Examkin

Soru

Zorluk: OrtaTek Kitle Varyansı İçin Güven Aralığı

Normal dağılış gösteren bir kitleden alınan nn birimlik rastgele bir örneklemin varyansı S2S^2 olarak hesaplanmıştır.

Buna göre, kitle varyansı (σ2\sigma^2) için (1−α)(1-\alpha) güven düzeyindeki iki yönlü güven aralığı aşağıdakilerden hangisinde doğru olarak verilmiştir?
(Not: χp;v2\chi^2_{p; v}, vv serbestlik dereceli Ki-kare dağılımında sağ kuyruk olasılığı pp olan kritik değeri göstermektedir.)

  1. [(n−1)S2χα/2;n−12,(n−1)S2χ1−α/2;n−12]\left[ \frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{\alpha/2; n-1}}, \frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{1-\alpha/2; n-1}} \right]Cevap
  2. B
    [(n−1)S2χ1−α/2;n−12,(n−1)S2χα/2;n−12]\left[ \frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{1-\alpha/2; n-1}}, \frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{\alpha/2; n-1}} \right]
  3. C
    [nS2χα/2;n2,nS2χ1−α/2;n2]\left[ \frac{nS^2}{\chi^2_{\alpha/2; n}}, \frac{nS^2}{\chi^2_{1-\alpha/2; n}} \right]
  4. D
    [S2χα/2;n−12,S2χ1−α/2;n−12]\left[ \frac{S^2}{\chi^2_{\alpha/2; n-1}}, \frac{S^2}{\chi^2_{1-\alpha/2; n-1}} \right]
  5. E
    [S2−tα/2;n−1Sn,S2+tα/2;n−1Sn]\left[ S^2 - t_{\alpha/2; n-1}\frac{S}{\sqrt{n}}, S^2 + t_{\alpha/2; n-1}\frac{S}{\sqrt{n}} \right]

Cevap

Kitle varyansı için güven aralığı, örneklem varyansının (n−1)(n-1) ile çarpımının sırasıyla Ki-kare dağılımının üst ve alt kritik değerlerine bölünmesiyle elde edilen [(n−1)S2χα/2;n−12,(n−1)S2χ1−α/2;n−12]\left[ \frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{\alpha/2; n-1}}, \frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{1-\alpha/2; n-1}} \right] aralığıdır.
Kitle varyansı (σ2\sigma^2) için (1−α)(1-\alpha) düzeyinde güven aralığı elde edilirken temel alınan pivot fonksiyon (n−1)S2σ2\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}'dir. Bu fonksiyon (n−1)(n-1) serbestlik dereceli Ki-kare dağılımına uyar. σ2\sigma^2'yi yalnız bırakmak için eşitsizlik ters çevrildiğinde asimetrik olan Ki-kare dağılımında büyük kritik değer (χα/22\chi^2_{\alpha/2}) sol taraftaki alt sınırın paydasına, küçük kritik değer (χ1−α/22\chi^2_{1-\alpha/2}) sağ taraftaki üst sınırın paydasına geçer.

Adım Adım Çözüm

1
Pivot fonksiyonunu belirleme
Q=(n−1)S2σ2∼χn−12Q = \frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2_{n-1} istatistiği yazılır.
Normal dağılıma sahip bir kitlede varyans tahmini yaparken, dağılımı bilinmeyen parametreye (σ2\sigma^2) bağlı olmayan standart pivot fonksiyonu budur.
2
Olasılık eşitsizliğini kurma
P(χ1−α/2;n−12<(n−1)S2σ2<χα/2;n−12)=1−αP\left(\chi^2_{1-\alpha/2; n-1} < \frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} < \chi^2_{\alpha/2; n-1}\right) = 1-\alpha eşitsizliği oluşturulur.
İki yönlü (1−α)(1-\alpha) güven aralığı için eğrinin alt ve üst kuyruklarında α/2\alpha/2 oranında olasılık bırakacak kritik değerler seçilir.
3
Eşitsizliği σ2\sigma^2 için çözme
Eşitsizlikte terimlerin çarpmaya göre tersi alındığında eşitsizlik yön değiştirir: 1χα/2;n−12<σ2(n−1)S2<1χ1−α/2;n−12\frac{1}{\chi^2_{\alpha/2; n-1}} < \frac{\sigma^2}{(n-1)S^2} < \frac{1}{\chi^2_{1-\alpha/2; n-1}}. Tüm terimler (n−1)S2(n-1)S^2 ile çarpıldığında nihai güven aralığı [(n−1)S2χα/2;n−12,(n−1)S2χ1−α/2;n−12]\left[ \frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{\alpha/2; n-1}}, \frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{1-\alpha/2; n-1}} \right] olarak elde edilir.
Eşitsizlik yön değiştirdiği için, sayısal olarak daha büyük olan χα/22\chi^2_{\alpha/2} değeri alt sınırın paydasına, daha küçük olan χ1−α/22\chi^2_{1-\alpha/2} değeri ise üst sınırın paydasına geçer.

Anahtar Kavram

Tek Kitle Varyansı İçin Güven Aralığı Çıkarımı
Bu soruyu puanla

Konular

Tek Kitle Varyansı İçin Güven Aralığı

Bu konudan daha fazla soru