Examkin

Soru

Zorluk: OrtaKovaryans ve Korelasyon Matrislerinin Kullanımı

Sağlık Bakanlığı'na bağlı bir denetim birimi, ilçe devlet hastanelerinin hizmet kapasitesini incelemek için; "personel sayısı (kişi)", "aylık poliklinik bütçesi (bin TL)", "yoğun bakım doluluk oranı (yüzde)" ve "randevu bekleme süresi (gün)" değişkenlerini içeren bir veri matrisi oluşturmuştur. Bir araştırmacı, veriler üzerinde herhangi bir dönüştürme yapmadan doğrudan örneklem kovaryans matrisi üzerinden Temel Bileşenler Analizi (TBA) uygulamıştır.

Buna göre, tercih edilen matrisin analiz sonuçlarına etkisi hakkında aşağıdakilerden hangisi söylenebilir?

  1. Hesaplanan temel bileşenler değişkenlerin orijinal ölçüm birimlerine duyarlı olacak ve sayısal saçılımı en geniş olan metrikler birinci bileşen üzerinde yapay bir biçimde baskınlık kuracaktır.Cevap
  2. B
    Analizde kullanılan matrisin izi (köşegen elemanlarının toplamı), değişkenlerin birimlerinden bağımsız olarak daima modele dâhil edilen değişken sayısına eşit kalacaktır.
  3. C
    İşleme alınan matris türü, değişkenleri standart normal dağılıma dönüştürdüğü için ölçek farklılıklarından kaynaklanan yanlılıklar kendiliğinden giderilecektir.
  4. D
    Temel bileşen eksenlerini belirleyen özvektörler, verinin korelasyon matrisi kullanılarak elde edilecek olan özvektörlerle yapısal olarak tamamen aynı değerleri alacaktır.
  5. E
    Matristen hesaplanan ilk özdeğer, analizin açıkladığı toplam varyans yüzdesini doğrudan verecek şekilde oransal bir büyüklüğü temsil edecektir.

Cevap

Hesaplanan temel bileşenler değişkenlerin orijinal ölçüm birimlerine duyarlı olacak ve sayısal saçılımı en geniş olan metrikler birinci bileşen üzerinde yapay bir biçimde baskınlık kuracaktır.
Temel Bileşenler Analizi (TBA), veri setindeki toplam varyansı maksimize eden doğrusal kombinasyonları bulmayı amaçlar. Değişkenler farklı ölçüm birimleriyle ifade edildiğinde (örneğin biri yüzde, diğeri binlerle ifade edilen para birimi), sayısal olarak büyük değerler alan değişkenin varyansı da matematiksel olarak çok büyük çıkar. Eğer veriler standartlaştırılmadan doğrudan örneklem kovaryans matrisi üzerinden analiz yapılırsa, varyansı büyük olan bu değişken(ler) sanki en önemli bilgi kaynağıymış gibi ilk temel bileşenin açıklayıcılığını tamamen kendi üzerine çeker ve analizi yapay bir şekilde domine eder. Bu duruma ölçek bağımlılığı (scale dependency) denir ve bu yüzden farklı birimlerdeki veriler için kovaryans yerine korelasyon matrisi kullanılmalıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Değişkenlerin ölçüm birimlerini ve yapılarını analiz et.
Değişkenler farklı birimlere (kişi, bin TL, yüzde, gün) ve doğal olarak çok farklı varyans büyüklüklerine sahiptir.
TBA'da matris seçiminin (kovaryans vs. korelasyon) sonuçları nasıl etkileyeceğini anlamak için verinin yapısını belirlemek gerekir.
2
Kovaryans matrisinin özelliklerini ölçek farklılıkları açısından değerlendir.
Kovaryans matrisi orijinal veri ölçeklerine bağımlıdır (scale-dependent). Standardizasyon içermez.
Varyansların toplamı matrisin izini oluşturur ve sayısal olarak büyük olan varyanslar, matrisin özdeğer ayrışımını domine eder.
3
Yapılan işlemin ilk temel bileşen üzerindeki etkisini tespit et.
Araştırmacı veriyi standartlaştırmadan kovaryans matrisi kullandığı için, varyansı büyük olan değişken (muhtemelen bin TL cinsinden bütçe) birinci temel bileşeni ağırlıklı olarak belirleyecektir.
TBA maksimum varyans yönünü aradığından, matematiksel olarak en geniş saçılıma sahip değişken diğerlerini gölgede bırakarak ekseni kendi üzerine çeker.

Anahtar Kavram

Kovaryans Matrisi ve Ölçek Bağımlılığı (Scale Dependency in PCA)
Tahmini Süre:1m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Kovaryans ve Korelasyon Matrislerinin Kullanımı