Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorTek Kitle Varyansı İçin Güven Aralığı

Bir üretim hattında paketlenen ürünlerin ağırlıkları normal dağılıma uymaktadır. Makinenin kalibrasyonu gereği paket ağırlıklarının kitle ortalamasının tam olarak μ=20\mu = 20 gram olduğu bilinmektedir. Kitle varyansı (σ2\sigma^2) ise bilinmemektedir.

Bu hattan rastgele seçilen n=10n = 10 adet paketin ağırlıkları (XiX_i) ölçülmüş ve aşağıdaki istatistikler elde edilmiştir:

∑i=110Xi=196 \sum_{i=1}^{10} X_i = 196
∑i=110Xi2=3866 \sum_{i=1}^{10} X_i^2 = 3866

Buna göre, kitle varyansı (σ2\sigma^2) için %95\%95 güven düzeyindeki güven aralığı aşağıdakilerden hangisidir?

(Hesaplamalarda virgülden sonra iki basamak kullanınız. χα;ν2\chi^2_{\alpha; \nu} gösterimi, ν\nu serbestlik dereceli Ki-kare dağılımının sağ kuyruk kritik değerini ifade etmektedir: χ0.975;92=2.70\chi^2_{0.975; 9} = 2.70, χ0.025;92=19.02\chi^2_{0.025; 9} = 19.02, χ0.975;102=3.25\chi^2_{0.975; 10} = 3.25, χ0.025;102=20.48\chi^2_{0.025; 10} = 20.48)

  1. [1.27,8.00][1.27, 8.00]Cevap
  2. B
    [1.28,9.04][1.28, 9.04]
  3. C
    [1.37,9.63][1.37, 9.63]
  4. D
    [1.19,7.51][1.19, 7.51]
  5. E
    [1.32,8.34][1.32, 8.34]

Cevap

Doğru güven aralığı [1.27,8.00][1.27, 8.00] değerlerini içeren seçenektir.
Doğru aralık, kitle ortalamasının (μ=20\mu=20) bilindiği duruma ait pivot istatistiği (df=10df=10) kullanılarak hesaplanan [1.27,8.00][1.27, 8.00] aralığıdır. Toplam kare sapması ∑(Xi−20)2=26\sum (X_i - 20)^2 = 26 olarak bulunur. Bu değer sırasıyla χ0.025;102=20.48\chi^2_{0.025; 10}=20.48 ve χ0.975;102=3.25\chi^2_{0.975; 10}=3.25 değerlerine bölündüğünde doğru sınırlar elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Kitle ortalamasının (μ\mu) bilindiği durum için uygun pivot değişkenini belirleme.
Pivot değişken: Q=∑i=1n(Xi−μ)2σ2∼χ(n)2Q = \frac{\sum_{i=1}^n (X_i - \mu)^2}{\sigma^2} \sim \chi^2_{(n)}. Serbestlik derecesi n−1n-1 değil, n=10n=10'dur.
Kitle ortalaması bilindiğinde, örneklem ortalaması üzerinden tahmin yapmaya gerek kalmaz, bu nedenle serbestlik derecesi kaybı yaşanmaz.
2
Bilinen ortalamaya göre kareler toplamını (W=∑(Xi−μ)2W = \sum (X_i - \mu)^2) hesaplama.
W=∑Xi2−2μ∑Xi+nμ2=3866−2(20)(196)+10(202)=3866−7840+4000=26W = \sum X_i^2 - 2\mu\sum X_i + n\mu^2 = 3866 - 2(20)(196) + 10(20^2) = 3866 - 7840 + 4000 = 26.
Verilen istatistikler üzerinden varyans formülünün pay kısmını elde etmek için cebirsel açılım uygulanmalıdır.
3
%95 güven düzeyi ve n=10n=10 serbestlik derecesi için Ki-kare tablo değerlerini belirleme.
Alt kritik değer: χ0.975;102=3.25\chi^2_{0.975; 10} = 3.25. Üst kritik değer: χ0.025;102=20.48\chi^2_{0.025; 10} = 20.48.
Aralık sınırlarını bulmak için dağılımın sağ ve sol kuyruklarında %2.5\%2.5 olasılık bırakan noktalar kullanılır.
4
Güven aralığı alt ve üst sınırlarını formülde yerine koyarak hesaplama.
Alt Sınır = 2620.48≈1.27\frac{26}{20.48} \approx 1.27, Üst Sınır = 263.25=8.00\frac{26}{3.25} = 8.00.
σ2\sigma^2 için aralık P(Wχ0.0252≤σ2≤Wχ0.9752)=1−αP\left(\frac{W}{\chi^2_{0.025}} \leq \sigma^2 \leq \frac{W}{\chi^2_{0.975}}\right) = 1-\alpha eşitsizliğinden elde edilir.

Anahtar Kavram

Kitle Ortalaması Bilindiğinde Varyans İçin Güven Aralığı
Bu soruyu puanla

Konular

Tek Kitle Varyansı İçin Güven Aralığı

Bu konudan daha fazla soru