Examkin

Soru

Zorluk: ZorNokta Tahmin Edici Kavramı ve İstatistik

İstatistiksel çıkarım sürecinde bilinmeyen bir θ\theta parametresini tahmin etmek amacıyla nn çaplı bir rastgele örneklem (X1,X2,…,XnX_1, X_2, \dots, X_n) alınmıştır. Bu süreçle ilgili olarak bir araştırmacı aşağıdaki tanımlamaları yapmıştır:

I. θ^=t(X1,X2,…,Xn)\hat{\theta} = t(X_1, X_2, \dots, X_n) fonksiyonu
II. Gözlemlenen özel bir örneklem veri seti kullanılarak hesaplanan θ^hesaplanan=2.71\hat{\theta}_{hesaplanan} = 2.71 değeri
III. E(θ^)=θE(\hat{\theta}) = \theta eşitliği
IV. n→∞n \to \infty iken her ϵ>0\epsilon > 0 için lim⁡n→∞P(∣θ^−θ∣>ϵ)=0\lim_{n \to \infty} P(|\hat{\theta} - \theta| > \epsilon) = 0 limiti

Nokta tahmin edici, tahmin ve parametre kavramları ile tahmin edicilerin asimptotik özellikleri dikkate alındığında, aşağıdaki yargılardan hangisi yanlıştır?

  1. A
    I numaralı ifade θ\theta parametresi için bir 'nokta tahmin edicisi'dir (estimator) ve kitleye ait bilinmeyen hiçbir parametreyi içermeyen bir istatistik olmak zorundadır.
  2. B
    II numaralı ifade bir 'tahmin' (estimate) değeridir; I numaralı ifadenin aksine rastgele bir değişken değil, belirli bir örneklem veri seti için hesaplanmış sabit bir sayıdır.
  3. III numaralı eşitlik tahmin edicinin 'yansız' (unbiased) olduğunu ifade eder ve yansız olan her tahmin edici, IV numaralı özellikle belirtilen 'tutarlılık' (consistency) şartını da kesinlikle sağlar.Cevap
  4. D
    III numaralı eşitliği sağlayan I numaralı ifade, aynı zamanda yeterli (sufficient) ve tam (complete) bir istatistiğin fonksiyonu ise Lehmann-Scheffe teoremine göre UMVUE (Düzgün En Küçük Varyanslı Yansız Tahmin Edici) olur.
  5. E
    I numaralı tahmin edicinin performansını değerlendirmede kullanılan Hata Kareler Ortalaması (MSE), tahmin edicinin varyansı ile yan miktarının (bias) karesinin toplamına eşittir.

Cevap

Yansız olan her tahmin edicinin kesinlikle tutarlı olacağını iddia eden yargı yanlıştır.
Doğru yanıt olan seçenekteki yargı bütünüyle yanlıştır çünkü bir tahmin edicinin yansız (unbiased) olması, onun tutarlı (consistent) olmasını garanti etmez. Örneğin, X1,X2,…,XnX_1, X_2, \dots, X_n örnekleminde μ\mu parametresi için sadece ilk gözlemi kullanan μ^=X1\hat{\mu} = X_1 tahmin edicisi yansızdır (E(X1)=μE(X_1) = \mu). Ancak örneklem çapı nn ne kadar büyürse büyüsün bu tahmin edicinin varyansı (Var(X1)=σ2Var(X_1) = \sigma^2) sıfıra yaklaşmaz, dolayısıyla parametreye olasılıkta yakınsamaz ve tutarlı değildir.

Adım Adım Çözüm

1
Öncüllerde verilen matematiksel sembollerin kavramsal karşılıklarını belirle.
I. ifade Tahmin Edici (Estimator), II. ifade Tahmin (Estimate), III. ifade Yansızlık (Unbiasedness), IV. ifade Tutarlılık (Consistency) özelliklerini tanımlamaktadır.
Seçeneklerdeki karmaşık yargıları değerlendirebilmek için temel kavramların ne anlama geldiğinin netleştirilmesi şarttır.
2
Tahmin edici ve tahmin kavramları arasındaki yapısal farkı değerlendir.
Tahmin edici örneklem değerlerine bağlı rastgele bir fonksiyondur (istatistiktir). Tahmin ise bu fonksiyona özel veri girildiğinde çıkan sabit sayıdır.
İlk iki seçeneğin doğruluğunu teyit etmek için bu ayrımın bilinmesi gerekir.
3
Yansızlık ve tutarlılık özellikleri arasındaki teorik ilişkiyi analiz et.
Yansızlık, sonlu bir örneklemde beklenen değerin parametreyi vermesidir. Tutarlılık ise örneklem çapı sonsuza giderken gerçekleşen asimptotik bir özelliktir. Yansız bir tahmin edicinin varyansı örneklem çapı arttıkça sıfıra yaklaşmıyorsa (örneğin sadece ilk gözlem değerini almak: T=X1T = X_1), bu tahmin edici tutarlı olmaz.
Yanlış olan yargıyı bulmak ve aralarındaki nedensellik bağını sınamak içindir.

Anahtar Kavram

Tahmin Teorisi Temel Kavramları ve Özellikleri
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Nokta Tahmin Edici Kavramı ve İstatistik

Bu konudan daha fazla soru