan kaç öğrenci vardır?

6

8

10

12

14

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 10

Cevap

Grupta sadece Almanca konuşan öğrenci sayısı 10'dur.

Topluluktaki öğrencilerin dağılımı Venn şeması ile incelendiğinde; hiçbir dili konuşamayanlara

x

denilirse, her iki dili konuşanlara

2x

denir. İngilizce konuşanların tamamı 24, Almanca konuşanların tamamı 22 olduğuna göre, toplam mevcut

(24 + 22 - 2x) + x = 40

denkleminden

x=6

olarak bulunur. Her iki dili konuşanların sayısı

2x = 12

olur. Sadece Almanca konuşanlar ise Almanca konuşan toplam kişi sayısından (22) her iki dili konuşanların (12) çıkarılmasıyla 10 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

Değişkenleri tanımlama

Dilleri konuşamayanlara

x

, her iki dili konuşanlara

2x

denir.

Soruda verilen oransal ilişkiyi denkleme dökebilmek için.

2

Birleşim kümesi formülünü yazma

s(I \cup A) = s(I) + s(A) - s(I \cap A)

En az bir dil konuşanların sayısını belirlemek için standart küme formülü kullanılır.

3

Toplam kişi sayısı denklemini kurma

s(I \cup A) + s(I \cup A)' = 40 \Rightarrow (24 + 22 - 2x) + x = 40

Gruptaki tüm elemanların toplamı (en az bir dil konuşanlar + hiçbirini konuşamayanlar) evrensel küme olan 40'a eşitlenir.

4

Denklemi çözme

46 - x = 40 \Rightarrow x = 6

Hiç dil konuşamayanların sayısını bulmak için matematiksel sadeleştirme yapılır.

5

Kesişim kümesini hesaplama

s(I \cap A) = 2x = 12

İlişki gereği

x

değerinin 2 katı alınarak her iki dili de konuşanlar bulunur.

6

Sadece Almanca konuşanları bulma

s(A) - s(I \cap A) = 22 - 12 = 10

Almanca kümesinden kesişim kümesi çıkarıldığında sadece o dile ait olan bölge elde edilir.

Anahtar Kavram

Kümelerde Birleşim ve Kesişim İlişkileri

İpuçları

1

Bir Venn şeması çizerek bölgeleri (İngilizce konuşanlar, Almanca konuşanlar, her ikisi ve hiçbiri) yerleştirmeyi deneyin.

2

Hiçbir dili konuşamayanlara 'x' derseniz, her iki dili konuşanların '2x' olduğunu unutmayın. Toplamı 40'a eşitleyin.

3

Sadece Almanca konuşanları bulmak için Almanca kümesinin toplamından (22), bulduğunuz kesişim değerini (2x) çıkarmanız gerekir.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruyu, yüzdelik dilimler kullanarak çözmeyi deneyin (Örn: %60'ı A, %50'si B dilini konuşan bir grup).

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 14Soru →

$A = \{a, b, c, 1, 2, 3\}$ kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde harflerden yalnızca bir tanesi bulunur?

16

24

32

48

56

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 24

Cevap

Alt kümelerin 24 tanesinde harflerden yalnızca biri bulunur.

İstenilen alt kümeler, harflerden (

a,b,c

) sadece birini ve rakamlardan (

1,2,3

) oluşturulabilecek herhangi bir kombinasyonu içermelidir. Harf seçimi için 3 seçenek vardır. Geriye kalan 3 rakamın oluşturduğu alt küme sayısı

2^3=8

'dir. Çarpma kuralına göre toplam

3 \times 8 = 24

alt küme yazılabilir.

Adım Adım Çözüm

1

Kümeyi özelliklerine göre gruplandır

Harfler kümesi

H = \{a, b, c\}

(3 eleman), Rakamlar kümesi

R = \{1, 2, 3\}

(3 eleman).

Soruda istenen koşul harfler üzerine kuruludur, bu yüzden harfleri ve diğer elemanları ayırmalıyız.

2

Harflerden seçim yapma durumunu hesapla

3 harften yalnızca 1 tanesi seçilmelidir:

\binom{3}{1} = 3

farklı seçim.

Alt kümede kesinlikle bir harf bulunmalı ve bu harf tek olmalıdır.

3

Rakamlardan oluşabilecek alt kümeleri hesapla

Rakamlar (

R

) kümesinden istenilen sayıda eleman seçilebilir.

2^3 = 8

farklı durum.

Yanındaki rakamlar için bir kısıtlama yoktur; hiçbiri, bazıları veya hepsi seçilebilir.

4

Toplam durumu hesapla (Çarpma kuralı)

3 \times 8 = 24

.

Harf seçimi ve rakam alt kümeleri birbirinden bağımsız olaylardır, bu yüzden seçenek sayıları çarpılır.

Anahtar Kavram

Alt Küme Oluşturma ve Sayma Yöntemleri

İpuçları

1

Kümeyi iki parçaya ayırın: Harfler (

H

) ve Rakamlar (

R

).

2

Harflerden sadece 1 tanesini kaç farklı şekilde seçebileceğinizi düşünün.

3

Seçtiğiniz her bir harfin yanına, rakamlarla oluşturulabilecek tüm alt kümeleri (

2^n

) ekleyebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Uzun yol: İçinde sadece 'a' olanlar (

1 \times 2^3 = 8

), sadece 'b' olanlar (

8

) ve sadece 'c' olanlar (

8

) tek tek hesaplanıp toplanabilir:

8+8+8=24

.

Tahmini Süre:1m 0s

Soru 15Soru →

Tam sayılar kümesi üzerinde $A$ ve $B$ kümeleri aşağıdaki gibi tanımlanmıştır:

A = \{ x \in \mathbb{Z} \mid 40 < x < 340, \: x = 4k, \: k \in \mathbb{Z} \}

B = \{ x \in \mathbb{Z} \mid 40 < x < 340, \: x = 6m + 4, \: m \in \mathbb{Z} \}

Buna göre, $A \setminus B$ fark kümesinin eleman sayısı kaçtır?

48

49

50

51

52

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 50

Cevap

A \setminus B kümesinin eleman sayısı 50'dir.

Doğru cevap 50'dir çünkü

s(A)=74

ve

s(A \cap B)=24

olarak hesaplanır.

s(A \setminus B) = 74 - 24 = 50

sonucuna ulaşılır. Kesişim kümesi belirlenirken

x = 4k

ve

x = 6m+4

koşullarının ortak çözümü olan

x = 12n+4

dizisi kullanılır.

Adım Adım Çözüm

1

A kümesinin eleman sayısını bulmak için aralıktaki 4'ün katı olan sayıları belirle.

40 < 4k < 340 eşitsizliğinden 10 < k < 85 elde edilir. k değeri 11'den 84'e kadar değer alır. Terim sayısı: 84 - 11 + 1 = 74.

Terim sayısı formülü: (Son Terim - İlk Terim) / Artış Miktarı + 1.

2

A ve B kümelerinin kesişim kümesinin (A ∩ B) kuralını belirle.

x hem 4'ün katı (x=4k) hem de 6'ya bölündüğünde 4 kalanını veren (x=6m+4) bir sayı olmalıdır. Bu koşulu sağlayan sayılar 12'nin katının 4 fazlasıdır: x = 12n + 4.

4k = 6m + 4 denklemi sadeleştirildiğinde 2k = 3m + 2 olur. Buradan k sayısının 3n+1 formunda olması gerektiği bulunur. Yerine yazılırsa x = 4(3n+1) = 12n + 4 çıkar.

3

Kesişim kümesinin (A ∩ B) eleman sayısını hesapla.

40 < 12n + 4 < 340 eşitsizliğinden 36 < 12n < 336 ve 3 < n < 28 elde edilir. n değeri 4'ten 27'ye kadar değer alır. Terim sayısı: 27 - 4 + 1 = 24.

Sadece ortak elemanlar fark kümesinden çıkarılmalıdır.

4

Fark kümesinin eleman sayısını s(A \ B) = s(A) - s(A ∩ B) formülüyle hesapla.

74 - 24 = 50.

A kümesindeki elemanlardan, B kümesinde de olan (kesişim) elemanlar çıkarılır.

Anahtar Kavram

Fark kümesinin eleman sayısı s(A \ B) = s(A) - s(A ∩ B) formülü ile bulunur. Kesişim kümesi bulunurken, iki farklı modüler aritmetik koşulunun (bölünebilme kuralının) ortak çözümü alınmalıdır.

İpuçları

1

Fark kümesinin eleman sayısını bulmak için

s(A \setminus B) = s(A) - s(A \cap B)

formülünü kullanmalısın.

2

Önce

A

kümesinin eleman sayısını bul. Ardından

A \cap B

kümesini bulmak için hem 4'ün katı olan hem de 6'ya bölündüğünde 4 kalanını veren sayıların genel kuralını (örüntüsünü) tespit et.

3

A \cap B

kümesi için: Bir sayı hem 4'ün katı (

4k

) hem de 6'nın katının 4 fazlası (

6m+4

) ise, bu sayı 12'ye bölündüğünde 4 kalanını vermelidir (

12n+4

). Kesişim kümesini bu kurala göre say.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla,

x = 3k+1

ve

x = 5m+2

koşullarını sağlayan sayıların kesişimini Çin Kalan Teoremi mantığıyla bulmayı deneyin.

Tahmini Süre:3m 0s

Soru 16Soru →

A ve B kümeleri, E evrensel kümesinin alt kümeleridir.

Kümelerin eleman sayıları arasında,

\frac{s(A \setminus B)}{3} = \frac{s(A \cap B)}{2} = \frac{s(B \setminus A)}{4}

orantısı bulunmaktadır.

s(A \cup B) < 60

eşitsizliği sağlandığına göre,

s(A)

değerinin alabileceği en büyük değer kaçtır?

25

30

36

45

54

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 30

Cevap

A kümesinin alabileceği en büyük değer 30'dur.

Verilen oranlara göre küme parçaları

3k

,

2k

ve

4k

olarak belirlenir. Toplam birleşim

9k

olur ve

9k < 60

şartını sağlayan en büyük tam sayı

k=6

'dır. A kümesi

3k + 2k = 5k

olduğundan, en büyük değeri

5 \times 6 = 30

bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Verilen orantıyı kullanarak her bir bölgenin eleman sayısını ortak bir k sabiti cinsinden ifade et.

s(A \setminus B) = 3k

,

s(A \cap B) = 2k

,

s(B \setminus A) = 4k

Orantı sabiti kullanarak bilinmeyenleri tek değişkene indirmek çözümü kolaylaştırır.

2

Birleşim kümesinin eleman sayısını k cinsinden hesapla.

s(A \cup B) = 3k + 2k + 4k = 9k

Birleşim kümesi, fark kümeleri ve kesişim kümesinin toplamına eşittir.

3

Verilen eşitsizliği kullanarak k'nin alabileceği en büyük tam sayı değerini bul.

9k < 60

ise k en çok 6 olabilir (

9 \times 6 = 54 < 60

).

Küme eleman sayıları tam sayı olmak zorundadır, bu nedenle k tam sayı seçilmelidir.

4

Bulunan k değeri için A kümesinin eleman sayısını hesapla.

s(A) = s(A \setminus B) + s(A \cap B) = 3k + 2k = 5k

.

k=6

için

s(A) = 5 \times 6 = 30

.

A kümesi, 'A fark B' ve 'A kesişim B' kümelerinin birleşimidir.

Anahtar Kavram

Kümelerde Eleman Sayısı Hesaplama ve Oran Orantı

İpuçları

1

Orantıdaki paydaları (3, 2, 4) kullanarak her bir bölgeye 'k' cinsinden bir değer verin.

2

s(A U B) ifadesini k cinsinden yazıp 60'tan küçük en büyük katını bulun.

3

s(A U B) = 3k + 2k + 4k = 9k eder. 9k < 60 ise k en çok 6 olabilir. Şimdi s(A)'yı hesaplayın.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla, kesişim kümesinin boş olmadığı ve birleşimin en az kaç olabileceği sorularını inceleyin.

Alternatif Yöntem

Şıklardan giderek de çözülebilir. Şıklardaki değerler s(A) yani 5k'dır. Bu durumda şık 5'e tam bölünmelidir. A, B, C şıkları 5'in katı değildir (C şıkkı 36). Pardon, şıklarda 5'in katı olan A(25), B(30), D(45). Her biri için k değerini bulup 9k < 60 şartını sağlayıp sağlamadığına bakabilirsiniz.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 17Soru →

$A = \{k, l, m, 4, 5\}$
$B = \{m, n, p, 5, 6\}$

kümeleri veriliyor. Buna göre, $A \cap B$ kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

\{m, 5\}

\{k, l, m, n, p, 4, 5, 6\}

\{k, l, 4\}

\{n, p, 6\}

\{m, 4, 5\}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\{m, 5\}$

Cevap

Kesişim kümesi, her iki kümede de ortak olarak bulunan elemanlardan oluşan

\{m, 5\}

kümesidir.

Kesişim işlemi (

\\cap

), verilen kümelerin her ikisinde de bulunan ortak elemanları bulmamızı sağlar.

A = \{k, l, m, 4, 5\}

ve

B = \{m, n, p, 5, 6\}

kümeleri karşılaştırıldığında, 'm' harfi ve '5' sayısının her iki listede de yer aldığı açıkça görülmektedir. Dolayısıyla ortak elemanlardan oluşan küme doğru cevaptır.

Adım Adım Çözüm

1

A

ve

B

kümelerinin elemanlarını listeleyin.

A = \{k, l, m, 4, 5\}

ve

B = \{m, n, p, 5, 6\}

İşlem yapılacak kümelerin içeriğini netleştirmek için.

2

\\cap

(kesişim) sembolünün anlamını hatırlayın.

Kesişim işlemi, iki kümede de aynı anda bulunan ortak elemanları seçmeyi gerektirir.

Doğru kümeler arası işlemi uygulamak için.

3

Her iki kümede de ortak olan elemanları tespit edin.

m

harfi ve

5

sayısı her iki kümede de mevcuttur.

Kesişim kümesinin elemanlarını belirlemek için.

Anahtar Kavram

Kümelerde Kesişim İşlemi

İpuçları

1

Kesişim sembolü (

\\cap

) 've' bağlacı gibi çalışır; elemanın hem birinci kümede hem de ikinci kümede olması gerekir.

2

Bir kağıda her iki kümenin elemanlarını alt alta yazın ve aynı olanların üzerini çizin.

3

'm' harfi

A

kümesinde var mı? Peki

B

kümesinde de var mı? Aynı soruyu '5' sayısı için de sorun.

Daha Fazla Pratik

Birleşim (

\\cup

) işlemini pekiştirmek için aynı kümelerle birleşim kümesini bulmayı deneyebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Venn şeması çizerek elemanları yerleştirmek, ortak bölgede kalanları görmeyi kolaylaştırır.

Tahmini Süre:45s

Soru 18Soru →

$A = \{1, 2, 3, 4\}$ ve $B = \{3, 4, 5, 6\}$ kümeleri veriliyor. Buna göre, bu iki kümenin ortak elemanlarından oluşan $A \cap B$ kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}

\{3, 4\}

\{1, 2\}

\{5, 6\}

\{1, 2, 5, 6\}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\{3, 4\}$

Cevap

Kesişim kümesi

\{3, 4\}

olarak bulunur.

İki kümenin kesişimi, her iki kümede de bulunan ortak elemanların kümesidir. Verilen

A

ve

B

kümeleri incelendiğinde, hem

A

kümesinde hem de

B

kümesinde bulunan sayıların sadece

3

ve

4

olduğu görülür. Bu nedenle kesişim kümesi

\{3, 4\}

olur.

Adım Adım Çözüm

1

A

ve

B

kümelerinin elemanlarını tek tek inceleyin.

A = \{1, 2, 3, 4\}

ve

B = \{3, 4, 5, 6\}

elemanlarına sahiptir.

Hangi elemanların ortak olduğunu belirlemek için liste yöntemiyle karşılaştırma yapmak en kolay yoldur.

2

Her iki kümede de aynı anda bulunan sayıları işaretleyin.

3

ve

4

sayıları her iki kümede de mevcuttur.

Kesişim işlemi (

\cap

), kümelerin 've' bağlacı ile birbirine bağlanan ortak elemanlarını bulmayı amaçlar.

3

Bu ortak elemanları yeni bir küme parantezi içinde yazın.

A \cap B = \{3, 4\}

Kesişim kümesinin matematiksel gösterimi bu şekildedir.

Anahtar Kavram

Kümelerde Kesişim İşlemi

İpuçları

1

Kesişim işlemi (

\cap

), iki kümenin 'ortak' elemanlarını bulmak demektir.

2

A

ve

B

kümelerinin listelerine bakın. Hangi sayılar her iki listede de yazıyor?

3

3

ve

4

elemanlarını her iki kümede de görebiliyor musunuz? İşte bu elemanlar kesişim kümesini oluşturur.

Daha Fazla Pratik

Kesişim kümesini bulduktan sonra, aynı kümeler için birleşim (

A \cup B

) kümesini yazarak aradaki farkı pekiştirebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Venn şeması çizerek, her iki dairenin üst üste bindiği (ortak olan) bölgeye elemanları yerleştirebilirsiniz. Bu bölgedeki elemanlar kesişimi verir.

Tahmini Süre:45s

Soru 19Soru →

Tam sayılar kümesi üzerinde tanımlı

A

kümesi,

A = \{x \in \mathbb{Z} \mid |x| \le 4 \}

şeklinde veriliyor.

Buna göre, $A$ kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde en az bir negatif çift sayı ve en az bir pozitif tek sayı birlikte bulunur?

256

288

320

336

512

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 288

Cevap

288

Soruda istenen alt kümelerin hem negatif çift sayı (

-4, -2

) grubundan en az bir eleman, hem de pozitif tek sayı (

1, 3

) grubundan en az bir eleman içermesi gerekmektedir. Kümeyi üç ayrık parçaya böleriz: G1=\{-4, -2\}, G2=\{1, 3\} ve G3=\{-3, -1, 0, 2, 4\}. İstenen şartı sağlamak için G1 ve G2'den boş küme haricindeki tüm alt kümeler (

2^2-1=3

) seçilebilirken, G3'ten tüm alt kümeler (

2^5=32

) seçilebilir. Çarpma kuralı gereği toplam sayı

3 \times 3 \times 32 = 288

olur.

Adım Adım Çözüm

1

A kümesinin elemanlarını liste yöntemiyle yaz.

A = \{-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4\}

. Toplam eleman sayısı

s(A) = 9

.

Mutlak değer eşitsizliğini çözerek kümenin elemanlarını açıkça görmek gerekir.

2

Kümeyi koşullara göre üç ayrık gruba ayır: Negatif Çiftler (G1), Pozitif Tekler (G2) ve Diğerleri (G3).

G1 (Negatif Çift):

\{-4, -2\}

(2 eleman)
G2 (Pozitif Tek):

\{1, 3\}

(2 eleman)
G3 (Diğerleri):

\{-3, -1, 0, 2, 4\}

(5 eleman)

Alt küme oluştururken her grubun katkısını ayrı ayrı hesaplamak işlemi kolaylaştırır.

3

Her gruptan istenen koşulu sağlayan alt küme sayısını hesapla.

G1'den (en az bir eleman):

2^2 - 1 = 3

farklı seçim.
G2'den (en az bir eleman):

2^2 - 1 = 3

farklı seçim.
G3'ten (koşul yok):

2^5 = 32

farklı seçim.

'En az bir' koşulu, o gruptan boş küme seçilemeyeceği anlamına gelir (Tüm durumlar - Boş küme).

4

Çarpma kuralını uygulayarak toplam alt küme sayısını bul.

3 \times 3 \times 32 = 9 \times 32 = 288

.

Gruplar birbirinden bağımsız seçildiği için seçenek sayıları çarpılır.

Anahtar Kavram

Ayrık Gruplama ve Çarpma Kuralı ile Alt Küme Sayısı

İpuçları

1

Önce mutlak değer eşitsizliğini çözerek

A

kümesinin elemanlarını açıkça yazınız.

2

Kümeyi üç gruba ayırın: 1) Negatif Çift Sayılar, 2) Pozitif Tek Sayılar, 3) Geriye kalan tüm sayılar (0 dahil).

3

Bir gruptan 'en az bir eleman' seçmek, o grubun 'hiçbir elemanının seçilmediği' (boş küme) durumu tüm durumlardan çıkarmak demektir (

2^n - 1

).

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla, asal sayılar ve çift sayılar üzerinden koşullu alt küme sayısı soruları çözülebilir.

Alternatif Yöntem

Tümleyen Yöntemi: Tüm alt kümelerden (

2^9

), hiç negatif çift içermeyenleri (

2^{9-2}

) ve hiç pozitif tek içermeyenleri (

2^{9-2}

) çıkarın. Ancak bu işlemde hem negatif çift hem de pozitif tek içermeyenleri (

2^{9-4}

) iki kez çıkardığınız için bir kez geri ekleyin:

512 - 128 - 128 + 32 = 288

.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 20Soru →

$A$ ve $B$ , $E$ evrensel kümesinin iki alt kümesidir.

$s(A \setminus B) = 2 \cdot s(B \setminus A)$
$s(A \cap B) = s(B \setminus A) + 2$
$s(A \cup B) = 22$

olduğuna göre, $A$ kümesinin eleman sayısı kaçtır?

17

12

10

7

5

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 17

Cevap

A kümesinin eleman sayısı 17'dir.

Kümelerin her bir bölgesi

s(B \setminus A) = x

değişkenine bağlı olarak ifade edildiğinde, toplam birleşim

4x+2=22

denklemini verir. Buradan

x=5

bulunur. A kümesi

s(A \setminus B) + s(A \cap B) = 3x+2

olduğundan sonuç 17 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

Kümelerin bölgeleri için bir değişken tanımlanması

s(B \setminus A) = x

olsun.

Diğer tüm bölge eleman sayıları bu ifadeye bağlı olarak verildiği için temel değişken olarak seçilmiştir.

2

Diğer bölge eleman sayılarının

x

cinsinden ifade edilmesi

s(A \setminus B) = 2x

ve

s(A \cap B) = x + 2

olur.

Soruda verilen oranlar ve bağıntılar bu değişken üzerinden tanımlanmıştır.

3

Birleşim kümesi eleman sayısı formülünün oluşturulması

s(A \cup B) = s(A \setminus B) + s(B \setminus A) + s(A \cap B) = 2x + x + (x + 2) = 4x + 2

Birleşim kümesi, birbirine ayrık olan üç bölgenin eleman sayılarının toplamına eşittir.

4

x

değerinin bulunması

4x + 2 = 22 \Rightarrow 4x = 20 \Rightarrow x = 5

Bulunan

4x + 2

ifadesi, soruda verilen 22 değerine eşitlenerek denklem çözülmüştür.

5

A kümesinin toplam eleman sayısının hesaplanması

s(A) = s(A \setminus B) + s(A \cap B) = 2x + (x + 2) = 3x + 2 = 3(5) + 2 = 17

A kümesi, sadece A'ya ait olan bölge ile kesişim bölgesinin birleşimidir.

Anahtar Kavram

Kümelerde Bölge Analizi ve Eleman Sayısı Bağıntıları

İpuçları

1

Kümeleri temsil eden iki kesişen çember çizip bölgelere isim vermeyi deneyin.

2

s(B \setminus A)

bölgesine

x

derseniz, kesişim bölgesi

x+2

ve

s(A \setminus B)

bölgesi

2x

olur.

3

Şemadaki üç farklı bölgenin toplamı 22'dir. Bu bilgiyi kullanarak

x

değerini bulabilirsiniz.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruyu, eleman sayıları yerine 'alt küme sayıları' arasındaki oranları kullanarak çözmeyi deneyebilirsiniz.

Tahmini Süre:1m 30s

Kümeler

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram