Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorKovaryans ve Korelasyon Matrislerinin Kullanımı

Bir kamu kurumu, ilçelerin sosyo-ekonomik gelişmişlik endeksini belirlemek amacıyla; "nüfus yoğunluğu (kişi/km2\text{km}^2)", "kişi başına düşen yıllık gelir (TL)", "ortalama yaşam süresi (yıl)" ve "işsizlik oranı (%)" gibi çok farklı ölçüm birimlerine ve varyanslara sahip pp adet değişken üzerinden Temel Bileşenler Analizi (TBA) gerçekleştirmektedir. Analiz aşamasında, modelin örneklem kovaryans matrisi (S\mathbf{S}) veya örneklem korelasyon matrisi (R\mathbf{R}) üzerinden kurulması alternatifleri değerlendirilmektedir.

S\mathbf{S} matrisinin özdeğerleri λi\lambda_i, R\mathbf{R} matrisinin özdeğerleri ise δi\delta_i (i=1,2,…,p)(i=1, 2, \dots, p) ile gösterilmek üzere; bu iki farklı matris seçiminin analitik sonuçlar ve geometrik yapı üzerindeki teorik etkisine ilişkin aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?

  1. Kovaryans matrisi (S\mathbf{S}) kullanıldığında varyansı aşırı büyük olan değişkenler ilk temel bileşeni domine ederken; korelasyon matrisi (R\mathbf{R}) kullanıldığında analiz birim varyanslı değişkenler uzayında gerçekleşir ve sistemin toplam açıklanan varyansı değişken sayısına (pp) eşit olur.Cevap
  2. B
    S\mathbf{S} matrisinden R\mathbf{R} matrisine geçiş, değişkenlerin yalnızca merkeze çekilip standartlaştırılması işlemi olduğundan; her iki matristen elde edilen temel bileşenlerin uzaydaki ortogonal yönelimlerini temsil eden özvektörler birbirine paralel kalır.
  3. C
    İlk temel bileşenin veri setindeki toplam değişkenliği açıklama oranı (λ1∑λi\frac{\lambda_1}{\sum \lambda_i} ve δ1∑δi\frac{\delta_1}{\sum \delta_i}), değişkenlerin ölçüm birimlerine karşı invaryant (değişmez) bir metrik olduğu için her iki matris kullanımında da aynı yüzde değerini üretir.
  4. D
    S\mathbf{S} ve R\mathbf{R} matrisleri temelinde aynı veri setinden türetildikleri için kare matrislerin izi (trace) korunur; dolayısıyla analizde açıklanacak toplam varyans her iki durumda da ∑i=1pλi=∑i=1pδi\sum_{i=1}^{p} \lambda_i = \sum_{i=1}^{p} \delta_i eşitliğini sağlar.
  5. E
    Analizde korelasyon matrisinin (R\mathbf{R}) tercih edilmesi, Temel Bileşenler Analizi'ni algoritmik olarak Faktör Analizi'ne dönüştürerek değişkenlere ait spesifik varyansların ve hata terimlerinin modelden dışlanmasını zorunlu kılar.

Cevap

Kovaryans matrisi (S\mathbf{S}) kullanıldığında varyansı yüksek olan değişkenlerin (örneğin TL cinsinden gelir) analizi domine ettiği, korelasyon matrisi (R\mathbf{R}) kullanıldığında ise toplam varyansın pp'ye eşitlendiği ifade doğrudur.
Temel Bileşenler Analizinde (TBA) kovaryans matrisi (S\mathbf{S}) kullanıldığında, özdeğer problemi Se=λe\mathbf{S}\mathbf{e} = \lambda\mathbf{e} şeklinde çözülür. Analizin toplam varyansı matrisin izine (köşegen elemanların toplamı) eşittir. Ölçüm birimi TL gibi sayısal olarak büyük olan değişkenlerin varyansları devasa olacağından, ilk temel bileşen tamamen bu değişkenin ekseni etrafında oluşur. Korelasyon matrisi (R\mathbf{R}) kullanıldığında ise değişkenler Z-skorlarına dönüştürülmüş (varyans=1) kabul edilir. Bu durumda R\mathbf{R} matrisinin köşegeninde sadece 1'ler bulunur, matrisin izi (toplam varyans) değişken sayısı olan pp'ye eşittir ve birim uyuşmazlığı problemi çözülmüş olur.

Adım Adım Çözüm

1
Kovaryans matrisinin (S\mathbf{S}) matematiksel özelliklerini incelemek
S\mathbf{S} matrisinin ana köşegeninde değişkenlerin orijinal varyansları (si2s_i^2) bulunur. Toplam varyans (matrisin izi) ∑si2\sum s_i^2 şeklindedir.
Değişkenlerin birimleri farklı olduğunda (TL vs %), varyansı sayısal olarak devasa olan değişkenler toplam izi domine eder ve ilk özdeğer (λ1\lambda_1) neredeyse tamamen bu değişkenin varyansına eşit olur.
2
Korelasyon matrisinin (R\mathbf{R}) matematiksel özelliklerini incelemek
R\mathbf{R} matrisi, standartlaştırılmış değişkenlerin (varyansı 1) kovaryans matrisidir. Ana köşegen elemanlarının tümü 1'dir. Toplam varyans (matrisin izi) p×1=pp \times 1 = p olur.
Korelasyon matrisi kullanıldığında ölçüm birimlerinin etkisi ortadan kalkar ve sistemdeki her bir değişkenin toplam varyansa başlangıç katkısı eşitlenir.
3
Matris değişiminin özvektörler ve açıklanan varyans oranları üzerindeki etkisini değerlendirmek
Ölçeklendirme işlemi uzayın geometrisini izometrik olmayan şekilde değiştirdiği için özvektörler yön değiştirir ve açıklanan varyans oranları (λ1∑λi≠δ1∑δi\frac{\lambda_1}{\sum \lambda_i} \neq \frac{\delta_1}{\sum \delta_i}) farklılaşır.
TBA ölçekten bağımsız (scale-invariant) bir yöntem değildir.

Anahtar Kavram

Kovaryans ve Korelasyon Matrislerinin Temel Bileşenler Analizindeki Teorik Etkileri ve Ölçek Bağımlılığı
Bu soruyu puanla

Konular

Kovaryans ve Korelasyon Matrislerinin Kullanımı