Kümelerde Birleşim ve Kesişim İşlemleri Alıştırma Soruları — KPSS Genel Yetenek - Genel Kültür — Sayfa 2

Tam sayılar kümesi ( $\mathbb{Z}$ ) üzerinde tanımlı $A$ ve $B$ kümeleri aşağıdaki gibi verilmiştir:

A = \{x \in \mathbb{Z} \mid |x| \le 72, \quad x, \text{ 3 ile tam bölünür}\}

B = \{x \in \mathbb{Z} \mid |x| \le 72, \quad x, \text{ 4 ile tam bölünür}\}

Bu bilgilere göre, $A$ ve $B$ kümelerinin birleşimi olan $A \cup B$ kümesinin eleman sayısı kaçtır?

71

35

73

86

61

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 73

Cevap

Doğru cevap 73'tür.

Soruda verilen mutlak değer eşitsizliği

|x| \le 72

, sayıların

-72 \le x \le 72

aralığında olduğunu gösterir. Bu aralıkta 3'e bölünen 49 sayı (

s(A)

), 4'e bölünen 37 sayı (

s(B)

) vardır. Hem 3'e hem 4'e bölünen (12'nin katı) 13 sayı (

s(A \cap B)

) mevcuttur. Birleşim formülü

s(A \cup B) = s(A) + s(B) - s(A \cap B)

uygulandığında

49 + 37 - 13 = 73

sonucu bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

A kümesinin eleman sayısını hesapla.

s(A) = 49

A kümesi, -72 ile 72 arasındaki 3'ün katlarıdır. Terim sayısı formülü: [(Son Terim - İlk Terim) / Artış Miktarı] + 1. Buradan [72 - (-72)]/3 + 1 = 144/3 + 1 = 48 + 1 = 49 bulunur.

2

B kümesinin eleman sayısını hesapla.

s(B) = 37

B kümesi, -72 ile 72 arasındaki 4'ün katlarıdır. Terim sayısı: [72 - (-72)]/4 + 1 = 144/4 + 1 = 36 + 1 = 37 bulunur.

3

Kesişim kümesi A ∩ B'nin kuralını ve eleman sayısını belirle.

s(A ∩ B) = 13

Kesişim kümesi, hem 3'e hem 4'e bölünen, yani EKOK(3,4)=12'ye bölünen sayılardır. Aralık [-72, 72]. Terim sayısı: [72 - (-72)]/12 + 1 = 144/12 + 1 = 12 + 1 = 13.

4

Birleşim formülünü uygula: s(A ∪ B) = s(A) + s(B) - s(A ∩ B).

s(A ∪ B) = 73

49 + 37 - 13 = 73 olarak hesaplanır.

Anahtar Kavram

Kümelerin birleşim eleman sayısı, kümelerin eleman sayıları toplamından kesişim kümesinin eleman sayısının çıkarılmasıyla bulunur: s(A ∪ B) = s(A) + s(B) - s(A ∩ B). Tam sayılar kümesinde negatif sayıların ve 0'ın da dahil edilmesi unutulmamalıdır.

İpuçları

1

Önce verilen mutlak değer eşitsizliğini, bir sayı aralığı olarak yazınız (örneğin

-a \le x \le a

).

2

Belirlediğiniz aralıkta 3'ün katı olan ve 4'ün katı olan kaç tane tam sayı olduğunu terim sayısı formülüyle bulunuz. 0 sayısının her iki kümede de olduğunu unutmayınız.

3

s(A \cup B) = s(A) + s(B) - s(A \cap B)

formülünü kullanın.

A \cap B

kümesi, hem 3 hem de 4'e bölünen, yani 12'ye bölünen sayıları içerir.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla, '3'e bölünüp 5'e bölünmeyen' sayıların sayısını soran fark işlemi problemleri çözülebilir.

Alternatif Yöntem

Sayı doğrusu üzerinde düşünerek; 0'dan 72'ye kadar olan pozitif kısım için hesap yapıp (2 ile çarpıp), sonra 0'ı (1 adet) ekleyerek de sonuca ulaşabilirsiniz. Pozitiflerde: s(A+)=24, s(B+)=18, s(Kes+)=6. Birleşim(Pozitif) = 24+18-6=36. Negatifler için de 36. Toplam: 36 + 36 + 1(Sıfır) = 73.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 22Soru →

$A$ ve $B$ kümeleri tam sayılar kümesi üzerinde aşağıdaki gibi tanımlanmıştır:

A = \{x \mid 15 \le x \le 150, \, x = 3k, \, k \in \mathbb{Z}\}

B = \{x \mid 20 < x < 180, \, x = 4m, \, m \in \mathbb{Z}\}

Buna göre, $A$ ve $B$ kümelerinin birleşimi olan $s(A \cup B)$ değeri kaçtır?

63

74

75

79

85

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 74

Cevap

İstenen birleşim kümesinin eleman sayısı 74'tür.

Doğru cevap, kümelerin birleşim formülü olan

s(A \cup B) = s(A) + s(B) - s(A \cap B)

bağıntısının doğru uygulanmasıyla bulunur. Öncelikle her kümenin eleman sayısı terim sayısı formülüyle [(Son-İlk)/Artış + 1] hesaplanmalıdır. A kümesi için 46, B kümesi için 39 eleman bulunur. Kesişim kümesi ise iki aralığın kesişimi olan (20, 150] aralığında 12'nin katlarıdır ve 11 elemanlıdır. Sonuç

46 + 39 - 11 = 74

olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

A kümesinin eleman sayısını (s(A)) hesapla.

46

A kümesi 15 ile 150 arasındaki (sınırlar dahil) 3'ün katlarıdır. Terim Sayısı = (Son Terim - İlk Terim) / Artış Miktarı + 1 formülünden; (150 - 15) / 3 + 1 = 135/3 + 1 = 45 + 1 = 46.

2

B kümesinin eleman sayısını (s(B)) hesapla.

39

B kümesi 20 ile 180 arasındaki (sınırlar hariç) 4'ün katlarıdır. İlk terim 24, son terim 176'dır. Terim Sayısı = (176 - 24) / 4 + 1 = 152/4 + 1 = 38 + 1 = 39.

3

Kesişim kümesinin (A ∩ B) aralığını ve bölenini belirle.

Aralık: (20, 150], Bölen: 12

Kesişim kümesi her iki aralığın ortak bölgesidir: max(15, 20) < x ≤ min(150, 180) yani 20 < x ≤ 150. Elemanlar hem 3'ün hem 4'ün katı olmalı, yani EKOK(3,4) = 12'nin katı olmalıdır.

4

Kesişim kümesinin eleman sayısını (s(A ∩ B)) hesapla.

11

Aralıktaki ilk terim 24, son terim 144'tür. Terim Sayısı = (144 - 24) / 12 + 1 = 120/12 + 1 = 10 + 1 = 11.

5

Birleşim formülünü uygula: s(A ∪ B) = s(A) + s(B) - s(A ∩ B).

74

46 + 39 - 11 = 74.

Anahtar Kavram

Birleşim Kümesi Formülü ve Ardışık Sayı Dizileri

İpuçları

1

Önce her iki kümenin eleman sayılarını ayrı ayrı hesaplayın. 'Terim Sayısı = (Son Terim - İlk Terim) / Artış Miktarı + 1' formülünü kullanın.

2

Kesişim kümesi (A ∩ B), hem 3'ün hem de 4'ün katı olan sayıları içerir. Yani 12'nin katlarına bakmalısınız. Ayrıca sayı aralığı her iki kümenin de ortak olduğu bölge olmalıdır.

3

Kesişim aralığı 20 < x ≤ 150 olacaktır. Bu aralıktaki 12'nin katlarını bulup, birleşim formülü olan s(A) + s(B) - s(A ∩ B) işlemini uygulayın.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruyu, 'veya' bağlacı yerine 've' bağlacı kullanarak koşullu olasılık bağlamında çözmeyi deneyin.

Alternatif Yöntem

Venn şeması çizerek sadece A'da olan (A\B), sadece B'de olan (B\A) ve her ikisinde olan (A ∩ B) eleman sayılarını ayrı ayrı bulup toplayabilirsiniz: s(A\B)=35, s(B\A)=28, s(A∩B)=11. Toplam = 74.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 23Soru →

Aşağıdaki Venn şemasında $A \cup B$ kümesi taralı olarak gösterilmiştir.

Buna göre, taralı bölgedeki eleman sayısı, $A \cap B$ kümesinin eleman sayısından kaç fazladır?

2

3

5

7

9

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

Taralı bölgedeki eleman sayısı kesişim kümesindeki eleman sayısından 5 fazladır.

Venn şemasına bakıldığında,

A

ve

B

kümelerinin tüm elemanlarını içeren taralı bölge (birleşim) 7 elemanlıdır. Her iki kümenin ortak bölgesi olan kesişim kısmı ise 2 elemanlıdır. Soruda istenen fark işlemi yapıldığında

7 - 2 = 5

sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

Taralı bölgeyi (birleşim kümesini) tanımlamak ve elemanlarını saymak.

A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}

olduğu için

s(A \cup B) = 7

olur.

Venn şemasında taralı olan alan tüm elemanları kapsayan birleşim bölgesidir.

2

Kesişim kümesini tanımlamak ve elemanlarını saymak.

A \cap B = \{4, 5\}

olduğu için

s(A \cap B) = 2

olur.

Kesişim kümesi, şemada her iki dairenin ortak olduğu orta bölgedir.

3

İki kümenin eleman sayıları arasındaki farkı hesaplamak.

7 - 2 = 5

Soru, birleşim kümesinin kesişim kümesinden ne kadar fazla elemana sahip olduğunu sormaktadır.

Anahtar Kavram

Kümelerde Birleşim ve Kesişim İşlemleri

İpuçları

1

Şemadaki tüm sayıları sayarak birleşim kümesinin eleman sayısını bulun.

2

Her iki dairenin iç içe geçtiği orta kısımdaki elemanları sayarak kesişim kümesinin eleman sayısını bulun.

3

Bulduğunuz bu iki sayı arasındaki farkı (çıkarma işlemi) hesaplayın.

Daha Fazla Pratik

Üç kümeli Venn şemalarında birleşim ve kesişim bölgelerini belirleme çalışmaları yapabilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Alternatif olarak, sadece A kümesine ait elemanlar (1, 2, 3) ile sadece B kümesine ait elemanların (6, 7) toplamını alarak da aynı sonuca ulaşabilirsiniz:

3 + 2 = 5

.

Tahmini Süre:1m 0s

Soru 24Soru →

$A = \{10, 20, 30\}$ ve $B = \{30, 40, 50, 60\}$ kümeleri veriliyor. Aşağıdaki Venn şemasında $A$ ve $B$ kümelerinin birleşimi ( $A \cup B$ ) taralı bölge ile gösterilmiştir. Buna göre, $A \cup B$ kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

\{10, 20, 30, 40, 50, 60\}

\{30\}

\{10, 20, 40, 50, 60\}

\{10, 20, 30\}

\{30, 40, 50, 60\}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\{10, 20, 30, 40, 50, 60\}$

Cevap

\{10, 20, 30, 40, 50, 60\}

kümesi,

A

ve

B

kümelerinin tüm elemanlarının birleşimini temsil eder.

Birleşim kümesi (

A \cup B

), her iki kümenin de elemanı olan veya sadece birinin elemanı olan tüm nesneleri içerir. Ortak olan 30 elemanı bir kez yazılarak tüm elemanlar

\{10, 20, 30, 40, 50, 60\}

şeklinde listelenir.

Adım Adım Çözüm

1

A

ve

B

kümelerinin elemanlarını listeleyelim.

A = \{10, 20, 30\}

ve

B = \{30, 40, 50, 60\}

Birleşim işlemini gerçekleştirmek için önce küme elemanlarını bilmemiz gerekir.

2

Ortak elemanları belirleyelim.

Ortak eleman:

30

Birleşim kümesinde her eleman yalnızca bir kez yazılır.

3

Tüm elemanları birleştirerek

A \cup B

kümesini oluşturalım.

A \cup B = \{10, 20, 30, 40, 50, 60\}

Birleşim kümesi (

A \cup B

), her iki kümede bulunan tüm farklı elemanların toplandığı kümedir.

Anahtar Kavram

Kümelerde Birleşim İşlemi

İpuçları

1

Birleşim kümesi (

\\cup

), her iki kümede gördüğünüz tüm elemanların 'torbaya atılmış' halidir.

2

Ortak olan elemanları (bu soruda 30) birleşim kümesine yazarken sadece bir kez yazmanız yeterlidir.

3

Venn şemasında taralı olan tüm alanın içindeki sayıları sırasıyla listeleyin: 10, 20, 30, 40, 50, 60.

Daha Fazla Pratik

Kesişim kümesini (

A \cap B

) bulmak için sadece her iki dairenin ortak (üst üste binen) bölgesindeki elemanlara odaklanmalısın.

Tahmini Süre:45s

Soru 25Soru →

Bir kamu kurumunda düzenlenen hizmet içi eğitim programında, personelin tamamı 'İş Sağlığı ve Güvenliği' veya 'Etkili İletişim' seminerlerinden en az birine katılmıştır. İş Sağlığı ve Güvenliği seminerine katılanların sayısı, Etkili İletişim seminerine katılanların sayısının 3 katıdır. Sadece İş Sağlığı ve Güvenliği seminerine katılanların sayısı, sadece Etkili İletişim seminerine katılanların sayısının 4 katıdır. Her iki seminere de katılan personel sayısı 6 olduğuna göre, bu programa katılan toplam personel sayısı kaçtır?

48

54

60

66

72

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 66

Cevap

Toplam personel sayısı 66'dır.

Toplam personel sayısı, sadece bir seminere katılanlar ile her iki seminere katılanların toplamıdır. Denklem çözümünden sadece Etkili İletişim seminerine katılanlar 12, sadece İş Sağlığı seminerine katılanlar 48 kişi bulunur. Her ikisine katılan 6 kişi ile birlikte toplam

48 + 12 + 6 = 66

olur.

Adım Adım Çözüm

1

Kümeleri ve bilinmeyenleri tanımla.

İş Sağlığı ve Güvenliği kümesi

A

, Etkili İletişim kümesi

B

olsun. Sadece

B

kümesinde olanlara (

B \setminus A

)

k

diyelim. Verilen bilgiye göre sadece

A

kümesinde olanlar (

A \setminus B

)

4k

olur. Kesişim (

A \cap B

) ise 6'dır.

Sorudaki kat ilişkisini matematiksel ifadelere dökmek için.

2

Her bir kümenin eleman sayısını

k

cinsinden ifade et.

s(A) = (4k) + 6

ve

s(B) = k + 6

.

Küme eleman sayıları, 'sadece o kümeye ait olanlar' ve 'kesişim' toplamından oluşur.

3

Verilen kat ilişkisine göre eşitliği kur ve

k

değerini çöz.

s(A) = 3 \cdot s(B)

olduğu için

4k + 6 = 3(k + 6)

denklemi kurulur.

4k + 6 = 3k + 18 \Rightarrow k = 12

.

Bilinmeyen

k

değerini bulmak için problemdeki temel ilişkiyi kullanmak gerekir.

4

Toplam personel sayısını (birleşim kümesi) hesapla.

s(A \cup B) = s(A \setminus B) + s(B \setminus A) + s(A \cap B) = 4k + k + 6 = 5k + 6

.

k=12

için:

5(12) + 6 = 60 + 6 = 66

.

Sonuç için tüm alt grupların toplamını bulmak.

Anahtar Kavram

Kümelerde Birleşim İşlemi Formülü:

s(A \cup B) = s(A) + s(B) - s(A \cap B)

veya ayrık bölgelerin toplamı.

Kümelerde Birleşim ve Kesişim İşlemleri

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar