Examkin

Soru

Zorluk: ZorKısmi Otokorelasyon Fonksiyonu (PACF)

Bir demografi araştırmacısı, belirli bir bölgedeki yıllık net göç hızındaki dalgalanmaları incelemek için sıfır ortalamalı ve durağan bir ZtZ_t zaman serisi modellemesi yapmaktadır. Veri setine uygulanan otokorelasyon analizinde, serinin birinci gecikmeli otokorelasyon katsayısı ρ1=0,6\rho_1 = 0,6 ve ikinci gecikmeli otokorelasyon katsayısı ρ2=0,2\rho_2 = 0,2 olarak hesaplanmıştır.

Araştırmacı, bu serinin veri üretim sürecinin sadece bir önceki dönemin dinamiklerini yansıtan birinci dereceden otoregresif, AR(1) modeli ile mi temsil edilmesi gerektiğini Yule-Walker denklemleri bağlamında kısmi otokorelasyon fonksiyonu (PACF) yardımıyla test edecektir.

Buna göre, serinin ikinci gecikmeli kısmi otokorelasyon katsayısı (ϕ22\phi_{22}) kaçtır ve bu bulguya dayanılarak modelin AR(1) varsayımına uygunluğu hakkında hangi teorik çıkarım yapılmalıdır?

  1. ϕ22=−0,25\phi_{22} = -0,25; katsayı sıfırdan farklı olduğu için seri bir AR(1) süreci ile ifade edilemez.Cevap
  2. B
    ϕ22=0,20\phi_{22} = 0,20; kısmi otokorelasyon katsayısı doğrudan otokorelasyon katsayısına eşit olduğu için seri bir AR(1) sürecidir.
  3. C
    ϕ22=−0,25\phi_{22} = -0,25; kısmi otokorelasyon ikinci gecikmede sıfırdan farklı olduğu için seri bir MA(2) sürecidir.
  4. D
    ϕ22=−0,40\phi_{22} = -0,40; katsayı negatif çıktığı için AR(1) modelinin durağanlık koşulu ihlal edilmiştir.
  5. E
    ϕ22=0,33\phi_{22} = 0,33; katsayı oranı pozitif olduğu için seri kesin durağanlık (strictly stationary) koşullarını sağlamaktadır.

Cevap

ϕ22=−0,25\phi_{22} = -0,25'tir ve bu değer sıfırdan farklı olduğundan süreç AR(1) olamaz.
Kısmi otokorelasyon katsayısı (ϕ22\phi_{22}), birinci gecikmenin doğrusal etkisi arındırıldıktan sonra ZtZ_t ile Zt−2Z_{t-2} arasındaki arı ilişkiyi ölçmektedir. Yule-Walker denklemleri kullanılarak veya Cramer kuralı ile elde edilen formül üzerinden hesaplama yapıldığında; ϕ22=(ρ2−ρ12)/(1−ρ12)\phi_{22} = (\rho_2 - \rho_1^2) / (1 - \rho_1^2) formülüne ulaşılır. Değerler yerine konduğunda (0,2−0,36)/(1−0,36)=−0,25(0,2 - 0,36) / (1 - 0,36) = -0,25 bulunur. Teorik çerçevede ele alındığında, eğer seri gerçekten saf bir AR(1) süreci olsaydı, birinci gecikmeden sonraki tüm kısmi otokorelasyon katsayılarının (ϕkk,k>1\phi_{kk}, k>1) tam olarak sıfır olması gerekirdi (buna kesilme veya cut-off özelliği denir). Elde edilen −0,25-0,25 değeri sıfırdan farklı olduğu için serinin bir AR(1) veri üretim sürecinden gelmediği kesinleşir.

Adım Adım Çözüm

1
Yule-Walker denklemlerinden ϕ22\phi_{22} formülünü belirle.
ϕ22=ρ2−ρ121−ρ12\phi_{22} = \frac{\rho_2 - \rho_1^2}{1 - \rho_1^2}
İkinci gecikmedeki kısmi otokorelasyonu bulmak için birinci gecikmenin doğrusal etkisi sistemden arındırılmalıdır.
2
Verilen ampirik değerleri (ρ1=0,6\rho_1 = 0,6 ve ρ2=0,2\rho_2 = 0,2) formüle yerleştir.
ϕ22=0,2−(0,6)21−(0,6)2\phi_{22} = \frac{0,2 - (0,6)^2}{1 - (0,6)^2}
Teorik katsayıyı hesaplamak için sayısal işlem adımı.
3
Aritmetik işlemleri tamamla.
ϕ22=0,2−0,361−0,36=−0,160,64=−0,25\phi_{22} = \frac{0,2 - 0,36}{1 - 0,36} = \frac{-0,16}{0,64} = -0,25
Kısmi otokorelasyon katsayısının nihai sayısal değerine ulaşmak.
4
AR(1) modelinin teorik PACF özelliklerine göre sonucu yorumla.
ϕ22=−0,25≠0\phi_{22} = -0,25 \neq 0 olduğu için seri AR(1) sürecine uymamaktadır.
Bir AR(p) sürecinde PACF fonksiyonu p. gecikmeden sonra aniden sıfıra düşmelidir (kesilme). AR(1) için ϕ22\phi_{22}'nin 0 olması beklenirken, sıfırdan farklı bulunması bu varsayımı çürütür.

Anahtar Kavram

Kısmi Otokorelasyon Fonksiyonu (PACF) ve AR(p) Modellerinde Kesilme (Cut-off) Özelliği

Alternatif Yöntem

Yule-Walker matris sisteminde ϕ22\phi_{22} katsayısı Cramer Kuralı kullanılarak determinatların oranıyla da hesaplanabilir. RkR_k otokorelasyon matrisi olmak üzere, ϕ22=∣P2∣/∣R2∣\phi_{22} = |P_2| / |R_2| formülünde P2P_2 matrisi R2R_2'nin son kolonunun ρ\rho vektörü ile değiştirilmiş halidir. ∣R2∣=1−ρ12|R_2| = 1 - \rho_1^2 ve ∣P2∣=ρ2−ρ12|P_2| = \rho_2 - \rho_1^2 işlemlerinden aynı orana ulaşılır.
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Kısmi Otokorelasyon Fonksiyonu (PACF)

Bu konudan daha fazla soru