Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorYeterlilik (Sufficiency) ve Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi

X1,X2,…,XnX_1, X_2, \dots, X_n rastgele örneklemi, olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıda verilen dağılımdan çekilmiş bağımsız gözlemlerdir:

f(x;θ)={e−x1−e−θ,0<x<θ0,dig˘er durumlardaf(x; \theta) = \begin{cases} \frac{e^{-x}}{1 - e^{-\theta}}, & 0 < x < \theta \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}

Burada θ>0\theta > 0 bilinmeyen bir parametredir.

Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi (Neyman Factorization Theorem) dikkate alındığında, θ\theta parametresi için minimal yeterli istatistik (minimal sufficient statistic) aşağıdakilerden hangisidir?

  1. X(n)X_{(n)}Cevap
  2. B
    ∑i=1nXi\sum_{i=1}^{n} X_i
  3. C
    (X(n),∑i=1nXi)\left(X_{(n)}, \sum_{i=1}^{n} X_i\right)
  4. D
    X(1)X_{(1)}
  5. E
    X(n)−X(1)X_{(n)} - X_{(1)}

Cevap

Minimal yeterli istatistik en büyük sıra istatistiği olan X(n)X_{(n)}'dir.
Doğru yanıt, en büyük sıra istatistiği olan X(n)X_{(n)} ifadesidir. Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi uygulandığında, olabilirlik fonksiyonu g(T(x),θ)⋅h(x)g(T(x), \theta) \cdot h(x) olarak ayrıştırılır. Burada θ\theta'yı içeren çarpan 1(1−e−θ)nI(x(n)<θ)\frac{1}{(1 - e^{-\theta})^n} I(x_{(n)} < \theta) olup veriye sadece X(n)X_{(n)} üzerinden bağlıdır. Örneklem değerlerinin toplamı olan ∑Xi\sum X_i ise θ\theta parametresini içermeyen h(x)h(x) çarpanında kalarak sadeleşir. Bu sebeple veri indirgemesinde yalnızca X(n)X_{(n)} minimal yeterli istatistiktir.

Adım Adım Çözüm

1
Örneklemin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonunu (olabilirlik fonksiyonunu) yazmak.
L(θ;x)=∏i=1ne−xi1−e−θI(0<xi<θ)L(\theta; x) = \prod_{i=1}^{n} \frac{e^{-x_i}}{1 - e^{-\theta}} I(0 < x_i < \theta)
Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi'ni uygulayabilmek için öncelikle ortak dağılım fonksiyonunun tüm gözlemler üzerinden çarpım olarak ifade edilmesi gerekir.
2
Olabilirlik fonksiyonundaki çarpım işlemlerini düzenlemek ve gösterge (indicator) fonksiyonlarını sıra istatistikleri cinsinden ifade etmek.
L(θ;x)=e−∑i=1nxi(1−e−θ)nI(x(1)>0)I(x(n)<θ)L(\theta; x) = \frac{e^{-\sum_{i=1}^{n} x_i}}{(1 - e^{-\theta})^n} I(x_{(1)} > 0) I(x_{(n)} < \theta)
0<xi<θ0 < x_i < \theta koşulunun tüm örneklem için aynı anda sağlanması, ancak örneklemin minimumunun 0'dan büyük olması ve maksimumunun θ\theta'dan küçük olması ile mümkündür.
3
Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi'ne göre fonksiyonu g(T(x),θ)g(T(x), \theta) ve h(x)h(x) şeklinde iki parçaya ayırmak.
Fonksiyon g(T(x),θ)=1(1−e−θ)nI(x(n)<θ)g(T(x), \theta) = \frac{1}{(1 - e^{-\theta})^n} I(x_{(n)} < \theta) ve h(x)=e−∑i=1nxiI(x(1)>0)h(x) = e^{-\sum_{i=1}^{n} x_i} I(x_{(1)} > 0) şeklinde ayrıştırılır.
Teoreme göre, bilinmeyen θ\theta parametresini barındıran çarpan g()g() fonksiyonunu oluşturur ve bu fonksiyonun veriye bağımlı olduğu terimler yeterli istatistiği verir.
4
Minimal yeterli istatistiği tanımlamak.
g(T(x),θ)g(T(x), \theta) fonksiyonu veriye sadece X(n)X_{(n)} üzerinden bağlı olduğundan, minimal yeterli istatistik T(X)=X(n)T(X) = X_{(n)} olarak elde edilir.
Veri setindeki diğer tüm bilgiler (örneğin ∑Xi\sum X_i), θ\theta'dan bağımsız olan h(x)h(x) fonksiyonu içinde kalmış ve parametre tahmini için gereksiz hale gelmiştir.

Anahtar Kavram

Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi ve Kesilmiş (Truncated) Dağılımlarda Yeterlilik
Bu soruyu puanla

Konular

Yeterlilik (Sufficiency) ve Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi

Bu konudan daha fazla soru