Examkin

Soru

Zorluk: OrtaARMA Modelleri

Bir zaman serisi uzmanı, bir ekonomik göstergenin zaman içindeki değişimini modellemek amacıyla aşağıdaki ARMA(1,2) sürecini kurgulamıştır:

Yt=0,6Yt−1+εt−0,9εt−1+0,2εt−2Y_t = 0,6 Y_{t-1} + \varepsilon_t - 0,9 \varepsilon_{t-1} + 0,2 \varepsilon_{t-2}

Burada εt\varepsilon_t, sıfır ortalamalı ve sabit varyanslı beyaz gürültü (white noise) terimini temsil etmektedir. Buna göre, bu modelin durağanlık ve tersine çevrilebilirlik (invertibility) özellikleri hakkında aşağıdakilerden hangisi söylenebilir?

  1. Süreç hem durağanlık hem de tersine çevrilebilirlik koşullarına uygundur.Cevap
  2. B
    Süreç durağandır ancak tersine çevrilebilirlik koşulunu sağlamamaktadır.
  3. C
    Süreç tersine çevrilebilirdir ancak durağanlık koşulunu sağlamamaktadır.
  4. D
    Süreç ne durağandır ne de tersine çevrilebilirlik koşuluna uygundur.
  5. E
    Modelin hareketli ortalama kısmındaki karakteristik denklemin bir kökü birim çember üzerindedir.

Cevap

Süreç hem durağanlık hem de tersine çevrilebilirlik koşullarına uygundur.
Verilen modelde AR katsayısı ϕ1=0,6\phi_1 = 0,6 olup ∣0,6∣<1|0,6| < 1 şartını sağladığı için süreç durağandır. MA kısmı için oluşturulan 1−0,9L+0,2L2=01 - 0,9L + 0,2L^2 = 0 denkleminin kökleri 22 ve 2,52,5 olarak bulunur. Her iki kök de birim çemberin dışında (∣L∣>1|L| > 1) yer aldığı için süreç tersine çevrilebilirdir. Dolayısıyla model her iki temel şartı da sağlamaktadır.

Adım Adım Çözüm

1
Otoregresif (AR) kısmının durağanlık kontrolünü yapın.
∣ϕ1∣=∣0,6∣<1|\phi_1| = |0,6| < 1
Birinci dereceden otoregresif bir sürecin durağan olması için katsayının mutlak değerinin 1'den küçük olması gerekir.
2
Hareketli ortalama (MA) kısmının karakteristik denklemini oluşturun.
1−0,9L+0,2L2=01 - 0,9L + 0,2L^2 = 0
Tersine çevrilebilirlik analizi için gecikme operatörü (LL) kullanılarak MA kısmının polinomu sıfıra eşitlenir.
3
Karakteristik denklemin köklerini (LL) hesaplayın.
L1=2L_1 = 2 ve L2=2,5L_2 = 2,5
Δ=(−0,9)2−4(0,2)(1)=0,81−0,8=0,01\Delta = (-0,9)^2 - 4(0,2)(1) = 0,81 - 0,8 = 0,01. Kökler: L=0,9±0,012(0,2)=0,9±0,10,4L = \frac{0,9 \pm \sqrt{0,01}}{2(0,2)} = \frac{0,9 \pm 0,1}{0,4}.
4
Köklerin birim çember ile ilişkisini analiz edin.
∣2∣>1|2| > 1 ve ∣2,5∣>1|2,5| > 1
Tersine çevrilebilirlik için karakteristik denklemin tüm köklerinin mutlak değerce 1'den büyük (birim çemberin dışında) olması şarttır.

Anahtar Kavram

ARMA süreçlerinde durağanlık AR katsayılarına, tersine çevrilebilirlik ise MA katsayılarına (veya köklerine) bağlıdır.

Alternatif Yöntem

MA(2) süreci için tersine çevrilebilirlik şartları katsayılar cinsinden de kontrol edilebilir: ∣θ2∣<1|\theta_2| < 1, θ2+θ1<1\theta_2 + \theta_1 < 1 ve θ2−θ1<1\theta_2 - \theta_1 < 1. Modelde θ1=0,9\theta_1 = 0,9 ve θ2=−0,2\theta_2 = -0,2 alınırsa: ∣−0,2∣<1|-0,2| < 1 (Doğru), −0,2+0,9=0,7<1-0,2 + 0,9 = 0,7 < 1 (Doğru), −0,2−0,9=−1,1<1-0,2 - 0,9 = -1,1 < 1 (Doğru).
Tahmini Süre:1m 40s
Bu soruyu puanla

Konular

ARMA Modelleri

Bu konudan daha fazla soru