Examkin

Soru

Zorluk: OrtaYeterlilik (Sufficiency) ve Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi

Bir üretim sürecinde üretilen parçaların sertlik derecelerini temsil eden XX rassal değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu, θ>0\theta > 0 bilinmeyen bir parametre olmak üzere şu şekilde verilmiştir:

f(x;θ)={3x2θ3,0≤x≤θ0,dig˘er durumlarf(x; \theta) = \begin{cases} \frac{3x^2}{\theta^3}, & 0 \leq x \leq \theta \\ 0, & \text{diğer durumlar} \end{cases}

Bu kitle içinden seçilen nn birimlik bir rastgele örneklem X1,X2,…,XnX_1, X_2, \dots, X_n olduğuna göre, Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi uyarınca θ\theta parametresi için yeterli istatistik aşağıdakilerden hangisidir?

  1. max⁡(X1,X2,…,Xn)\max(X_1, X_2, \dots, X_n)Cevap
  2. B
    min⁡(X1,X2,…,Xn)\min(X_1, X_2, \dots, X_n)
  3. C
    ∑i=1nXi\sum_{i=1}^n X_i
  4. D
    ∑i=1nXi2\sum_{i=1}^n X_i^2
  5. E
    ∏i=1nXi\prod_{i=1}^n X_i

Cevap

Verilen olasılık yoğunluk fonksiyonu için θ\theta parametresine ait yeterli istatistik örneklem maksimumu olan max⁡(X1,X2,…,Xn)\max(X_1, X_2, \dots, X_n) ifadesidir.
Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi'ne göre, olabilirlik fonksiyonu parametreye ve bir istatistiğe bağlı olan g(T(x),θ)g(T(x), \theta) kısmı ile sadece verilere bağlı olan h(x)h(x) kısmının çarpımı şeklinde yazılmalıdır. Bu problemde, tüm XiX_i değerlerinin θ\theta değerinden küçük veya eşit olması şartı (Xi≤θX_i \leq \theta), en büyük gözlemin θ\theta değerinden küçük veya eşit olması (X(n)≤θX_{(n)} \leq \theta) şartına denktir. Dolayısıyla parametreyi içeren çarpan sadece X(n)X_{(n)} değerine bağlı kalmaktadır.

Adım Adım Çözüm

1
Olabilirlik fonksiyonunu (Likelihood function) yazın.
L(θ)=∏i=1n3xi2θ3I(0≤xi≤θ)L(\theta) = \prod_{i=1}^n \frac{3x_i^2}{\theta^3} I(0 \leq x_i \leq \theta)
Bağımsız ve özdeş dağılımlı örneklemlerin ortak yoğunluk fonksiyonunu bulmak için.
2
Gösterge fonksiyonlarını örneklem istatistikleri cinsinden düzenleyin.
L(θ)=3nθ3n(∏i=1nxi2)I(0≤x(1))I(x(n)≤θ)L(\theta) = \frac{3^n}{\theta^{3n}} (\prod_{i=1}^n x_i^2) I(0 \leq x_{(1)}) I(x_{(n)} \leq \theta)
Tüm gözlemlerin θ\theta değerinden küçük olması, en büyük gözlemin θ\theta değerinden küçük olmasına eşdeğerdir (x(n)≤θx_{(n)} \leq \theta).
3
Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi'ni uygulayın.
g(x(n),θ)=1θ3nI(x(n)≤θ)g(x_{(n)}, \theta) = \frac{1}{\theta^{3n}} I(x_{(n)} \leq \theta) ve h(x)=3n(∏i=1nxi2)I(x(1)≥0)h(\mathbf{x}) = 3^n (\prod_{i=1}^n x_i^2) I(x_{(1)} \geq 0)
Olabilirlik fonksiyonu g(T(x),θ)h(x)g(T(\mathbf{x}), \theta) h(\mathbf{x}) formunda yazılabiliyorsa T(x)T(\mathbf{x}) yeterli istatistiktir.

Anahtar Kavram

Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi ve Tanım Kümesi Parametreye Bağlı Dağılımlar

Daha Fazla Pratik

Üniform dağılım U(0,θ)U(0, \theta) için yeterli istatistiği hesaplayarak bu sonucun neden benzer olduğunu karşılaştırın.
Tahmini Süre:1m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Yeterlilik (Sufficiency) ve Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi

Bu konudan daha fazla soru