Examkin

Grafik Çözüm Yöntemi

6 soru

Soru 1Soru →

Bir işletme iki farklı ürün üretmektedir. Bu ürünlerin birim karlarını ve üretim sürecindeki kısıtları içeren doğrusal programlama modeli aşağıda verilmiştir:

Maksimum Z=40x1+50x2Maksimum \ Z = 40x_1 + 50x_2
Kısıtlar:
x1+2x2≤40x_1 + 2x_2 \leq 40
4x1+3x2≤1204x_1 + 3x_2 \leq 120
x1≥10x_1 \geq 10
x1,x2≥0x_1, x_2 \geq 0

Grafik çözüm yöntemi kullanıldığında, bu modelin optimal amaç fonksiyonu değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1360

Cevap

Modelin optimal amaç fonksiyonu değeri 1360'tır.
Grafik çözüm yöntemi ile belirlenen uygun çözüm bölgesinin köşe noktaları (10, 0), (30, 0), (24, 8) ve (10, 15) koordinatlarıdır. Bu noktalar amaç fonksiyonu olan Z=40x1+50x2Z = 40x_1 + 50x_2 denkleminde yerine konulduğunda en büyük değer 1360 olarak (24, 8) noktasında elde edilmektedir.

Adım Adım Çözüm

1
Kısıt doğrularının eksenleri kestiği noktaları bulma
1. kısıt (x1 + 2x2 = 40) için (40, 0) ve (0, 20); 2. kısıt (4x1 + 3x2 = 120) için (30, 0) ve (0, 40) noktaları.
Doğruları grafik üzerinde çizebilmek için başlangıç noktalarını belirlemek gerekir.
2
Uygun çözüm bölgesini (UB) belirleme
Eksenlerin birinci bölgesinde, x1 + 2x2 ≤ 40 ve 4x1 + 3x2 ≤ 120 doğrularının altında, ancak x1 ≥ 10 doğrusunun sağında kalan bölge.
Kısıt yönlerine göre tüm eşitsizlikleri sağlayan ortak alanı tespit etmek çözümün temelidir.
3
Uygun bölgenin köşe noktalarını hesaplama
Köşe noktaları: A(10, 0), B(30, 0), C(24, 8) ve D(10, 15).
Doğrusal programlamada optimal çözüm her zaman uygun bölgenin köşe noktalarından birindedir.
4
Amaç fonksiyonu değerlerini karşılaştırma
Z(10,0)=400; Z(30,0)=1200; Z(24,8)=40(24)+50(8)=1360; Z(10,15)=40(10)+50(15)=1150.
Maksimum karı veren koordinat çiftini bulmak için tüm aday noktalar test edilir.

Anahtar Kavram

Grafik çözüm yönteminde optimal çözüm, uygun çözüm bölgesinin bir köşe noktasında gerçekleşir.
Soru 2Soru →

Aşağıda bir doğrusal programlama modeli verilmiştir:

Maksimum Z=3x1+4x2Maksimum \ Z = 3x_1 + 4x_2
Kısıtlar:
x1+x2≤8x_1 + x_2 \leq 8
x1≥2x_1 \geq 2
x2≥1x_2 \geq 1

Bu model grafik çözüm yöntemi ile çözüldüğünde, uygun çözüm bölgesinin köşe noktaları üzerinden elde edilebilecek en büyük amaç fonksiyonu (ZZ) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 30

Cevap

Modelin en büyük amaç fonksiyonu değeri 30'dur.
Modelin kısıtları tarafından belirlenen uygun çözüm bölgesinin köşe noktaları (2,1)(2, 1), (7,1)(7, 1) ve (2,6)(2, 6) noktalarıdır. Bu noktalar amaç fonksiyonunda (Z=3x1+4x2Z = 3x_1 + 4x_2) yerine konulduğunda, en yüksek değer olan 30 sonucu (2,6)(2, 6) noktasında elde edilmektedir.

Adım Adım Çözüm

1
Kısıt doğrularını belirleme ve uygun çözüm bölgesini çizme
x1+x2=8x_1 + x_2 = 8, x1=2x_1 = 2 ve x2=1x_2 = 1 doğruları çizilir. Kısıtların yönlerine (x1+x2≤8,x1≥2,x2≥1x_1+x_2 \leq 8, x_1 \geq 2, x_2 \geq 1) göre ortak bölge belirlenir.
Grafik yöntemde ilk adım, kısıtların sınırlarını belirleyerek tüm kısıtları aynı anda sağlayan uygun çözüm alanını bulmaktır.
2
Uygun çözüm bölgesinin köşe noktalarını hesaplama
Doğruların kesişimlerinden köşe noktaları (2,1)(2, 1), (7,1)(7, 1) ve (2,6)(2, 6) olarak bulunur.
Doğrusal programlama teorisine göre optimum çözüm, uygun çözüm bölgesinin uç (köşe) noktalarından birinde gerçekleşir.
3
Her bir köşe noktası için amaç fonksiyonu (ZZ) değerini hesaplama
Z(2,1)=3(2)+4(1)=10Z(2, 1) = 3(2) + 4(1) = 10; Z(7,1)=3(7)+4(1)=25Z(7, 1) = 3(7) + 4(1) = 25; Z(2,6)=3(2)+4(6)=30Z(2, 6) = 3(2) + 4(6) = 30.
Hesaplanan değerler arasında en büyük olanı, maksimizasyon probleminin optimum sonucudur.

Anahtar Kavram

Grafik Çözüm Yönteminde Köşe Noktaları Analizi

İpuçları

1
Kısıtları grafik üzerinde çizerek üçgen şeklindeki uygun çözüm bölgesini belirleyin.
2
Belirlediğiniz uygun bölgenin köşe noktalarını (kesişim noktalarını) bulun.
3
(2,1)(2,1), (7,1)(7,1) ve (2,6)(2,6) noktalarını amaç fonksiyonunda deneyerek en büyük sonucu bulun.

Daha Fazla Pratik

Eğer problem bir minimizasyon problemi olsaydı, hangi değerin doğru cevap olacağını düşününüz.
Tahmini Süre:1m 0s
Soru 3Soru →

Aşağıda iki karar değişkenli bir doğrusal programlama modeli verilmiştir:

Minimize Z=4x1+3x2\text{Minimize } Z = 4x_1 + 3x_2
Kısıtlayıcı Şartlar:
x1+x2≥5x_1 + x_2 \geq 5
x1≥2x_1 \geq 2
x1,x2≥0x_1, x_2 \geq 0

Grafik çözüm yöntemine göre, bu modelin optimum (en küçük) amaç fonksiyonu değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 17

Cevap

Modelin optimum değeri 17'dir.
Verilen modelde x1+x2≥5x_1 + x_2 \geq 5 ve x1≥2x_1 \geq 2 kısıtlarının oluşturduğu sınırsız uygun çözüm bölgesinin iki uç noktası vardır: (2,3)(2, 3) ve (5,0)(5, 0). Amaç fonksiyonu olan Z=4x1+3x2Z = 4x_1 + 3x_2 ifadesi (2,3)(2, 3) noktasında 1717 değerini, (5,0)(5, 0) noktasında ise 2020 değerini alır. Problem bir minimizasyon problemi olduğu için daha küçük olan 1717 değeri optimum sonuçtur.

Adım Adım Çözüm

1
Kısıt doğrularını koordinat düzleminde çizin.
x1+x2=5x_1 + x_2 = 5 doğrusu (5,0)(5,0) ve (0,5)(0,5) noktalarından geçer. x1=2x_1 = 2 doğrusu ise düşey bir doğrudur.
Grafik çözümünde ilk adım uygun çözüm bölgesini belirlemek için sınır doğrularını çizmektir.
2
Eşitsizlik yönlerine göre uygun çözüm bölgesini belirleyin.
x1+x2≥5x_1 + x_2 \geq 5 ve x1≥2x_1 \geq 2 olduğu için her iki doğrunun sağ/üst tarafında kalan ortak bölge taranır.
Büyük-eşit kısıtları, doğruların orijinden uzak olan tarafını işaret eder.
3
Uygun çözüm bölgesinin köşe noktalarını tespit edin.
İki kısıtın kesişim noktası: x1=2x_1 = 2 ise 2+x2=5⇒x2=32 + x_2 = 5 \Rightarrow x_2 = 3. Köşe: (2,3)(2, 3). Diğer köşe: x2=0x_2=0 ve x1+x2=5x_1+x_2=5 kesişimi olan (5,0)(5, 0).
Optimum çözüm her zaman uygun çözüm bölgesinin uç (köşe) noktalarından birindedir.
4
Köşe noktalarını amaç fonksiyonunda (Z=4x1+3x2Z = 4x_1 + 3x_2) yerine koyun.
Z(2,3)=4(2)+3(3)=8+9=17Z(2, 3) = 4(2) + 3(3) = 8 + 9 = 17 ve Z(5,0)=4(5)+3(0)=20Z(5, 0) = 4(5) + 3(0) = 20.
Minimizasyon probleminde en küçük değeri veren nokta optimum çözümdür.

Anahtar Kavram

Grafik yöntemde uygun çözüm bölgesinin köşe noktalarının analizi

Daha Fazla Pratik

Benzer bir problemde kısıt yönlerini değiştirerek uygun çözüm bölgesinin nasıl kapalı bir alan haline gelebileceğini inceleyebilirsiniz.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 4Soru →

Bir kamu kurumu, yürüteceği bir sosyal destek programı için doğrusal programlama yaklaşımıyla bir kaynak tahsis modeli geliştirmiştir. Modelde x1x_1 birinci bölgeye, x2x_2 ise ikinci bölgeye aktarılacak fon birimini (milyon TL) temsil etmektedir.

Kurumun amacı, belirlenen sosyal hedeflere ulaşırken toplam maliyeti minimize etmektir. Kurulan doğrusal programlama modeli aşağıda verilmiştir:

Minimum Z=300x1+500x2 \text{Minimum } Z = 300x_1 + 500x_2
Kısıtlayıcı Şartlar:
x1+2x2≥16 x_1 + 2x_2 \geq 16
x1+x2≤12 x_1 + x_2 \leq 12
x1≥4 x_1 \geq 4
x1,x2≥0 x_1, x_2 \geq 0

Bu model grafik çözüm yöntemiyle analiz edildiğinde, optimum çözümde amaç fonksiyonunun alacağı minimum değer kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4200

Cevap

Doğrusal programlama modelinin uygun çözüm alanındaki köşe noktaları hesaplandığında, minimum maliyeti veren noktanın (4, 6) olduğu ve bu noktada değerin 4200 olduğu görülür.
Verilen doğrusal programlama modeli grafik üzerinde çözüldüğünde, x1+2x2≥16x_1 + 2x_2 \geq 16, x1+x2≤12x_1 + x_2 \leq 12 ve x1≥4x_1 \geq 4 kısıtlarının kesiştiği ortak bölge bir üçgendir. Bu üçgenin köşeleri (4, 6), (8, 4) ve (4, 8) koordinatlarında yer alır. Z=300x1+500x2Z = 300x_1 + 500x_2 maliyet fonksiyonu bu köşelerde test edildiğinde minimum değer, Z=300(4)+500(6)=4200Z = 300(4) + 500(6) = 4200 ile (4, 6) noktasında elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitsizlikleri denkleme çevirerek kısıt doğrularının eksenleri kestiği noktaları bulma.
x1+2x2=16x_1 + 2x_2 = 16 doğrusu eksenleri (16, 0) ve (0, 8) noktalarında; x1+x2=12x_1 + x_2 = 12 doğrusu (12, 0) ve (0, 12) noktalarında keser. x1=4x_1 = 4 doğrusu yatay eksene diktir.
Grafik üzerinde uygun çözüm bölgesini (olabilirlik alanını) çizebilmek için sınır doğrularının belirlenmesi gerekir.
2
Kısıt yönlerine göre eşitsizlik bölgelerini tarayarak ortak çözüm alanını (uygun bölgeyi) belirleme.
x1+2x2≥16x_1 + 2x_2 \geq 16 doğrusunun üstü, x1+x2≤12x_1 + x_2 \leq 12 doğrusunun altı ve x1≥4x_1 \geq 4 doğrusunun sağı taranır. Kesişim bölgesi, birinci bölgede yer alan kapalı bir üçgendir.
Tüm kısıtları eşzamanlı olarak sağlayan noktalar kümesini tespit etmek için.
3
Uygun çözüm bölgesini oluşturan üçgenin köşe noktalarının koordinatlarını hesaplama.
1. Kesişim (x1=4x_1=4 ile x1+2x2=16x_1+2x_2=16): (4, 6) noktası.
2. Kesişim (x1=4x_1=4 ile x1+x2=12x_1+x_2=12): (4, 8) noktası.
3. Kesişim (x1+2x2=16x_1+2x_2=16 ile x1+x2=12x_1+x_2=12): Denklemler ortak çözüldüğünde (8, 4) noktası.
Doğrusal programlamada optimum çözüm, daima uygun çözüm alanının köşe noktalarının en az birinde gerçekleşir.
4
Bulunan köşe noktalarını amaç fonksiyonunda (Z=300x1+500x2Z = 300x_1 + 500x_2) yerine koyarak minimum değeri tespit etme.
(4, 6) için Z=300(4)+500(6)=4200Z = 300(4) + 500(6) = 4200.
(8, 4) için Z=300(8)+500(4)=4400Z = 300(8) + 500(4) = 4400.
(4, 8) için Z=300(4)+500(8)=5200Z = 300(4) + 500(8) = 5200.
En küçük (minimum) değer 4200 olarak bulunur.
Amacımız maliyeti (Z değerini) minimize eden köşe noktasını bulmaktır.

Anahtar Kavram

Grafik Çözüm Yöntemi ile Uygun Çözüm Bölgesinin ve Optimum Noktanın Belirlenmesi
Soru 5Soru →

Bir büyükşehir belediyesi, şehir içi ulaşımda kullanılmak üzere elektrikli (x1x_1) ve hibrit (x2x_2) otobüslerden oluşan yeni bir filo kurmayı planlamaktadır. Belediyenin amacı, günlük maksimum çevresel faydayı (ZZ) sağlamaktır. Bu probleme ait doğrusal programlama modeli aşağıda verilmiştir:

Maksimum Z=80x1+30x2Maksimum \ Z = 80x_1 + 30x_2
Kısıtlar:
2x1+x2≤20(Bu¨tc¸e kısıtı)2x_1 + x_2 \leq 20 \quad \text{(Bütçe kısıtı)}
x1≤8(S¸arj altyapısı kısıtı)x_1 \leq 8 \quad \text{(Şarj altyapısı kısıtı)}
x1+x2≥10(Minimum hizmet kısıtı)x_1 + x_2 \geq 10 \quad \text{(Minimum hizmet kısıtı)}
x1,x2≥0x_1, x_2 \geq 0

Buna göre, bu model grafik çözüm yöntemiyle çözüldüğünde elde edilen optimum çözümdeki x1x_1, x2x_2 değerleri ve maksimum çevresel fayda (ZZ) sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: x1=8, x2=4, Z=760x_1 = 8, \ x_2 = 4, \ Z = 760

Cevap

Optimum çözüm, her iki aracın da kısıtlar dahilinde en uygun kombinasyonunu veren x1=8, x2=4, Z=760x_1 = 8, \ x_2 = 4, \ Z = 760 noktasıdır.
Modelin uygun çözüm alanı, verilen üç kısıtın da aynı anda sağlandığı kapalı bölgedir. Bu bölgenin köşe noktaları (0,20)(0, 20), (0,10)(0, 10), (8,2)(8, 2) ve (8,4)(8, 4)'tür. Bu değerler Z=80x1+30x2Z = 80x_1 + 30x_2 amaç fonksiyonunda yerine konduğunda sırasıyla 600600, 300300, 700700 ve 760760 değerlerini verir. Modelin amacı maksimizasyon olduğu için en yüksek değer olan Z=760Z = 760 sonucunu veren x1=8x_1 = 8 ve x2=4x_2 = 4 noktası optimum çözümdür.

Adım Adım Çözüm

1
Kısıt eşitsizliklerinin koordinat sisteminde doğrular halinde çizilmesi ve eksenleri kestiği noktaların bulunması.
1. doğru (2x1+x2=202x_1 + x_2 = 20): (10,0)(10,0) ve (0,20)(0,20) noktalarından geçer. 2. doğru (x1=8x_1 = 8): y eksenine paraleldir. 3. doğru (x1+x2=10x_1 + x_2 = 10): (10,0)(10,0) ve (0,10)(0,10) noktalarından geçer.
Grafik çözüm yönteminde uygun çözüm alanının sınırlarını belirlemek.
2
Eşitsizlik yönlerine (≤\leq ve ≥\geq) göre uygun çözüm bölgesinin (taralı alanın) belirlenmesi.
Alan, 2x1+x2≤202x_1 + x_2 \leq 20 doğrusunun altında, x1≤8x_1 \leq 8 doğrusunun solunda ve x1+x2≥10x_1 + x_2 \geq 10 doğrusunun üstünde kalan kapalı çokgendir.
Tüm kısıtları aynı anda sağlayan noktalar kümesini tespit etmek.
3
Uygun çözüm alanını çevreleyen çokgenin köşe noktalarının koordinatlarının hesaplanması.
Kesişim noktalarından 4 adet uygun köşe bulunur: (0,20)(0, 20), (0,10)(0, 10), (8,2)(8, 2) ve (8,4)(8, 4).
Doğrusal programlamada optimum çözüm daima uygun çözüm alanının köşe noktalarının birinde (veya bir ayrıtı üzerinde) gerçekleşir.
4
Bulunan köşe noktalarının Z=80x1+30x2Z = 80x_1 + 30x_2 amaç fonksiyonunda yerine konarak en yüksek (maksimum) değerin tespit edilmesi.
(0,20)(0, 20) için Z=600Z=600, (0,10)(0, 10) için Z=300Z=300, (8,2)(8, 2) için Z=700Z=700 ve (8,4)(8, 4) için Z=760Z=760 bulunur. Maksimum değer 760'tır.
Modelin amacı çevresel faydayı (ZZ) maksimize etmektir.

Anahtar Kavram

Doğrusal Programlamada Grafik Çözüm Yöntemi ile Maksimizasyon
Soru 6Soru →

Aşağıda bir doğrusal programlama modeli verilmiştir:

Maksimum Z=10x1+15x2Maksimum \ Z = 10x_1 + 15x_2
Kısıtlar:
x1+x2≤5x_1 + x_2 \leq 5
x2≥2x_2 \geq 2
x1,x2≥0x_1, x_2 \geq 0

Grafik çözüm yöntemi kullanıldığında, bu modelin en iyi (optimum) amaç fonksiyonu değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 75

Cevap

En iyi amaç fonksiyonu değeri 75 olarak bulunur.
Optimum değer, uygun çözüm alanının uç noktalarından biri olan (0, 5) noktasında gerçekleşmektedir. Bu noktada x1 değeri 0 ve x2 değeri 5 olduğunda amaç fonksiyonu Z = 10(0) + 15(5) = 75 değerine ulaşır ve bu bölgedeki diğer köşe noktalarından (30 ve 60) daha büyüktür.

Adım Adım Çözüm

1
Kısıt doğrularını çizerek uygun çözüm alanını belirleyin.
x1+x2=5x_1 + x_2 = 5 doğrusu eksenleri (5,0)(5,0) ve (0,5)(0,5) noktalarında keser. x2=2x_2 = 2 doğrusu ise yatay bir doğrudur.
Grafik çözüm yönteminde ilk adım, kısıtların sınırlarını belirleyerek uygun bölgeyi bulmaktır.
2
Eşitsizlik yönlerine göre uygun bölgeyi tarayın.
x1+x2≤5x_1 + x_2 \leq 5 doğrunun alt tarafını, x2≥2x_2 \geq 2 ise doğrunun üst tarafını gösterir. x1≥0x_1 \geq 0 dikey eksenin sağ tarafıdır.
Tüm kısıtların aynı anda sağlandığı bölge uygun çözüm alanıdır.
3
Uygun çözüm alanının köşe noktalarını tespit edin.
Köşe noktaları: (0,2)(0, 2), (0,5)(0, 5) ve (3,2)(3, 2) noktalarıdır.
Doğrusal programlama teorisine göre optimum çözüm mutlaka uygun bölgenin bir köşe noktasındadır.
4
Köşe noktalarını amaç fonksiyonunda yerine koyarak değerleri hesaplayın.
Z(0,2)=10(0)+15(2)=30Z(0, 2) = 10(0) + 15(2) = 30, Z(0,5)=10(0)+15(5)=75Z(0, 5) = 10(0) + 15(5) = 75, Z(3,2)=10(3)+15(2)=60Z(3, 2) = 10(3) + 15(2) = 60.
Maksimum amaç fonksiyonu değerini bulmak için tüm uç noktalar test edilir.

Anahtar Kavram

Grafik çözüm yönteminde optimum değer, kısıtların oluşturduğu uygun bölgenin köşe noktalarından birinde bulunur.
Grafik Çözüm Yöntemi Alıştırma Soruları — KPSS İstatistik | Examkin