Examkin

Soru

Zorluk: ZorNokta Tahmin Edici Kavramı ve İstatistik

Bir araştırmacı, ortalaması μ\mu ve varyansı σ2\sigma^2 olan normal dağılıma sahip bir kitleden alınan nn çaplı (n>2n > 2) bir X1,X2,…,XnX_1, X_2, \dots, X_n rastgele örneklemini incelemektedir. Bu istatistiksel modelde μ\mu ve σ2\sigma^2 parametrelerinin her ikisi de bilinmemektedir.

Araştırmacı, kitle varyansı σ2\sigma^2'yi tahmin etmek amacıyla aşağıdaki dört farklı fonksiyonu önermiştir:

⋅T1=1n∑i=1n(Xi−Xˉ)2\cdot \quad T_1 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})^2
⋅T2=1n∑i=1n(Xi−μ)2\cdot \quad T_2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (X_i - \mu)^2
⋅T3=π\cdot \quad T_3 = \pi
⋅T4=X12+Xn2\cdot \quad T_4 = X_1^2 + X_n^2

İstatistiksel çıkarım sürecindeki "parametre", "istatistik" (statistic), "nokta tahmin edicisi" (estimator) ve "tahmin" (estimate) kavramlarının teorik tanımları dikkate alındığında, bu fonksiyonlar hakkında aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

  1. A
    T2T_2 fonksiyonu bilinmeyen μ\mu parametresini içerse de, en çok olabilirlik tahmin edicilerinin değişmezlik (invariance) özelliği gereği σ2\sigma^2'nin geçerli bir istatistiği olarak tanımlanır ve her örneklem için sayısal bir tahmin (estimate) üretir.
  2. B
    Bir fonksiyonun istatistik olabilmesi için ilgili parametreye yönelik tutarlı veya yansız bir nokta tahmin edicisi olması şarttır; bu nedenle sadece örneklem verisini kullanan tutarlı tahmin edici T1T_1 geçerli bir istatistiktir.
  3. C
    Dört fonksiyon da parametre tahmini için önerildiğinden istatistik tanımına uyar; ancak T1T_1 yanlı bir tahmin edici olduğu için hata kareler ortalaması (MSE) kavramı kullanılamaz, performansında sadece varyansına bakılır.
  4. T1T_1, T3T_3 ve T4T_4 gözlemlenebilir değişkenlerin veya sabitlerin bilinen fonksiyonları olduklarından birer istatistiktir ve teorik olarak birer tahmin edici olabilirler; ancak μ\mu bilinmediği için T2T_2 fonksiyonu bir istatistik değildir ve veriden hesaplanamaz.Cevap
  5. E
    T1T_1 fonksiyonu yeterli (sufficient) bir istatistik olan örneklem ortalamasına dayandığı için Lehmann-Scheffe teoremi uyarınca otomatik olarak tam (complete) kabul edilir ve varyansı tam olarak tahmin eden tek geçerli istatistiktir.

Cevap

İstatistik kavramının en temel şartı olan 'bilinmeyen parametre içermeme' kuralını sadece T1, T3 ve T4 fonksiyonları sağladığı, T2 ise bilinmeyen kitle ortalamasını barındırdığı için bir istatistik olmadığı yönündeki ifade doğrudur.
İstatistiksel çıkarımda bir tahmin edici (estimator), gözlemlenebilir rastgele değişkenlerin bir fonksiyonu olan 'istatistik' (statistic) olmak zorundadır. Bir fonksiyonun istatistik sayılabilmesi için formülünde hiçbir bilinmeyen kitle parametresinin bulunmaması gerekir. T2T_2 formülü, bilinmeyen μ\mu parametresini içerdiğinden spesifik bir örneklem üzerinden hesaplanarak sayısal bir 'tahmin' (estimate) değeri üretemez. Diğer tüm fonksiyonlar (T1T_1, T3T_3, T4T_4) bilinmeyen parametre içermediğinden matematiksel olarak istatistik tanımını sağlarlar.

Adım Adım Çözüm

1
Matematiksel istatistikte 'istatistik' (statistic) tanımını hatırla.
İstatistik, örneklem verisinin (ve sabitlerin) T(X1,…,Xn)T(X_1, \dots, X_n) şeklinde bir fonksiyonudur ve formülünde kitleye ait hiçbir bilinmeyen parametre bulunamaz.
Bir fonksiyonun nokta tahmin edicisi olabilmesi ve veriden sayısal bir 'tahmin' değeri üretebilmesi için hesaplanabilir olması zorunludur.
2
T1=1n∑(Xi−Xˉ)2T_1 = \frac{1}{n} \sum (X_i - \bar{X})^2 fonksiyonunu incele.
Sadece gözlemlenen XiX_i değerlerini ve onlardan hesaplanan Xˉ\bar{X}'i içerir. Bilinmeyen parametre yoktur. Geçerli bir istatistiktir.
Tanıma tamamen uyar.
3
T2=1n∑(Xi−μ)2T_2 = \frac{1}{n} \sum (X_i - \mu)^2 fonksiyonunu incele.
Soru metninde μ\mu'nün bilinmediği belirtilmiştir. Formül bilinmeyen μ\mu parametresini içerdiği için veriden sayısal olarak hesaplanamaz. İstatistik değildir.
Bilinmeyen kitle parametresini barındıran fonksiyonlar tahmin edici olamaz.
4
T3=πT_3 = \pi ve T4=X12+Xn2T_4 = X_1^2 + X_n^2 fonksiyonlarını incele.
T3T_3 sadece bir sabittir, T4T_4 ise verinin belirli parçalarını kullanır. Her ikisinde de bilinmeyen parametre yoktur. Geçerli istatistiklerdir.
Bir fonksiyonun istatistik olması için iyi/mantıklı bir tahmin edici olması gerekmez. Sadece hesaplanabilir olması yeterlidir.

Anahtar Kavram

İstatistik, Tahmin Edici ve Tahmin Arasındaki Teorik Farklar
Bu soruyu puanla

Konular

Nokta Tahmin Edici Kavramı ve İstatistik

Bu konudan daha fazla soru