Examkin

Soru

Zorluk: ZorGrafik Çözüm Yöntemi

Bir büyükşehir belediyesi, şehir içi ulaşımda kullanılmak üzere elektrikli (x1x_1) ve hibrit (x2x_2) otobüslerden oluşan yeni bir filo kurmayı planlamaktadır. Belediyenin amacı, günlük maksimum çevresel faydayı (ZZ) sağlamaktır. Bu probleme ait doğrusal programlama modeli aşağıda verilmiştir:

Maksimum Z=80x1+30x2Maksimum \ Z = 80x_1 + 30x_2
Kısıtlar:
2x1+x2≤20(Bu¨tc¸e kısıtı)2x_1 + x_2 \leq 20 \quad \text{(Bütçe kısıtı)}
x1≤8(S¸arj altyapısı kısıtı)x_1 \leq 8 \quad \text{(Şarj altyapısı kısıtı)}
x1+x2≥10(Minimum hizmet kısıtı)x_1 + x_2 \geq 10 \quad \text{(Minimum hizmet kısıtı)}
x1,x2≥0x_1, x_2 \geq 0

Buna göre, bu model grafik çözüm yöntemiyle çözüldüğünde elde edilen optimum çözümdeki x1x_1, x2x_2 değerleri ve maksimum çevresel fayda (ZZ) sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?

  1. x1=8, x2=4, Z=760x_1 = 8, \ x_2 = 4, \ Z = 760Cevap
  2. B
    x1=10, x2=0, Z=800x_1 = 10, \ x_2 = 0, \ Z = 800
  3. C
    x1=8, x2=2, Z=700x_1 = 8, \ x_2 = 2, \ Z = 700
  4. D
    x1=0, x2=20, Z=600x_1 = 0, \ x_2 = 20, \ Z = 600
  5. E
    x1=0, x2=10, Z=300x_1 = 0, \ x_2 = 10, \ Z = 300

Cevap

Optimum çözüm, her iki aracın da kısıtlar dahilinde en uygun kombinasyonunu veren x1=8, x2=4, Z=760x_1 = 8, \ x_2 = 4, \ Z = 760 noktasıdır.
Modelin uygun çözüm alanı, verilen üç kısıtın da aynı anda sağlandığı kapalı bölgedir. Bu bölgenin köşe noktaları (0,20)(0, 20), (0,10)(0, 10), (8,2)(8, 2) ve (8,4)(8, 4)'tür. Bu değerler Z=80x1+30x2Z = 80x_1 + 30x_2 amaç fonksiyonunda yerine konduğunda sırasıyla 600600, 300300, 700700 ve 760760 değerlerini verir. Modelin amacı maksimizasyon olduğu için en yüksek değer olan Z=760Z = 760 sonucunu veren x1=8x_1 = 8 ve x2=4x_2 = 4 noktası optimum çözümdür.

Adım Adım Çözüm

1
Kısıt eşitsizliklerinin koordinat sisteminde doğrular halinde çizilmesi ve eksenleri kestiği noktaların bulunması.
1. doğru (2x1+x2=202x_1 + x_2 = 20): (10,0)(10,0) ve (0,20)(0,20) noktalarından geçer. 2. doğru (x1=8x_1 = 8): y eksenine paraleldir. 3. doğru (x1+x2=10x_1 + x_2 = 10): (10,0)(10,0) ve (0,10)(0,10) noktalarından geçer.
Grafik çözüm yönteminde uygun çözüm alanının sınırlarını belirlemek.
2
Eşitsizlik yönlerine (≤\leq ve ≥\geq) göre uygun çözüm bölgesinin (taralı alanın) belirlenmesi.
Alan, 2x1+x2≤202x_1 + x_2 \leq 20 doğrusunun altında, x1≤8x_1 \leq 8 doğrusunun solunda ve x1+x2≥10x_1 + x_2 \geq 10 doğrusunun üstünde kalan kapalı çokgendir.
Tüm kısıtları aynı anda sağlayan noktalar kümesini tespit etmek.
3
Uygun çözüm alanını çevreleyen çokgenin köşe noktalarının koordinatlarının hesaplanması.
Kesişim noktalarından 4 adet uygun köşe bulunur: (0,20)(0, 20), (0,10)(0, 10), (8,2)(8, 2) ve (8,4)(8, 4).
Doğrusal programlamada optimum çözüm daima uygun çözüm alanının köşe noktalarının birinde (veya bir ayrıtı üzerinde) gerçekleşir.
4
Bulunan köşe noktalarının Z=80x1+30x2Z = 80x_1 + 30x_2 amaç fonksiyonunda yerine konarak en yüksek (maksimum) değerin tespit edilmesi.
(0,20)(0, 20) için Z=600Z=600, (0,10)(0, 10) için Z=300Z=300, (8,2)(8, 2) için Z=700Z=700 ve (8,4)(8, 4) için Z=760Z=760 bulunur. Maksimum değer 760'tır.
Modelin amacı çevresel faydayı (ZZ) maksimize etmektir.

Anahtar Kavram

Doğrusal Programlamada Grafik Çözüm Yöntemi ile Maksimizasyon
Bu soruyu puanla

Konular

Grafik Çözüm Yöntemi

Bu konudan daha fazla soru