Orman Genel Müdürlüğü (OGM) araştırmacıları, endüstriyel plantasyon alanlarındaki belirli … — KPSS İstatistik

Orman Genel Müdürlüğü (OGM) araştırmacıları, endüstriyel plantasyon alanlarındaki belirli bir çam türü fidanlarının boy uzama miktarlarındaki değişkenliği incelemektedir. Normal dağılım gösterdiği bilinen bu kitleyi temsilen rastgele seçilen $25$ fidanın boy uzama miktarları ölçülmüş ve örneklem standart sapması $6\text{ cm}$ olarak hesaplanmıştır.

Buna göre, fidanların boy uzama miktarlarının kitle varyansı ( $\sigma^2$ ) için $\%90$ güven düzeyindeki aralık tahmini aşağıdakilerden hangisidir?

(Hesaplamalarınızda tablo değerlerini $\chi^2_{0,05; 24} = 36,4$ , $\chi^2_{0,95; 24} = 13,8$ ve $Z_{0,05} = 1,645$ olarak alınız. Sonuçları bir ondalık basamağa yuvarlayınız.)

$[23,7 \, ; \, 62,6]$ Cevap
B
$[62,6 \, ; \, 23,7]$
C
$[24,7 \, ; \, 65,2]$
D
$[4,0 \, ; \, 10,4]$
E
$[34,0 \, ; \, 38,0]$

Cevap

Doğru aralık

[23,7 \, ; \, 62,6]

olarak hesaplanmıştır.

Kitle varyansı için güven aralığı oluştururken

\frac{(n-1)S^2}{\chi^2}

formülü kullanılır. Sınırlar hesaplanırken; alt sınır için payda kısmına

\chi^2_{\alpha/2}

(

36,4

), üst sınır için payda kısmına

\chi^2_{1-\alpha/2}

(

13,8

) yazılır. Pay kısmı

(25-1) \times 6^2 = 864

bulunur. Buradan sınırlar

864 / 36,4 \approx 23,7

864 / 13,8 \approx 62,6

olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

Verilen parametrelerin tanımlanması ve karesinin alınması.

Örneklem hacmi

n = 25

, standart sapma

S = 6 \implies S^2 = 36

, güven düzeyi

1 - \alpha = 0,90 \implies \alpha = 0,10

Varyans güven aralığı formülü standart sapmayı değil varyansı (

S^2

) gerektirir.

Serbestlik derecesinin ve ilgili Ki-kare tablo değerlerinin belirlenmesi.

Serbestlik derecesi

sd = n - 1 = 24

. Alt ve üst kuyruk için

\chi^2_{0,05; 24} = 36,4

\chi^2_{0,95; 24} = 13,8

kullanılır.

Varyans tahmini asimetrik olan Ki-kare dağılımını temel alan bir pivot fonksiyonuna dayanır.

Güven aralığı formülünün pay kısmının hesaplanması.

Pay:

(n - 1)S^2 = 24 \times 36 = 864

Bu değer, güven aralığının alt ve üst sınırlarını bulmak için her iki tablo değerine bölünecek olan ortak paydır.

Alt ve üst sınırların formülde yerine konularak hesaplanması.

Alt Sınır:

864 / 36,4 \approx 23,7

. Üst Sınır:

864 / 13,8 \approx 62,6

. Güven aralığı:

[23,7 \, ; \, 62,6]

Büyük tablo değeri aralığın alt sınırını, küçük tablo değeri ise üst sınırını oluşturur.

Anahtar Kavram

Tek kitle varyansı için

(n-1)S^2/\chi^2

pivotunu kullanarak asimetrik güven aralığı oluşturma

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru