Examkin

Soru

Zorluk: OrtaNokta Tahmin Edici Kavramı ve İstatistik

Bir tarımsal araştırma enstitüsü, yeni geliştirilen bir buğday türünün dönüm başına verim miktarını X∼N(μ,σ2)X \sim N(\mu, \sigma^2) dağılımı ile modellemektedir. Yapılan uzun soluklu çalışmalar sonucunda, kitle varyansının σ2=120\sigma^2 = 120 olduğu kesin olarak bilinmekte, ancak kitle ortalaması (μ\mu) bilinmemektedir. Araştırmacılar, kitleye ait istatistiksel çıkarsamalar yapmak amacıyla nn çaplı bir rastgele örneklem (X1,X2,…,XnX_1, X_2, \dots, X_n) almıştır.

İstatistiksel çıkarım teorisine göre, aşağıdaki fonksiyonlardan hangisi gözlemlenen örneklem üzerinden doğrudan hesaplanabilen geçerli bir istatistik (statistic) niteliği taşır?

  1. A
    1n∑i=1n(Xi−μ)2\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (X_i - \mu)^2
  2. B
    n(Xˉ−μ)120\frac{\sqrt{n}(\bar{X} - \mu)}{\sqrt{120}}
  3. 1n∑i=1nXi2−120\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i^2 - 120Cevap
  4. D
    E[1n∑i=1nXi]E\left[ \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i \right]
  5. E
    ∂∂μln⁡L(μ;X1,…,Xn)\frac{\partial}{\partial \mu} \ln L(\mu; X_1, \dots, X_n) (Burada LL, olabilirlik fonksiyonudur)

Cevap

İçerisinde hiçbir bilinmeyen parametre barındırmayan ve yalnızca örneklem değerleri ile bilinen sabitlerden oluşan 1n∑i=1nXi2−120\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i^2 - 120 fonksiyonudur.
Bir rastgele değişken fonksiyonunun 'istatistik' (statistic) olarak adlandırılabilmesi ve potansiyel bir tahmin edici olabilmesi için, kitleye ait bilinmeyen hiçbir parametre içermemesi gerekir. Verilen senaryoda kitle ortalaması (μ\mu) bilinmemekte, ancak varyans (120) kesin olarak bilinmektedir. Doğru yanıttaki 1n∑i=1nXi2−120\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i^2 - 120 fonksiyonu, yalnızca gözlemlenebilir örneklem değerlerinden (XiX_i) ve bilinen sabitlerden (nn ve 120) oluşur. İçerisinde bilinmeyen μ\mu parametresini barındırmadığı için, örneklem çekildikten sonra doğrudan hesaplanabilir ve teorik açıdan geçerli bir istatistiktir.

Adım Adım Çözüm

1
İstatistik kavramının matematiksel tanımının hatırlanması
Bir istatistiğin, yalnızca gözlemlenen örneklem değerlerine (XiX_i) ve bilinen sabitlere bağlı olması gerektiği, bilinmeyen hiçbir parametre içermemesi gerektiği belirlenir.
Nokta tahmin teorisinde tahmin ediciler birer istatistiktir ve hesaplanabilmeleri için tamamen veriye dayalı olmaları zorunludur.
2
Senaryodaki bilinen ve bilinmeyen kitle özelliklerinin tespiti
Kitle varyansı σ2=120\sigma^2 = 120 olarak bilinen bir sabittir. Kitle ortalaması μ\mu ise bilinmeyen bir parametredir.
Hangi fonksiyonların hesaplanabilir (istatistik) hangilerinin hesaplanamaz (parametreye bağlı) olduğunu ayırt etmek için gereklidir.
3
Seçeneklerdeki fonksiyonların parametre bağımlılığı açısından analizi
İçerisinde μ\mu sembolü geçen fonksiyonlar ile sonucu doğrudan μ\mu'ye eşit olan beklenen değer fonksiyonlarının istatistik tanımına uymadığı görülür.
Bilinmeyen bir parametreyi içeren hiçbir fonksiyon, veriler elde edildikten sonra sayısal bir değere (tahmin - estimate) dönüştürülemez.
4
Geçerli istatistiğin belirlenmesi
1n∑i=1nXi2−120\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i^2 - 120 formülünün yalnızca verilerden (XiX_i) ve 120 sabitinden oluştuğu tespit edilir ve geçerli istatistik olarak seçilir.
Hiçbir bilinmeyen parametre içermediğinden, tanıma tam uyum sağlayan yegane fonksiyondur.

Anahtar Kavram

İstatistik (Statistic) Tanımı ve Parametre-İstatistik Ayrımı

Alternatif Yöntem

İstatistik tespiti problemlerinde tüm seçenekleri bir veri seti (örneğin X_1=5, X_2=7) varmış gibi sayısal olarak hesaplamayı denemek çok etkilidir. μ\mu'nün bilinmediği bir durumda μ\mu harfi barındıran hiçbir seçeneğin nihai bir sayısal sonuç üretemeyeceği kolayca fark edilebilir.
Tahmini Süre:1m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Nokta Tahmin Edici Kavramı ve İstatistik

Bu konudan daha fazla soru