Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorDoğrusal Hale Getirilebilen Modeller (Kavramsal Çerçeve)

Ekonometrik ve istatistiksel modellemede, değişkenler arasındaki ilişki orijinal haliyle parametrelerine göre doğrusal olmasa bile, uygun matematiksel dönüşümlerle (transformasyon) En Küçük Kareler (EKK) yöntemi kullanılarak tahmin edilebilir bir forma getirilebilmektedir. Ancak bu doğrusallaştırma işlemi sadece deterministik fonksiyon yapısını değil, aynı zamanda modelin stokastik (rassal) özelliklerini de doğrudan etkilemektedir.

Buna göre, doğrusal hale getirilebilen modellerin kavramsal çerçevesi ve EKK varsayımları dikkate alındığında aşağıdaki ifadelerden hangisi kesinlikle doğrudur?

  1. Bağımlı değişkene analitik bir dönüşüm (örneğin logaritma) uygulanarak modelin doğrusal hale getirildiği durumlarda, tahminin EKK ile yapılabilmesi için orijinal modeldeki stokastik hata teriminin fonksiyona toplamsal değil, çarpımsal olarak dâhil edilmiş olması matematiksel bir zorunluluktur.Cevap
  2. B
    Doğrusal formda elde edilen EKK tahmincileri sapmasızlık özelliğini sağladığı için, bu tahmincilerin orijinal (doğrusal olmayan) denkleme geri dönüştürülmesiyle elde edilen katsayı tahminleri de Gauss-Markov teoremi gereği daima sapmasızlık ve etkinlik özelliklerini korur.
  3. C
    Bağımlı değişkenin doğal logaritmasının alındığı dönüştürülmüş bir modelin belirtme katsayısı (R2R^2), aynı değişkenlerin kullanıldığı ancak bağımlı değişkenin orijinal formda olduğu doğrusal modelin R2R^2 değeri ile model seçimi amacıyla doğrudan karşılaştırılabilir.
  4. D
    Logaritmik dönüşümlerle doğrusal hale getirilen üstel modellerde hesaplanan eğim katsayıları, diğer değişkenler sabitken bağımsız değişkendeki bir birimlik mutlak artışın bağımlı değişkende yaratacağı birimsel (mutlak) değişimi yansıtır.
  5. E
    Dönüştürülmüş modelde EKK varsayımlarının sağlanıp sağlanmadığını denetlemek için başvurulan White ve Park gibi yapısal testler, modeldeki ardışık bağımlılık (otokorelasyon) probleminin tespit edilmesinde kullanılan temel yöntemlerdir.

Cevap

Dönüşüm işleminin EKK tahminine imkân verebilmesi için orijinal modeldeki stokastik hata teriminin fonksiyona çarpımsal olarak dâhil edilmiş olmasının matematiksel bir zorunluluk olduğunu ifade eden seçenektir.
Doğru ifade, bağımlı değişkene dönüşüm uygulanan modellerde orijinal stokastik hata teriminin denkleme çarpımsal olarak katılmış olması gerekliliğidir. Bir modelin En Küçük Kareler (EKK) yöntemiyle tahmin edilebilmesi için nihai formda hata teriminin bağımsız değişkenlerden ve parametrelerden ayrılarak toplamsal (additive) bir yapıda olması şarttır. Eğer orijinal üstel modelde hata terimi toplamsal ise (Y=β0Xβ1+uY = \beta_0 X^{\beta_1} + u), eşitliğin iki tarafının logaritması alındığında hata terimi matematiksel olarak ayrıştırılamaz ve model doğrusallaştırılamaz. Ancak hata terimi çarpımsal ise (Y=β0Xβ1euY = \beta_0 X^{\beta_1} e^u), logaritmik dönüşüm ln⁡(Y)=ln⁡(β0)+β1ln⁡(X)+u\ln(Y) = \ln(\beta_0) + \beta_1 \ln(X) + u halini alır ve EKK varsayımlarına uygun toplamsal bir hata terimi elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Doğrusal olmayan regresyon modellerinin EKK (En Küçük Kareler) ile tahmin edilebilmesi için gereken koşulları analiz et.
EKK'nın uygulanabilmesi için nihai modelin 'parametrelerine göre doğrusal' (linear in parameters) olması ve hata teriminin denkleme 'toplamsal' (additive) olarak katılması gerekir (Y=β0+β1X+uY = \beta_0 + \beta_1 X + u).
EKK tahmincilerinin analitik çözümü ve Gauss-Markov varsayımları, hata teriminin deterministik kısımdan bağımsız ve toplamsal olarak ayrıştırılabilir olmasına dayanır.
2
Bağımlı değişken dönüşümlerinde (örneğin log-log veya log-lin modelleri) orijinal hata teriminin yapısını değerlendir.
Eğer orijinal model Y=β0Xβ1euY = \beta_0 X^{\beta_1} e^{u} şeklinde çarpımsal bir hata terimine sahipse, logaritma alındığında ln⁡(Y)=ln⁡(β0)+β1ln⁡(X)+u\ln(Y) = \ln(\beta_0) + \beta_1 \ln(X) + u elde edilir. Hata terimi (uu) artık toplamsaldır ve EKK uygulanabilir.
Logaritma fonksiyonu, çarpım durumundaki ifadeleri toplam durumuna dönüştürür. Çarpımsal hata, doğrusal modelde toplamsal hataya dönüşerek EKK varsayımını sağlar.
3
Orijinal modelin hata terimi toplamsal olduğunda dönüşümün sonucunu incele.
Eğer orijinal model Y=β0Xβ1+uY = \beta_0 X^{\beta_1} + u şeklinde toplamsal bir hata terimine sahipse, logaritma alındığında ln⁡(Y)=ln⁡(β0Xβ1+u)\ln(Y) = \ln(\beta_0 X^{\beta_1} + u) elde edilir. Bu ifade parametrelerine göre doğrusallaştırılamaz.
Toplamın logaritması (ln⁡(A+B)\ln(A+B)), bileşenlerin logaritmaları toplamına ayrılamaz. Bu nedenle deterministik kısım ile stokastik (hata) kısım birbirinden doğrusal olarak ayrıştırılamaz.
4
Seçeneklerdeki ifadeleri doğrusal hale getirilebilme kuralları ve ekonometrik varsayımlar (R-kare karşılaştırması, Gauss-Markov, katsayı yorumları, varsayım testleri) ile eşleştirerek yanlışları ele.
Sadece orijinal hata teriminin çarpımsal olması gerektiği yönündeki önerme matematiksel bir gerçekliği yansıtır. Diğer seçenekler yaygın ekonometrik yanılgıları içermektedir.
Yüksek düzeyli kavramsal bilgi, yalnızca deterministik yapının değil, rassal sürecin de doğrusallaştırma üzerindeki mutlak kısıtını görmeyi gerektirir.

Anahtar Kavram

Doğrusal Olmayan Modellerin Doğrusallaştırma Şartları ve Stokastik Hata Teriminin Yapısı
Bu soruyu puanla

Konular

Doğrusal Hale Getirilebilen Modeller (Kavramsal Çerçeve)