Examkin

Soru

Zorluk: ZorGrafik Çözüm Yöntemi

Bir kamu kurumu, yürüteceği bir sosyal destek programı için doğrusal programlama yaklaşımıyla bir kaynak tahsis modeli geliştirmiştir. Modelde x1x_1 birinci bölgeye, x2x_2 ise ikinci bölgeye aktarılacak fon birimini (milyon TL) temsil etmektedir.

Kurumun amacı, belirlenen sosyal hedeflere ulaşırken toplam maliyeti minimize etmektir. Kurulan doğrusal programlama modeli aşağıda verilmiştir:

Minimum Z=300x1+500x2 \text{Minimum } Z = 300x_1 + 500x_2
Kısıtlayıcı Şartlar:
x1+2x2≥16 x_1 + 2x_2 \geq 16
x1+x2≤12 x_1 + x_2 \leq 12
x1≥4 x_1 \geq 4
x1,x2≥0 x_1, x_2 \geq 0

Bu model grafik çözüm yöntemiyle analiz edildiğinde, optimum çözümde amaç fonksiyonunun alacağı minimum değer kaçtır?

  1. A
    3600
  2. 4200Cevap
  3. C
    4400
  4. D
    4800
  5. E
    5200

Cevap

Doğrusal programlama modelinin uygun çözüm alanındaki köşe noktaları hesaplandığında, minimum maliyeti veren noktanın (4, 6) olduğu ve bu noktada değerin 4200 olduğu görülür.
Verilen doğrusal programlama modeli grafik üzerinde çözüldüğünde, x1+2x2≥16x_1 + 2x_2 \geq 16, x1+x2≤12x_1 + x_2 \leq 12 ve x1≥4x_1 \geq 4 kısıtlarının kesiştiği ortak bölge bir üçgendir. Bu üçgenin köşeleri (4, 6), (8, 4) ve (4, 8) koordinatlarında yer alır. Z=300x1+500x2Z = 300x_1 + 500x_2 maliyet fonksiyonu bu köşelerde test edildiğinde minimum değer, Z=300(4)+500(6)=4200Z = 300(4) + 500(6) = 4200 ile (4, 6) noktasında elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitsizlikleri denkleme çevirerek kısıt doğrularının eksenleri kestiği noktaları bulma.
x1+2x2=16x_1 + 2x_2 = 16 doğrusu eksenleri (16, 0) ve (0, 8) noktalarında; x1+x2=12x_1 + x_2 = 12 doğrusu (12, 0) ve (0, 12) noktalarında keser. x1=4x_1 = 4 doğrusu yatay eksene diktir.
Grafik üzerinde uygun çözüm bölgesini (olabilirlik alanını) çizebilmek için sınır doğrularının belirlenmesi gerekir.
2
Kısıt yönlerine göre eşitsizlik bölgelerini tarayarak ortak çözüm alanını (uygun bölgeyi) belirleme.
x1+2x2≥16x_1 + 2x_2 \geq 16 doğrusunun üstü, x1+x2≤12x_1 + x_2 \leq 12 doğrusunun altı ve x1≥4x_1 \geq 4 doğrusunun sağı taranır. Kesişim bölgesi, birinci bölgede yer alan kapalı bir üçgendir.
Tüm kısıtları eşzamanlı olarak sağlayan noktalar kümesini tespit etmek için.
3
Uygun çözüm bölgesini oluşturan üçgenin köşe noktalarının koordinatlarını hesaplama.
1. Kesişim (x1=4x_1=4 ile x1+2x2=16x_1+2x_2=16): (4, 6) noktası.
2. Kesişim (x1=4x_1=4 ile x1+x2=12x_1+x_2=12): (4, 8) noktası.
3. Kesişim (x1+2x2=16x_1+2x_2=16 ile x1+x2=12x_1+x_2=12): Denklemler ortak çözüldüğünde (8, 4) noktası.
Doğrusal programlamada optimum çözüm, daima uygun çözüm alanının köşe noktalarının en az birinde gerçekleşir.
4
Bulunan köşe noktalarını amaç fonksiyonunda (Z=300x1+500x2Z = 300x_1 + 500x_2) yerine koyarak minimum değeri tespit etme.
(4, 6) için Z=300(4)+500(6)=4200Z = 300(4) + 500(6) = 4200.
(8, 4) için Z=300(8)+500(4)=4400Z = 300(8) + 500(4) = 4400.
(4, 8) için Z=300(4)+500(8)=5200Z = 300(4) + 500(8) = 5200.
En küçük (minimum) değer 4200 olarak bulunur.
Amacımız maliyeti (Z değerini) minimize eden köşe noktasını bulmaktır.

Anahtar Kavram

Grafik Çözüm Yöntemi ile Uygun Çözüm Bölgesinin ve Optimum Noktanın Belirlenmesi
Bu soruyu puanla

Konular

Grafik Çözüm Yöntemi

Bu konudan daha fazla soru