Examkin

Soru

Zorluk: ZorTek Kitle Varyansı İçin Güven Aralığı

Enerji Piyasası Düzenleme Kurumu (EPDK) uzmanları, yeni kurulan bir rüzgâr enerjisi santralinin günlük elektrik üretimindeki değişkenliği incelemektedir. Bu amaçla santralin rastgele seçilen 1616 günlük elektrik üretim miktarları (MWh cinsinden) kaydedilmiş ve aşağıdaki istatistikler hesaplanmıştır:

∑i=116xi=480\sum_{i=1}^{16} x_i = 480

∑i=116xi2=14.850\sum_{i=1}^{16} x_i^2 = 14.850

Günlük üretim miktarlarının normal dağıldığı varsayımı altında, santralin günlük elektrik üretim varyansı (σ2\sigma^2) için %90\%90 güven düzeyindeki aralık tahmini aşağıdakilerden hangisidir?

(χ2\chi^2 tablo değerleri: χ0,05;152=25\chi^2_{0,05; 15} = 25; χ0,95;152=7,5\chi^2_{0,95; 15} = 7,5; χ0,05;162=26,3\chi^2_{0,05; 16} = 26,3; χ0,95;162=7,9\chi^2_{0,95; 16} = 7,9)

  1. A
    [1,2 ; 4,0][1,2 \, ; \, 4,0]
  2. B
    [17,11 ; 56,96][17,11 \, ; \, 56,96]
  3. [18 ; 60][18 \, ; \, 60]Cevap
  4. D
    [594 ; 1.980][594 \, ; \, 1.980]
  5. E
    [3.375 ; 11.250][3.375 \, ; \, 11.250]

Cevap

Doğru güven aralığı [18 ; 60][18 \, ; \, 60] olarak hesaplanmaktadır.
Kitle ortalaması bilinmediğinde, tek kitle varyansı için %100(1−α)\%100(1-\alpha) güven aralığı [(n−1)S2χα/2,n−12,(n−1)S2χ1−α/2,n−12]\left[ \frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{\alpha/2, n-1}} , \frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{1-\alpha/2, n-1}} \right] formülüyle hesaplanır. Soruda verilen ham momentler üzerinden (n−1)S2=∑xi2−nxˉ2=450(n-1)S^2 = \sum x_i^2 - n\bar{x}^2 = 450 bulunur. Alt sınır için 450/25=18450/25 = 18, üst sınır için 450/7,5=60450/7,5 = 60 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Örneklem ortalamasını (xˉ\bar{x}) hesaplayın.
xˉ=48016=30\bar{x} = \frac{480}{16} = 30
Hata kareler toplamını (sapmaların kareleri toplamını) bulabilmek için örneklem ortalamasına ihtiyaç vardır.
2
Hata kareler toplamını (∑(xi−xˉ)2\sum (x_i - \bar{x})^2) hesaplayın. Bu değer aynı zamanda (n−1)S2(n-1)S^2 ifadesine eşittir.
(n−1)S2=∑xi2−nxˉ2=14.850−16(30)2=14.850−16(900)=14.850−14.400=450(n-1)S^2 = \sum x_i^2 - n\bar{x}^2 = 14.850 - 16(30)^2 = 14.850 - 16(900) = 14.850 - 14.400 = 450
Tek kitle varyansı güven aralığı formülünün pay kısmı (n−1)S2(n-1)S^2 değeridir.
3
Serbestlik derecesini belirleyin ve ilgili Ki-kare tablo değerlerini seçin.
Serbestlik derecesi ν=n−1=16−1=15\nu = n - 1 = 16 - 1 = 15. Tablo değerleri: χ0,05;152=25\chi^2_{0,05; 15} = 25 ve χ0,95;152=7,5\chi^2_{0,95; 15} = 7,5.
Kitle ortalaması bilinmediği için serbestlik derecesi (n−1)(n-1) olmalıdır.
4
Güven aralığı formülünü uygulayın: [(n−1)S2χ0,05;152,(n−1)S2χ0,95;152]\left[ \frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{0,05; 15}} , \frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{0,95; 15}} \right]
Alt sınır: 45025=18\frac{450}{25} = 18
Üst sınır: 4507,5=60\frac{450}{7,5} = 60
Aralık: [18 ; 60][18 \, ; \, 60]
Varyansın alt sınırını bulmak için büyük Ki-kare değerine, üst sınırını bulmak için küçük Ki-kare değerine bölünmesi gerekir.

Anahtar Kavram

Tek kitle varyansı için güven aralığı oluşturulurken hata kareler toplamının (n−1)S2(n-1)S^2 bulunması ve (n−1)(n-1) serbestlik dereceli Ki-kare dağılımının kullanılması.
Bu soruyu puanla

Konular

Tek Kitle Varyansı İçin Güven Aralığı

Bu konudan daha fazla soru