Examkin

Soru

Zorluk: OrtaARMA Modelleri

Bir meteoroloji uzmanı, bir bölgedeki aylık sıcaklık anomalilerini (YtY_t) zaman serisi olarak analiz etmektedir. Yapılan analizde, serinin Otokorelasyon Fonksiyonu (ACF) grafiğindeki değerlerin üstel olarak sönümlenerek azaldığı, Kısmi Otokorelasyon Fonksiyonu (PACF) grafiğindeki değerlerin ise 2. gecikmeden (lag) sonra istatistiksel olarak anlamlılık sınırlarının içine girerek aniden kesildiği tespit edilmiştir.

Uzman, bu davranışa dayanarak seriyi BB gecikme (backshift) operatörü ve εt\varepsilon_t beyaz gürültü süreci kullanılarak (1−ϕ1B−ϕ2B2)Yt=εt(1 - \phi_1 B - \phi_2 B^2)Y_t = \varepsilon_t biçiminde modellemiştir.

Buna göre, modellenen sürecin türü ve bu sürecin durağan (stationary) olabilmesi için parametrelerin sağlaması gereken koşullar aşağıdakilerin hangisinde birlikte ve doğru olarak verilmiştir?

  1. AR(2) süreci; ϕ1+ϕ2<1\phi_1 + \phi_2 < 1, ϕ2−ϕ1<1\phi_2 - \phi_1 < 1 ve ∣ϕ2∣<1|\phi_2| < 1Cevap
  2. B
    AR(2) süreci; ∣ϕ1∣<1|\phi_1| < 1 ve ∣ϕ2∣<1|\phi_2| < 1
  3. C
    MA(2) süreci; ∣ϕ1∣<1|\phi_1| < 1 ve ∣ϕ2∣<1|\phi_2| < 1
  4. D
    MA(2) süreci; ϕ1+ϕ2<1\phi_1 + \phi_2 < 1, ϕ2−ϕ1<1\phi_2 - \phi_1 < 1 ve ∣ϕ2∣<1|\phi_2| < 1
  5. E
    ARMA(1,1) süreci; ∣ϕ1∣<1|\phi_1| < 1 ve ∣ϕ2∣<1|\phi_2| < 1

Cevap

Süreç AR(2)'dir ve durağanlık için ϕ1+ϕ2<1\phi_1 + \phi_2 < 1, ϕ2−ϕ1<1\phi_2 - \phi_1 < 1 ve ∣ϕ2∣<1|\phi_2| < 1 koşulları sağlanmalıdır.
Zaman serilerinde Otokorelasyon Fonksiyonunun (ACF) sönümlenmesi ve Kısmi Otokorelasyon Fonksiyonunun (PACF) 2. gecikmeden sonra istatistiksel olarak sıfır olması, sürecin 2. dereceden Otoregresif, yani AR(2) modeli olduğunu net bir şekilde gösterir. AR(2) sürecinin durağan olabilmesi için (1−ϕ1B−ϕ2B2)=0(1 - \phi_1 B - \phi_2 B^2) = 0 karakteristik denkleminin köklerinin birim çemberin dışında yer alması gerekir. Bu kısıt çözüldüğünde parametre uzayında üçgen şeklinde bir durağanlık bölgesi oluşur ve eşitsizlikler şu şekildedir: ϕ1+ϕ2<1\phi_1 + \phi_2 < 1, ϕ2−ϕ1<1\phi_2 - \phi_1 < 1 ve ∣ϕ2∣<1|\phi_2| < 1. Doğru eşleşme bu modeli ve bu üç eşitsizliği içeren seçenektir.

Adım Adım Çözüm

1
Serinin davranışından model türünü belirlemek.
ACF üstel sönümleniyor, PACF ise 2. gecikmede kesiliyor. Bu davranış spesifik olarak 2. dereceden Otoregresif, AR(2), sürecinin imzasındır.
Zaman serilerinde model tanımlama (Box-Jenkins) adımında ACF ve PACF'nin kesilme/sönümlenme özellikleri kullanılır.
2
Verilen denklemde AR(2) gösterimini doğrulamak.
(1−ϕ1B−ϕ2B2)Yt=εt(1 - \phi_1 B - \phi_2 B^2)Y_t = \varepsilon_t denklemi, Yt=ϕ1Yt−1+ϕ2Yt−2+εtY_t = \phi_1 Y_{t-1} + \phi_2 Y_{t-2} + \varepsilon_t şeklindeki standart AR(2) sürecinin gecikme operatörü (BB) ile yazılmış halidir.
Model parametrelerinin işaretlerini ve yapısını matematiksel olarak teyit etmek.
3
AR(2) süreci için durağanlık koşullarını formüle etmek.
Karakteristik denklem olan Φ(B)=1−ϕ1B−ϕ2B2=0\Phi(B) = 1 - \phi_1 B - \phi_2 B^2 = 0'ın köklerinin mutlak değerce 1'den büyük (birim çemberin dışında) olması gerekir. Bu şart, şu üç eşitsizliğin eş zamanlı sağlanmasıyla elde edilir: ϕ1+ϕ2<1\phi_1 + \phi_2 < 1, ϕ2−ϕ1<1\phi_2 - \phi_1 < 1, ∣ϕ2∣<1|\phi_2| < 1.
Serinin zaman içinde varyansının patlamaması (sabit kalması) için köklerin durağanlık sınırları içinde olması matematiksel bir zorunluluktur.

Anahtar Kavram

AR(p) ve MA(q) Modellerinin ACF/PACF Davranışları ve Durağanlık Koşulları
Bu soruyu puanla

Konular

ARMA Modelleri

Bu konudan daha fazla soru