Examkin

Soru

Zorluk: OrtaNokta Tahmin Edici Kavramı ve İstatistik

Bir fabrikada üretilen elektronik parçaların dayanma süreleri, bilinmeyen bir θ\theta parametresine sahip Üstel (Exponential) dağılıma uymaktadır. Bu üretim hattından rastgele seçilen nn adet parçanın dayanma süreleri X1,X2,…,XnX_1, X_2, \dots, X_n örneklemini oluşturmaktadır.

Bu örneklem üzerinden tanımlanan aşağıdaki fonksiyonlar göz önüne alınmıştır:

I. W1=min⁡(X1,X2,…,Xn)W_1 = \min(X_1, X_2, \dots, X_n)
II. W2=∑i=1n(Xiθ)W_2 = \sum_{i=1}^n \left(\frac{X_i}{\theta}\right)
III. W3=X1+Xn2W_3 = \frac{X_1 + X_n}{2}
IV. W4=Xˉ−θW_4 = \bar{X} - \theta

Buna göre, yukarıda verilen fonksiyonlardan hangileri θ\theta parametresini tahmin etmek amacıyla tanımlanmış bir "istatistik" (dolayısıyla nokta tahmin edici) olma şartını sağlar?

  1. A
    Yalnız I
  2. B
    II ve IV
  3. I ve IIICevap
  4. D
    I, II ve III
  5. E
    I, III ve IV

Cevap

I ve III numaralı ifadeler birer istatistiktir çünkü formüllerinde bilinmeyen bir parametre yer almaz, yalnızca örneklem değerleri ile hesaplanabilirler.
İstatistiksel çıkarımda bir fonksiyonun 'istatistik' (statistic) ve dolayısıyla bir 'tahmin edici' (estimator) olarak kullanılabilmesi için temel şart, yalnızca gözlemlenebilen örneklem değerlerine (XiX_i) bağlı olması ve bilinmeyen herhangi bir parametre içermemesidir. I. ifadede yer alan örneklem minimumu (W1W_1) ve III. ifadede yer alan uç değerlerin ortalaması (W3W_3) bilinmeyen θ\theta parametresini içermez, dolayısıyla örneklem verisi geldiğinde doğrudan hesaplanabilirler. II. ve IV. ifadeler ise θ\theta parametresini açıkça barındırdıkları için hesaplanamazlar ve istatistik tanımına uymazlar.

Adım Adım Çözüm

1
İstatistik ve nokta tahmin edici kavramlarının tanımını hatırlamak.
Bir T(X1,…,Xn)T(X_1, \dots, X_n) fonksiyonunun istatistik olabilmesi için yalnızca gözlemlenebilen örneklem değerlerine ve bilinen sabitlere bağlı olması, bilinmeyen herhangi bir parametre içermemesi gerektiği tespit edilir.
Tahmin edici, örneklem çekildikten sonra sayısal bir değere (tahmin) dönüşebilmelidir. İçinde bilinmeyen parametre olan bir formül hesaplanamaz.
2
I ve III numaralı fonksiyonları incelemek.
W1=min⁡(X1,…,Xn)W_1 = \min(X_1, \dots, X_n) ve W3=(X1+Xn)/2W_3 = (X_1 + X_n)/2 fonksiyonlarının sadece örneklemdeki değerlere bağlı olduğu görülür.
Her iki fonksiyon da bilinmeyen θ\theta parametresini içermediğinden tanım gereği birer istatistiktir.
3
II ve IV numaralı fonksiyonları incelemek.
W2W_2 fonksiyonunun paydasında, W4W_4 fonksiyonunun ise çıkarma işleminde bilinmeyen θ\theta parametresi bulunmaktadır.
Formüllerinde bilinmeyen parametre barındıran fonksiyonlar örneklem verisiyle sayısal olarak hesaplanamayacakları için istatistik veya tahmin edici olamazlar (bunlar pivot büyüklükler olabilir).

Anahtar Kavram

İstatistik ve Tahmin Edici Tanımı (Parametreden Bağımsızlık)
Bu soruyu puanla

Konular

Nokta Tahmin Edici Kavramı ve İstatistik

Bu konudan daha fazla soru