Zaman Serileri Analizi Alıştırma Soruları — KPSS İstatistik

Soru 1Soru →

Bir veri bilimcisi, makroekonomik bir değişkenin tahmin edilmesi amacıyla $\varepsilon_t \sim WN(0, \sigma^2)$ olmak üzere aşağıdaki ikinci dereceden Hareketli Ortalama (MA(2)) modelini kurmuştur:

Y_t = 10 + \varepsilon_t - 2.5 \varepsilon_{t-1} + \varepsilon_{t-2}

Hareketli ortalama süreçlerinin kuramsal özellikleri dikkate alındığında, bu modelin durağanlık durumu, tersinirlik (çevrilebilirlik) şartı ve teorik korelasyon yapısı ile ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi kesinlikle doğrudur?

Modelin karakteristik denkleminin kökleri birim çemberin dışında kaldığından model hem durağan hem de tersinirdir; ACF grafiği 2. gecikmeden sonra aniden kesilirken, PACF grafiği gecikmeler arttıkça kademeli olarak sıfıra yaklaşır.

Model durağandır ancak karakteristik denkleminin köklerinden biri birim çemberin içinde olduğu için tersinir değildir; PACF grafiği 2. gecikmeden sonra aniden kesilirken, ACF grafiği gecikmeler arttıkça kademeli olarak sıfıra yaklaşır.

Model durağandır ancak karakteristik denkleminin köklerinden biri birim çemberin içinde olduğu için tersinir değildir; ACF grafiği 2. gecikmeden sonra aniden kesilirken, PACF grafiği gecikmeler arttıkça kademeli olarak sıfıra yaklaşır.

Karakteristik denklemin köklerinden biri birim çemberin içinde kaldığından model durağan değildir ve tersinirlik koşulunu sağlamaz; ACF grafiği 2. gecikmeden sonra aniden kesilir.

Model tersinirdir ancak durağanlık koşulunu sağlamamaktadır; zaman serisinin hem ACF hem de PACF değerleri üstel olarak sıfıra yaklaşma eğilimi gösterir.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Model durağandır ancak karakteristik denkleminin köklerinden biri birim çemberin içinde olduğu için tersinir değildir; ACF grafiği 2. gecikmeden sonra aniden kesilirken, PACF grafiği gecikmeler arttıkça kademeli olarak sıfıra yaklaşır.

Cevap

Model durağandır ancak karakteristik denkleminin köklerinden biri birim çemberin içinde olduğu için tersinir değildir; ACF grafiği 2. gecikmeden sonra aniden kesilirken, PACF grafiği gecikmeler arttıkça kademeli olarak sıfıra yaklaşır.

Hareketli Ortalama (MA) modelleri, sonlu sayıda beyaz gürültü teriminin doğrusal kombinasyonundan oluştuğu için daima durağandır. Tersinirlik şartının sağlanması için

\theta(B) = 1 - 2.5B + B^2 = 0

karakteristik denkleminin tüm köklerinin mutlak değerce 1'den büyük olması (birim çemberin dışında olması) gerekir. Denklem çözüldüğünde kökler

B_1 = 2

ve

B_2 = 0.5

bulunur.

0.5

değeri birim çemberin içinde yer aldığından süreç tersinir değildir. Otokorelasyon yapısı incelendiğinde ise, teorik olarak tüm MA(q) süreçlerinde ACF

q

. gecikmeden sonra aniden kesilirken, PACF kademeli olarak sıfıra yaklaşır. İkinci dereceden bir model olduğundan ACF grafiği 2. gecikmeden sonra kesilmektedir.

Adım Adım Çözüm

1

Modelin durağanlık durumunu değerlendirme

Model bir MA(2) sürecidir ve tüm sonlu MA süreçleri parametre değerlerinden bağımsız olarak durağandır.

MA modelleri beyaz gürültü terimlerinin sonlu ağırlıklı toplamı olduğu için teorik olarak her zaman durağanlık koşulunu sağlar.

2

Tersinirlik (invertibility) şartını kontrol etmek için karakteristik denklemi oluşturma ve kökleri bulma

Karakteristik denklem

\theta(B) = 1 - 2.5B + B^2 = 0

şeklindedir.

B^2 - 2.5B + 1 = 0

denkleminin kökleri hesaplandığında

B_1 = 2

ve

B_2 = 0.5

olarak bulunur.

Tersinirlik için MA karakteristik denkleminin tüm köklerinin mutlak değerce 1'den büyük olması (birim çemberin dışında olması) gerekir.

3

Köklerin konumuna göre tersinirlik sonucuna varma

B_2 = 0.5

kökünün mutlak değeri 1'den küçük olduğundan birim çemberin içindedir, bu nedenle model tersinir değildir.

Köklerden en az biri birim çemberin içindeyse tersinirlik şartı ihlal edilmiş olur.

4

Teorik otokorelasyon yapısını (ACF ve PACF) belirleme

MA(2) modeli olduğu için ACF grafiği 2. gecikmeden sonra aniden kesilir, PACF grafiği ise gecikmeler arttıkça sıfıra doğru sönümlenir.

MA(q) süreçlerinin kuramsal özelliği olarak otokorelasyon fonksiyonu q. gecikmede kesilirken, kısmi otokorelasyon fonksiyonu kademeli sönümlenme gösterir.

Anahtar Kavram

Hareketli Ortalama (MA) Modellerinde Durağanlık, Tersinirlik ve Otokorelasyon Yapısı

Soru 2Soru →

Bir araştırmacı, zaman serisi analizi kapsamında incelediği $Y_t$ değişkeninin durağanlık özelliklerini belirlemeye çalışmaktadır. Gerçekte $Y_t$ serisi, $Y_t = \alpha + \beta t + u_t$ deterministik veri oluşturma sürecine sahip trend-durağan (trend-stationary) bir seridir ve buradaki $u_t$ terimi beklenen değeri sıfır, varyansı sabit olan bir beyaz gürültü (white noise) sürecini ifade etmektedir. Ancak araştırmacı, serinin zaman yolu grafiğine aldanarak serinin fark-durağan (difference-stationary) olduğuna karar vermiş ve seriyi durağanlaştırmak amacıyla birinci dereceden fark alma ( $\Delta Y_t$ ) işlemini uygulamıştır.

Bu aşırı fark alma (over-differencing) işleminin sonucunda elde edilen $\Delta Y_t$ serisinin teorik özellikleri ile ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?

Farkı alınmış serinin hata terimi sürecinde tersinir olmayan (non-invertible) bir hareketli ortalama (MA) bileşeni ortaya çıkar.

Farkı alınmış serinin varyansı zaman içinde sonsuza doğru artarak rastgele yürüyüş (random walk) özelliği gösterir.

Durağanlaştırma işlemi sonucunda serinin beklenen değeri (ortalaması), orijinal modeldeki deterministik trend parametresinden bağımsız olarak sıfıra eşitlenir.

Oluşan yeni serinin birinci gecikmeli otokorelasyon katsayısı

\rho_1

, teorik olarak

+1

değerini alarak mükemmel pozitif otokorelasyon sergiler.

Gereksiz fark alma işlemi, serideki otokorelasyonu tamamen ortadan kaldırarak seriyi bağımsız dağılımlı bir beyaz gürültü sürecine dönüştürür.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Farkı alınmış serinin hata terimi sürecinde tersinir olmayan (non-invertible) bir hareketli ortalama (MA) bileşeni ortaya çıkar.

Cevap

Farkı alınmış serinin hata terimi sürecinde tersinir olmayan (non-invertible) bir hareketli ortalama (MA) bileşeninin ortaya çıkmasıdır.

Trend-durağan bir serinin (örneğin

Y_t = \alpha + \beta t + u_t

) birinci farkı alındığında denklem

\Delta Y_t = \beta + u_t - u_{t-1}

hâline gelir. Buradaki

u_t - u_{t-1}

terimi, hareketli ortalama parametresi

\theta=1

olan bir MA(1) sürecidir. Bu MA sürecinin karakteristik denkleminin kökü (

1 - L = 0 \Rightarrow L=1

) birim çemberin üzerinde yer aldığı için, oluşan yeni süreç tersinir (non-invertible) değildir. Bu durum, serinin bir sonsuz AR süreci olarak ifade edilememesi anlamına gelir ve aşırı fark almanın en bilinen teorik sonucudur.

Adım Adım Çözüm

1

Y_t = \alpha + \beta t + u_t

deterministik trend modelinin birinci dereceden farkı (

\Delta Y_t = Y_t - Y_{t-1}

) matematiksel olarak hesaplanır.

\Delta Y_t = (\alpha + \beta t + u_t) - (\alpha + \beta(t-1) + u_{t-1}) = \beta + u_t - u_{t-1}

denklemi elde edilir.

Aşırı fark alma işleminin serinin yapısını nasıl değiştirdiğini analitik olarak görebilmek için.

2

Elde edilen fark denkleminin beklenen değer ve varyans gibi istatistiksel özellikleri incelenir.

Serinin yeni ortalaması

E(\Delta Y_t) = \beta

ve yeni varyansı

Var(\Delta Y_t) = 2\sigma^2

olarak bulunur. Beklenen değer sıfır olmamış ve varyans sonsuza gitmemiştir.

Yanlış seçeneklerdeki ortalama ve varyans iddialarının geçersizliğini kanıtlamak için.

3

Hata terimi kısmı olan

u_t - u_{t-1}

sürecinin hareketli ortalama özellikleri ve tersinirlik (invertibility) durumu analiz edilir.

Bu hata süreci

\theta = 1

parametresine sahip bir MA(1) sürecidir. Karakteristik denklemin kökü (

1 - 1 \cdot L = 0 \Rightarrow L = 1

) birim çemberin tam üzerinde yer aldığı için süreç tersinir değildir.

Doğru yanıtın dayandığı temel istatistiksel prensibi kanıtlamak için.

Anahtar Kavram

Trend-durağan Serilerde Aşırı Fark Alma (Over-differencing) ve Tersinirlik

Soru 3Soru →

Bir zaman serisi araştırmacısı, ortalamadan arındırılmış $Y_t$ serisi için gecikme (backshift) operatörü ( $B$ ) kullanarak aşağıdaki ARMA(1,1) modelini tahmin etmiştir:

(1 - 0,6B)Y_t = (1 + 1,2B)\varepsilon_t

(Burada $\varepsilon_t$ , sıfır ortalamalı ve sabit varyanslı beyaz gürültü sürecidir.)

Bu modelin yapısı ve teorik özellikleri dikkate alındığında, aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?

Modelin otoregresif (AR) kısmı durağanlık koşulunu sağlarken, hareketli ortalama (MA) kısmı tersinirlik (invertibility) koşulunu sağlamamaktadır.

Modelin teorik otokorelasyon fonksiyonu (ACF) ve kısmi otokorelasyon fonksiyonu (PACF) grafikleri belirli bir gecikmeden sonra aniden kesilerek sıfır değerini alır.

Model durağanlık koşulunu sağlamadığı için, zaman serisinin durağanlaştırılması amacıyla birinci dereceden farkı alınmalıdır.

Eşitlikteki gecikmeli hata terimleri, zaman serisindeki döngüsel ve mevsimsel dalgalanmaları ayrıştırmak amacıyla modele eklenmiştir.

Hareketli ortalama (MA) denkleminin kökü mutlak değerce 1'den küçük olduğu için model tersinirlik (invertibility) koşulunu sağlamaktadır.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Modelin otoregresif (AR) kısmı durağanlık koşulunu sağlarken, hareketli ortalama (MA) kısmı tersinirlik (invertibility) koşulunu sağlamamaktadır.

Cevap

Modelin otoregresif (AR) kısmı durağanlık koşulunu sağlarken, hareketli ortalama (MA) kısmı tersinirlik (invertibility) koşulunu sağlamamaktadır.

Verilen model

(1 - \phi_1 B)Y_t = (1 + \theta_1 B)\varepsilon_t

formunda bir ARMA(1,1) sürecidir. Bir ARMA modelinin durağan olabilmesi için AR karakteristik denkleminin (

1 - 0,6B = 0

) köklerinin mutlak değerce 1'den büyük olması gerekir.

B = 1,66

olup

|1,66| > 1

olduğundan model durağandır. Tersinirlik (invertibility) için ise MA karakteristik denkleminin (

1 + 1,2B = 0

) köklerinin de mutlak değerce 1'den büyük olması zorunludur. Ancak bu denklemin kökü

B = -0,833

olup mutlak değeri 1'den küçüktür (

|-0,833| < 1

). Bu nedenle kök birim çemberin içinde yer alır ve model tersinirlik koşulunu sağlamaz. Sonuç olarak modelin AR kısmı durağan iken, MA kısmı tersinir değildir.

Adım Adım Çözüm

1

Modelin AR ve MA polinomlarını gecikme operatörü (

B

) üzerinden tanımlama

AR polinomu

\Phi(B) = 1 - 0,6B

ve MA polinomu

\Theta(B) = 1 + 1,2B

olarak belirlenir.

Durağanlık ve tersinirlik koşulları, sırasıyla AR ve MA karakteristik denklemlerinin kökleri üzerinden incelenir.

2

Durağanlık (Stationarity) koşulunu test etme

\Phi(B) = 1 - 0,6B = 0

denklemi çözülerek

B = 1 / 0,6 \approx 1,66

bulunur.

|1,66| > 1

(kök birim çemberin dışında) olduğundan model durağandır.

Bir ARMA modelinin durağan olabilmesi için AR köklerinin mutlak değerce 1'den büyük olması zorunludur.

3

Tersinirlik (Invertibility) koşulunu test etme

\Theta(B) = 1 + 1,2B = 0

denklemi çözülerek

B = -1 / 1,2 \approx -0,833

bulunur.

|-0,833| < 1

(kök birim çemberin içinde) olduğundan model tersinir değildir.

Bir modelin tersinir olabilmesi için MA köklerinin mutlak değerce 1'den büyük olması zorunludur.

4

Sonucu değerlendirme

Modelin AR kısmı durağanlık koşulunu sağlarken, MA kısmı tersinirlik koşulunu sağlamamaktadır.

İki testin birleşimi bu temel sonucu ortaya koyar.

Anahtar Kavram

ARMA Modellerinde Durağanlık ve Tersinirlik Koşulları

Soru 4Soru →

Aylık olarak kaydedilen bir zaman serisinin analizi sürecinde, seriye uygun görülen model kapalı formda aşağıdaki gibi ifade edilmiştir:

(1 - \phi_1 B - \phi_2 B^2)(1 - \Phi_1 B^{12})(1 - B)(1 - B^{12})Y_t = (1 - \theta_1 B)\epsilon_t

(Burada $B$ geri kaydırma operatörünü, $Y_t$ zaman serisini ve $\epsilon_t$ beyaz gürültü sürecini temsil etmektedir.)

Buna göre, bu modelin SARIMA $(p,d,q)(P,D,Q)_s$ notasyonu ile standart gösterimi ve bu modelde durağanlaştırılmış serinin teorik mevsimsel otokorelasyon (ACF) ile mevsimsel kısmi otokorelasyon (PACF) davranışları aşağıdakilerin hangisinde doğru verilmiştir?

SARIMA

(2,1,1)(1,1,0)_{12}

modeli; Mevsimsel ACF gecikmelerde yavaşça sönümlenir, Mevsimsel PACF ilk mevsimsel gecikmeden (12) sonra kesilir.

SARIMA

(1,1,0)(2,1,1)_{12}

modeli; Mevsimsel ACF gecikmelerde yavaşça sönümlenir, Mevsimsel PACF ilk mevsimsel gecikmeden (12) sonra kesilir.

SARIMA

(2,1,1)(1,1,0)_{12}

modeli; Mevsimsel ACF ilk mevsimsel gecikmeden (12) sonra kesilir, Mevsimsel PACF gecikmelerde yavaşça sönümlenir.

SARIMA

(2,0,1)(1,0,0)_{12}

modeli; Mevsimsel ACF gecikmelerde yavaşça sönümlenir, Mevsimsel PACF ilk mevsimsel gecikmeden (12) sonra kesilir.

SARIMA

(2,1,1)(0,1,1)_{12}

modeli; Mevsimsel ACF ilk mevsimsel gecikmeden (12) sonra kesilir, Mevsimsel PACF gecikmelerde yavaşça sönümlenir.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: SARIMA $(2,1,1)(1,1,0)_{12}$ modeli; Mevsimsel ACF gecikmelerde yavaşça sönümlenir, Mevsimsel PACF ilk mevsimsel gecikmeden (12) sonra kesilir.

Cevap

Doğru eşleştirme, SARIMA

(2,1,1)(1,1,0)_{12}

modeli ve Mevsimsel ACF'nin sönümlenip, Mevsimsel PACF'nin 12. gecikmeden sonra kesilmesidir.

Verilen denklem parametrelerine ayrıştırıldığında;

(1 - \phi_1 B - \phi_2 B^2)

terimi

p=2

,

(1 - \theta_1 B)

terimi

q=1

,

(1 - \Phi_1 B^{12})

terimi

P=1

olduğunu gösterirken, mevsimsel MA teriminin olmaması

Q=0

anlamına gelir.

(1 - B)

ve

(1 - B^{12})

çarpanları ise ardışık ve mevsimsel olarak 1'er kez fark alındığını (

d=1, D=1

) kanıtlar. Bu doğrultuda model SARIMA

(2,1,1)(1,1,0)_{12}

'dir. Teorik olarak mevsimsel kısım bir AR(1) süreci olduğu için, mevsimsel gecikmeler dikkate alındığında ACF grafiğinin üstel olarak sönümlenmesi ve PACF grafiğinin

P=1

olduğu için 1. mevsimsel gecikmeden (12. gecikme) sonra aniden sıfıra düşmesi (kesilmesi) beklenir.

Adım Adım Çözüm

1

Mevsimsel olmayan ARMA derecelerini (p ve q) belirle.

Denklemdeki

(1 - \phi_1 B - \phi_2 B^2)

terimi

p=2

'yi; sağ taraftaki

(1 - \theta_1 B)

terimi

q=1

'i gösterir.

Geri kaydırma operatörü (B) ile yazılan polinomların dereceleri modelin otoregresif ve hareketli ortalama derecelerini verir.

2

Mevsimsel ARMA derecelerini (P ve Q) belirle.

Denklemdeki

(1 - \Phi_1 B^{12})

terimi

P=1

'i gösterir. Eşitliğin sağ tarafında mevsimsel MA terimi olmadığı için

Q=0

'dır.

Üssü veri periyodunun (s=12) katları olan polinomlar mevsimsel etkileri modeller.

3

Fark alma derecelerini (d ve D) ve periyodu (s) tespit et.

Denklemdeki

(1 - B)

terimi

d=1

'i;

(1 - B^{12})

terimi

D=1

'i gösterir. Aylık veri olduğu için

s=12

'dir.

Durağanlaştırma için alınan fark işlemleri denklemde

(1-B)

çarpanları olarak yer alır.

4

Model notasyonunu oluştur ve mevsimsel ACF/PACF davranışını teorik olarak yorumla.

Notasyon SARIMA

(2,1,1)(1,1,0)_{12}

olarak bulunur. Model saf mevsimsel AR(1) bileşeni içerdiği için, mevsimsel ACF gecikmelerde (12, 24, 36...) yavaşça sönümlenirken, mevsimsel PACF 1. mevsimsel gecikmede (12) anlamlı sivrilik verip sonrasında kesilir.

Otoregresif (AR) süreçlerin temel karakteristiği, otokorelasyon fonksiyonunun sönümlenmesi ve kısmi otokorelasyon fonksiyonunun p. gecikmeden sonra sıfıra düşmesidir.

Anahtar Kavram

SARIMA Model Notasyonu, Kapalı Form Denklemleri ve Teorik Korelogram Davranışları

Soru 5Soru →

Bir ülkenin aylık sanayi üretim endeksi verileri 30 yıllık bir dönem için analiz edilmektedir. Araştırmacı, seriyi bileşenlerine ayrıştırmak (decomposition) amacıyla önce toplanabilir (additive) modeli kullanmış; ancak bu modelden elde edilen düzensiz (kalıntı) bileşenin varyansının zamanla artarak huni şeklinde bir yayılım gösterdiğini saptamıştır. Ayrıca, serinin genel seviyesi (trend) yükseldikçe mevsimsel dalgalanmaların genliğinin (amplitude) de trend seviyesiyle orantılı olarak büyüdüğü gözlemlenmiştir. Çarpımsal (multiplicative) model kullanıldığında ise kalıntıların varyansının sabitlendiği tespit edilmiştir. Öte yandan, serinin mevsimsel etkilerden arındırılmış halinde, makroekonomik genişleme ve daralmalara bağlı olarak 4 ila 6 yıl (48-72 ay) arasında değişen uzunluklarda tekrarlanan, kesin bir periyodikliği olmayan dalgalanmalar belirlenmiştir.

Bu araştırmanın bulgularına göre, zaman serisinin yapısı ve bileşenleri hakkında aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?

Serideki mevsimsel dalgalanmaların genliği trend seviyesine bağlı olarak değiştiği için çarpımsal model tercih edilmelidir ve 4-6 yıllık periyotlarla gözlenen esnek dalgalanmalar serinin döngüsel (konjonktürel) bileşenini ifade etmektedir.

Toplanabilir modelde kalıntı varyansının artması serinin varyans durağanlığına sahip olduğunu gösterir ve 4-6 yıllık dalgalanmalar serinin uzun dönemli mevsimsel bileşenini oluşturmaktadır.

Mevsimsel dalgalanmaların genliğinin trend ile birlikte büyümesi toplanabilir modelin varsayımlarını destekler ve 4-6 yıllık makroekonomik hareketler serinin düzensiz (rastgele) bileşeni olarak modellenmelidir.

Serideki 4-6 yıllık tekrarlayan dalgalanmalar sabit ve kesin bir periyoda sahip olmadığından deterministik trend bileşeninin bir parçası kabul edilmeli ve seri çarpımsal model ile ayrıştırılmalıdır.

Çarpımsal modelin kalıntı varyansını sabitlemesi ikincil bir sonuçtur; serideki 4-6 yıllık dalgalanmalar sabit genlikli mevsimsel bileşen içinde değerlendirilerek toplanabilir modelin kullanılması daha uygundur.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Serideki mevsimsel dalgalanmaların genliği trend seviyesine bağlı olarak değiştiği için çarpımsal model tercih edilmelidir ve 4-6 yıllık periyotlarla gözlenen esnek dalgalanmalar serinin döngüsel (konjonktürel) bileşenini ifade etmektedir.

Cevap

Serideki dalgalanma genliklerinin trend seviyesine bağlı olması nedeniyle çarpımsal modelin kullanılması gerektiği ve 4-6 yıllık periyotlardaki makroekonomik kökenli dalgalanmaların döngüsel (konjonktürel) bileşeni temsil ettiği yargısı kesinlikle doğrudur.

Zaman serilerinde, mevsimsel dalgalanmaların şiddetinin (genliğinin) serinin genel seviyesiyle (trend ile) doğru orantılı olarak artması, bileşenlerin birbirini çarpımsal olarak etkilediğinin kanıtıdır (

Y_t = T_t \times S_t \times C_t \times I_t

). Toplanabilir modellerde bu durum kalıntılarda değişen varyansa (heteroskedastisite) neden olur. Ayrıca, 1 yıldan uzun süren, genellikle makroekonomik faktörlerden (krizler, büyüme dönemleri) kaynaklanan ve tam bir periyodiklik göstermeyen orta/uzun vadeli dalgalanmalar istatistiksel olarak 'Döngüsel (Konjonktürel)' bileşen olarak adlandırılır. Doğru seçenek bu iki teorik gerçeği tam ve hatasız bir şekilde bir araya getirmektedir.

Adım Adım Çözüm

1

Serinin toplanabilir (additive) ve çarpımsal (multiplicative) modeller altındaki davranışını değerlendir.

Mevsimsel dalgalanmaların genliğinin trend arttıkça büyümesi ve kalıntıların varyansının huni şeklinde artması, bileşenlerin birbirinden bağımsız olmadığını gösterir.

Toplanabilir modelde (

Y_t = T_t + S_t + C_t + I_t

) bileşenler birbirinden bağımsızdır ve dalgalanma şiddeti sabittir. Çarpımsal modelde (

Y_t = T_t \times S_t \times C_t \times I_t

) ise bileşenler oransaldır; trend seviyesi yükseldikçe dalgalanma genliği de artar. Bu durum çarpımsal modelin gerekliliğini ispatlar.

2

4-6 yıl süreli, kesin periyodu olmayan dalgalanmaların hangi zaman serisi bileşenine ait olduğunu belirle.

Bu özellikler döngüsel (konjonktürel - cyclical) bileşene aittir.

Zaman serisi bileşenlerinden 'Mevsimsellik' 1 yıl veya daha kısa süreli kesin periyotlara sahiptir. 'Trend' uzun dönemli genel yönü gösterir. 'Düzensiz hareketler' öngörülemeyen rassal şoklardır. 1 yıldan uzun (genelde 2-10 yıl arası) süren, ekonomik konjonktüre (genişleme/daralma) bağlı esnek periyotlu hareketler doğrudan 'Döngüsel (Cyclical)' bileşenin tanımıdır.

Anahtar Kavram

Zaman Serilerinde Çarpımsal/Toplanabilir Model Ayrımı ve Döngüsel Bileşen Tanımı

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 6Soru →

Bir ülkenin 1980-2020 dönemine ait çeyreklik periyotlarla ölçülen makroekonomik bir zaman serisi analiz edilmektedir. Serinin zaman yolu grafiği incelendiğinde, zaman ilerledikçe ve serinin genel seviyesi (trend) yükseldikçe, mevsimsel dalgalanmaların genliğinin de (dalga boyunun) orantılı olarak genişlediği görülmüştür. Ayrıca seride, periyodu kesin olarak öngörülemeyen ve ardışık tepe noktaları arasında ortalama 5 ila 8 yıl bulunan uzun süreli dalgalanmalar tespit edilmiştir.

Araştırmacı, bu serinin yapısına en uygun zaman serisi ayrıştırma modelini seçerek seriyi bileşenlerine ( $T_t$ : Trend, $S_t$ : Mevsimsel, $C_t$ : Döngüsel, $I_t$ : Düzensiz) ayırmak istemektedir.

Bu analiz süreci ve zaman serisi bileşenlerinin özellikleri dikkate alındığında, aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?

Dalgalanmaların genliği zamanla değiştiği için toplanabilir model (

Y_t = T_t + S_t + C_t + I_t

) tercih edilmeli ve ayrıştırma işlemi sonucunda elde edilecek düzensiz bileşenin beklenen değeri sıfır olmalıdır.

Seride gözlemlenen 5 ila 8 yıllık periyoda sahip uzun süreli dalgalanmalar mevsimsel etkiyi temsil ettiğinden, ayrıştırma işlemi orijinal seriden hareketli ortalamaların çıkarılması yoluyla yapılmalıdır.

Seriye çarpımsal model uygulanmalıdır ve seriden trend ile döngüsel bileşen arındırıldığında geriye yalnızca genliği ve periyodu tamamen rastgele değişen düzensiz şoklar kalır.

Serinin yapısı gereği çarpımsal model (

Y_t = T_t \cdot S_t \cdot C_t \cdot I_t

) kullanılmalıdır ve orijinal serinin, trend ile mevsimsel bileşen tahminlerinin çarpımına bölünmesiyle elde edilen seride döngüsel hareketler ile rassal şoklar bir arada yer alır.

Serinin analizinde çarpımsal model varsayımı geçerli olmakla birlikte, ayrıştırma işlemi tamamlandığında elde edilecek olan düzensiz (rassal) bileşenin teorik beklenen değerinin sıfır (

E(I_t) = 0

) olması gerekir.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Serinin yapısı gereği çarpımsal model ( $Y_t = T_t \cdot S_t \cdot C_t \cdot I_t$ ) kullanılmalıdır ve orijinal serinin, trend ile mevsimsel bileşen tahminlerinin çarpımına bölünmesiyle elde edilen seride döngüsel hareketler ile rassal şoklar bir arada yer alır.

Cevap

Serinin çarpımsal modele uygun olduğu ve orijinal serinin trend ile mevsimsel bileşene bölünmesi sonucu geriye döngüsel hareketler ile rassal şokların kalacağını belirten seçenektir.

Zaman serisinin genliğinin trend ile birlikte orantılı olarak artması, serinin toplanabilir değil çarpımsal (

Y_t = T_t \cdot S_t \cdot C_t \cdot I_t

) formda modellendiğini gösterir. Çarpımsal bir modelde herhangi bir bileşeni seriden arındırmak için bölme işlemi yapılır. Orijinal serinin (

Y_t

), trend (

T_t

) ve mevsimsel (

S_t

) bileşenlerin tahminlerinin çarpımına bölünmesiyle

\frac{Y_t}{T_t \cdot S_t} = C_t \cdot I_t

eşitliği elde edilir. Bu matematiksel işlem sonucunda geriye kalan yapı, periyodu 1 yıldan uzun olan döngüsel (konjonktürel) hareketler ile tahmin edilemeyen rassal şokların bir arada bulunduğu bir seridir.

Adım Adım Çözüm

1

Serinin model yapısını (toplanabilir/çarpımsal) belirleme.

Trend arttıkça mevsimsel dalgalanmaların genliği orantılı olarak arttığı için kullanılacak model çarpımsaldır (

Y_t = T_t \cdot S_t \cdot C_t \cdot I_t

).

Toplanabilir modellerde genlik trendden bağımsız ve sabittir. Genliğin oransal olarak artması çarpımsal yapının temel varsayımıdır.

2

Serideki 5-8 yıllık dalgalanmaların türünü tespit etme.

Periyodu 1 yıldan uzun olan ve kesin öngörülemeyen bu dalgalanmalar döngüsel (konjonktürel -

C_t

) hareketlerdir.

Mevsimsel (

S_t

) dalgalanmaların periyodu sabit ve genellikle 1 yıl içindedir. 5-8 yıllık periyotlar döngüsel bileşenin tanımıdır.

3

Çarpımsal modelde bileşen arındırma işlemini matematiksel olarak formüle etme.

Orijinal seri (

Y_t

), trend (

T_t

) ve mevsimsel (

S_t

) bileşenlere bölündüğünde geriye döngüsel ve düzensiz bileşenlerin çarpımı kalır.

Çarpımsal modelde arındırma işlemi çıkarma ile değil, bölme ile yapılır:

\frac{Y_t}{T_t \cdot S_t} = C_t \cdot I_t

.

4

Düzensiz bileşenin çarpımsal modeldeki teorik beklenen değerini inceleme.

Çarpımsal modelde düzensiz bileşenin beklenen değeri 1'dir (

E(I_t) = 1

).

Çarpma işleminde etkisiz eleman 1 olduğu için, herhangi bir şokun olmadığı 'normal' durumda rassal bileşen serinin genel seviyesini değiştirmemelidir. Sıfır olması toplanabilir modele özgüdür.

Anahtar Kavram

Zaman Serisi Bileşenleri ve Ayrıştırma Modelleri

Soru 7Soru →

Türkiye İstatistik Kurumu'nda (TÜİK) çalışan bir uzman, makroekonomik bir göstergedeki aylık değişimleri analiz ederken, serinin otokorelasyon yapısını incelemiş ve verinin $q$ . dereceden bir hareketli ortalama, MA( $q$ ), süreci ile modellenebileceğini tespit etmiştir.

Bu uzmanın belirlediği MA( $q$ ) modelinin teorik özellikleri dikkate alındığında, aşağıdaki ifadelerden hangisi kesinlikle doğrudur?

Otokorelasyon fonksiyonu (ACF)

q

. gecikmeden sonra sıfıra kesilir. Model parametre değerlerinden bağımsız olarak her zaman durağandır; ancak tersinir (invertible) olabilmesi için hareketli ortalama karakteristik denkleminin köklerinin birim çemberin dışında olması gerekir.

Kısmi otokorelasyon fonksiyonu (PACF)

q

. gecikmeden sonra sıfıra kesilir. Model her zaman tersinirdir; ancak durağan olabilmesi için karakteristik denklemin köklerinin birim çemberin dışında olması gerekir.

Hem otokorelasyon fonksiyonu (ACF) hem de kısmi otokorelasyon fonksiyonu (PACF) üssel olarak azalarak sönümlenir. Modelin hem durağan hem de tersinir olabilmesi için tüm parametrelerin mutlak değerce 1'den küçük olması zorunludur.

Otokorelasyon fonksiyonu (ACF)

q

. gecikmeden sonra sıfıra kesilir. Model doğası gereği her zaman tersinirdir; ancak durağan olabilmesi ilgili parametre kısıtlamalarına tabidir.

Kısmi otokorelasyon fonksiyonu (PACF) azalarak sönümlenirken ACF

q

. gecikmeden sonra sıfıra kesilir. Süreç herhangi bir parametre kısıtlamasına ihtiyaç duymadan yapısal olarak hem her zaman durağan hem de her zaman tersinirdir.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Otokorelasyon fonksiyonu (ACF) $q$ . gecikmeden sonra sıfıra kesilir. Model parametre değerlerinden bağımsız olarak her zaman durağandır; ancak tersinir (invertible) olabilmesi için hareketli ortalama karakteristik denkleminin köklerinin birim çemberin dışında olması gerekir.

Cevap

MA(q) modelinde Otokorelasyon fonksiyonu (ACF) q. gecikmeden sonra sıfıra kesilir, model her zaman durağandır ancak tersinirlik için karakteristik denklemin kökleri birim çemberin dışında yer almalıdır.

MA(

q

) süreçlerinin yapısı gereği, serinin otokorelasyon fonksiyonu (ACF)

q

. gecikmeden sonra sıfıra kesilirken, kısmi otokorelasyon fonksiyonu (PACF) sonsuza doğru azalarak sönümlenir. Beyaz gürültü terimlerinin sonlu bir doğrusal kombinasyonu olduğu için MA modelleri parametre kısıtlaması olmaksızın her zaman durağandır. Ancak, modelin geçmiş hatalar cinsinden benzersiz bir şekilde ifade edilebilmesi, yani tersinir (invertible) olabilmesi için karakteristik MA polinomunun köklerinin mutlak değerce 1'den büyük olması (birim çemberin dışında kalması) şarttır.

Adım Adım Çözüm

1

MA(q) modellerinin otokorelasyon (ACF) ve kısmi otokorelasyon (PACF) grafik davranışlarını değerlendir.

MA(q) modellerinde ACF grafiği q. gecikmeden sonra sıfıra kesilirken, PACF grafiği sinüs dalgası şeklinde veya üssel olarak azalarak sönümlenir.

Bu, AR ve MA modellerini birbirinden ayırmak için kullanılan en temel özelliktir.

2

MA(q) modelinin durağanlık durumunu analiz et.

MA(q) süreçleri, beyaz gürültü serisinin sonlu sayıda ağırlıklı toplamından oluştuğu için, parametre katsayılarından bağımsız olarak istisnasız her zaman zayıf durağandır.

Sonlu varyanslı bağımsız rastgele değişkenlerin sonlu doğrusal kombinasyonunun momenti zamana bağlı değildir.

3

MA(q) modelinin tersinirlik (invertibility) şartını değerlendir.

Bir MA(q) sürecinin sonsuz dereceli bir AR sürecine çevrilebilmesi (tersinir olabilmesi) için karakteristik polinomunun kökleri mutlak değerce 1'den büyük (birim çemberin dışında) olmalıdır.

Eğer süreç tersinir değilse, geçmiş şoklar serinin şimdiki değerini belirlemede anlamsız sonuçlar üretir.

Anahtar Kavram

Hareketli Ortalama (MA) Modellerinin Temel Özellikleri ve Tersinirlik Koşulu

Soru 8Soru →

Sıfır ortalamalı ve durağan bir $Y_t$ zaman serisi, ikinci dereceden otoregresif, AR(2), modeline uymaktadır. Bu modele ait beyaz gürültü sürecinin varyansı $\sigma_e^2 = 99$ olarak verilmiştir.

Serinin ilk iki gecikmeye ait otokorelasyon katsayıları sırasıyla $\rho_1 = 0,8$ ve $\rho_2 = 0,5$ 'tir.

Buna göre, $Y_t$ serisinin varyansı ( $\gamma_0$ ) kaçtır?

99

275

324

495

900

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 324

Cevap

324

Verilen

\rho_1

ve

\rho_2

otokorelasyon değerleri kullanılarak Yule-Walker denklemleri yardımıyla otoregresif parametreler

\phi_1 = 10/9

ve

\phi_2 = -7/18

olarak hesaplanır. Ardından AR(p) genel varyans bağıntısı olan

1 = \phi_1\rho_1 + \phi_2\rho_2 + \frac{\sigma_e^2}{\gamma_0}

eşitliğinde değerler yerine yazıldığında, serinin varyansı

\gamma_0 = 324

olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

AR(2) süreci için Yule-Walker denklemlerini yazmak

\rho_1 = \phi_1 + \phi_2 \rho_1

\rho_2 = \phi_1 \rho_1 + \phi_2

Serinin parametrelerini (

\phi_1, \phi_2

) bulabilmek için otokorelasyon katsayıları ile parametreler arasındaki ilişkiyi kurmak gerekir.

2

Verilen değerleri denklemlerde yerine koyarak parametreleri çözmek

0,8 = \phi_1 + 0,8\phi_2

0,5 = 0,8\phi_1 + \phi_2

Bu denklem sistemi çözüldüğünde

\phi_1 = 10/9

ve

\phi_2 = -7/18

bulunur.

Varyans formülünde yerine koymak için AR(2) katsayılarına ihtiyaç vardır.

3

AR(2) modeli için varyans formülünü oluşturmak

\gamma_0 = \phi_1\gamma_1 + \phi_2\gamma_2 + \sigma_e^2

formülünün her iki tarafı

\gamma_0

'a bölünürse,

1 = \phi_1\rho_1 + \phi_2\rho_2 + \frac{\sigma_e^2}{\gamma_0}

elde edilir.

Otokorelasyonlar ve katsayılar cinsinden serinin toplam varyansını (

\gamma_0

) beyaz gürültü varyansına bağlamak.

4

Değerleri formülde yerine koyarak

\gamma_0

'ı hesaplamak

1 = \left(\frac{10}{9}\right)(0,8) + \left(-\frac{7}{18}\right)(0,5) + \frac{99}{\gamma_0} \implies 1 = \frac{8}{9} - \frac{7}{36} + \frac{99}{\gamma_0} \implies 1 = \frac{25}{36} + \frac{99}{\gamma_0} \implies \frac{11}{36} = \frac{99}{\gamma_0} \implies \gamma_0 = 324

İstenen serinin varyans değerine nihai olarak ulaşmak.

Anahtar Kavram

AR(2) Modellerinde Yule-Walker Denklemleri ve Varyans Hesaplaması

Soru 9Soru →

Bir araştırmacı, durağan olduğu bilinen bir $Y_t$ zaman serisi için Box-Jenkins metodolojisinin tanımlama (model belirleme) aşamasında, serinin Otokorelasyon Fonksiyonu (ACF) ve Kısmi Otokorelasyon Fonksiyonu (PACF) grafiklerini incelemiştir. Yapılan inceleme sonucunda şu bulgular elde edilmiştir:

I. PACF grafiğinde yalnızca 1. ve 2. gecikmelerdeki katsayılar güven sınırlarının dışında kalarak istatistiksel olarak anlamlı bulunmuş, 3. gecikmeden itibaren katsayılar aniden güven bandı içine düşerek kesilmiştir (cutting off).
II. ACF grafiğinde ise katsayılar aniden kesilmeye uğramamış, sinüs dalgası şeklinde salınımlar yaparak azalan bir sönümlenme (tailing off) davranışı sergilemiştir.

Bu bulgulara göre, seriyi üreten veri üretim süreci ve bu modelin teorik özellikleri hakkında aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?

Model bir ikinci dereceden otoregresif, AR(2), sürecidir ve sürecin karakteristik denkleminin kökleri karmaşık (kompleks) sayıdır.

Model bir ikinci dereceden hareketli ortalama, MA(2), sürecidir ve PACF'teki kesilme davranışı hareketli ortalama parametrelerinin tersine çevrilebilirlik (invertibility) şartını sağladığını gösterir.

Model karmaşık bir ARMA sürecidir; çünkü ACF'deki sinüsoidal salınımlar tek başına otoregresif yapı ile açıklanamaz, modele mutlaka bir hareketli ortalama (MA) bileşeni de dâhil edilmelidir.

Model bir AR(2) sürecidir ve ACF'deki sinüsoidal salınımlar, model parametrelerinin

\phi_1^2 + 4\phi_2 > 0

koşulunu sağladığını, dolayısıyla karakteristik denklemin köklerinin reel sayı olduğunu kanıtlar.

Model durağan olmayan mevsimsel bir yapıya sahiptir; ACF'deki periyodik dalgalanmalar seride deterministik mevsimsellik olduğunu ve seriye mevsimsel fark alınması gerektiğini gösterir.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Model bir ikinci dereceden otoregresif, AR(2), sürecidir ve sürecin karakteristik denkleminin kökleri karmaşık (kompleks) sayıdır.

Cevap

Model bir ikinci dereceden otoregresif, AR(2), sürecidir ve sürecin karakteristik denkleminin kökleri karmaşık (kompleks) sayıdır.

Box-Jenkins model tanımlama aşamasında, Kısmi Otokorelasyon Fonksiyonunun (PACF) belirli bir gecikmede aniden kesilmesi (cutting off) ve Otokorelasyon Fonksiyonunun (ACF) asimptotik olarak sönümlenmesi (tailing off) sürecin bir Otoregresif (AR) model olduğunu gösterir. PACF tam olarak 2. gecikmeden sonra kesildiği için model kesinlikle AR(2)'dir. Bir AR(2) modelinde ACF'nin monoton bir üstel azalış yerine sinüsoidal (sinüs dalgası şeklinde) salınımlar yaparak sönümlenmesi, karakteristik denklemin diskriminantının sıfırdan küçük olduğunu (

\phi_1^2 + 4\phi_2 < 0

), yani köklerin karmaşık (kompleks) sayı olduğunu belirtir. Köklerin reel olması durumunda ACF dalgalanmaz, doğrudan sönümlenir.

Adım Adım Çözüm

1

PACF grafiğinin davranışını analiz ederek ana model türünü (AR veya MA) ve derecesini belirleme.

PACF 2. gecikmeden sonra aniden kesildiği (cutting off) için serinin AR(2) olduğuna karar verilir.

Box-Jenkins metodolojisinde, Kısmi Otokorelasyon Fonksiyonu'nun (PACF) 'p' gecikmesinden sonra sıfır bandına düşmesi AR(p) sürecinin imzasıdır.

2

ACF grafiğinin genel davranışını kontrol ederek PACF bulgusunu doğrulama.

ACF katsayıları aniden kesilmemiş, sönümlenme (tailing off) göstermiştir. Bu durum AR(2) model tespiti ile tamamen uyumludur.

Sadece Otoregresif bileşen barındıran modellerde (saf AR), ACF'nin zamanla sıfıra yaklaşarak sönümlenmesi teorik bir zorunluluktur.

3

ACF'deki sönümlenmenin şekline (sinüsoidal salınım) odaklanarak model parametrelerinin yapısal özelliklerini tespit etme.

Sönümlenmenin üstel bir eğri yerine sinüs dalgası şeklinde dalgalanarak gerçekleşmesi, karakteristik denklemin köklerinin karmaşık (kompleks) sayı olduğunu gösterir.

İkinci dereceden doğrusal fark denklemlerinin (AR(2) gibi) çözümünde, ancak kökler karmaşık eşlenik (complex conjugate) ise otokorelasyon fonksiyonu trigonometrik salınımlar üretir.

Anahtar Kavram

ARIMA Model Tanımlaması ve ACF/PACF Dinamikleri

Soru 10Soru →

Bir araştırmacı, bir makroekonomik değişkenin zaman serisi özelliklerini incelemek amacıyla serinin düzey (orijinal) değerlerine Genişletilmiş Dickey-Fuller (ADF) birim kök testini uygulamıştır. Analiz sonucunda test istatistiği ( $\tau$ değeri) $-1,52$ olarak hesaplanmıştır. İlgili test modeli için MacKinnon kritik değerleri $\%1$ , $\%5$ ve $\%10$ anlamlılık düzeylerinde sırasıyla $-3,46$ , $-2,88$ ve $-2,57$ 'dir.

Buna göre, $\%5$ anlamlılık düzeyinde testin sonucu ve yapılması gereken istatistiksel işlemle ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?

Hesaplanan test istatistiği mutlak değerce kritik değerden küçük olduğundan temel hipotez reddedilemez; seri durağan değildir ve seriyi durağanlaştırmak için fark alma işlemi uygulanmalıdır.

Hesaplanan test istatistiği (

-1,52

), kritik değerden (

-2,88

) matematiksel olarak daha büyük olduğundan temel hipotez reddedilir; seri durağandır ve düzey değerleriyle analize devam edilmelidir.

Temel hipotez reddedilemediği için serinin durağan olduğu sonucuna varılır; bu nedenle seriye herhangi bir fark alma işlemi uygulamaya gerek yoktur.

Seri durağan değildir, ancak durağanlığı sağlamak için serinin farkını almak yerine hareketli ortalamalar yöntemi ile serinin düzleştirilmesi gerekir.

ADF test istatistiği tek başına karar vermek için yetersizdir; temel hipotezin reddedilebilmesi için serinin Otokorelasyon Fonksiyonu (ACF) grafiğinin yavaşça sönümlenmesi zorunludur.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Hesaplanan test istatistiği mutlak değerce kritik değerden küçük olduğundan temel hipotez reddedilemez; seri durağan değildir ve seriyi durağanlaştırmak için fark alma işlemi uygulanmalıdır.

Cevap

Hesaplanan test istatistiği mutlak değerce kritik değerden küçük olduğundan temel hipotez reddedilemez; seri durağan değildir ve seriyi durağanlaştırmak için fark alma işlemi uygulanmalıdır.

Doğru ifadede hem ADF testinin hipotez yapısı hem de karar mekanizması hatasız işlenmiştir. ADF testinde H0 hipotezi serinin birim köke sahip olduğunu (durağan olmadığını) belirtir. Hesaplanan istatistik (-1,52), mutlak değer olarak kritik değerden (-2,88) küçük olduğu için ret bölgesi olan sol kuyrukta yer almaz; dolayısıyla H0 reddedilemez. Seri durağan olmadığı için de ekonometrik analize devam edebilmek adına serinin birinci dereceden farkı alınmalıdır.

Adım Adım Çözüm

1

ADF testinin temel hipotezini (H0) tanımlamak

H0: Seri birim kök içermektedir (Durağan değildir).

Birim kök testlerinin mantığını kurmak ve neyi test ettiğimizi belirlemek için hipotezlerin doğru tanımlanması gerekir.

2

Test istatistiği ile %5 kritik değeri karşılaştırmak

Hesaplanan tau istatistiği

-1,52

, %5 kritik değeri olan

-2,88

'den mutlak değerce daha küçüktür (

|-1,52| < |-2,88|

).

Test istatistiğinin ret bölgesine düşüp düşmediğini kontrol etmek için.

3

Karar kuralını uygulamak ve sonucunu yorumlamak

Test istatistiği ret bölgesine düşmediği için H0 reddedilemez. Yani seri durağan değildir.

İstatistiksel anlamlılığı test kuralları çerçevesinde değerlendirmek için.

4

Durağan olmayan seriye uygulanacak doğru dönüşümü belirlemek

Seriyi durağan hale getirmek için birinci dereceden farkı alınmalıdır (

\Delta Y_t = Y_t - Y_{t-1}

).

Zaman serilerinde stokastik trendin (birim kökün) ortadan kaldırılabilmesi için uygun dönüşüm yöntemi fark almadır.

Anahtar Kavram

Birim Kök Hipotez Testi ve Serilerin Durağanlaştırılması

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 11Soru →

Bir perakende mağazasının belirli bir ürüne ait ilk 4 aylık satış miktarları sırasıyla aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Dönem ( $t$ )	Gerçekleşen Satış ( $Y_t$ )
1	40
2	50
3	60
4	40

Mağaza yönetimi, gelecek dönem satışlarını öngörmek için düzeltme katsayısını $\alpha = 0,4$ alarak Basit Üstel Düzeltme (Simple Exponential Smoothing) yöntemini kullanmaktadır. Başlangıç tahmini olarak 1. ayın gerçekleşen değeri alınmıştır ( $F_2 = Y_1$ ).

Buna göre, 2., 3. ve 4. aylar dikkate alınarak hesaplanan Ortalama Mutlak Hata (MAE) ve Hata Kareler Ortalaması (MSE) değerleri sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?

MAE = 12,13 ; MSE = 154,72

MAE = 9,10 ; MSE = 116,04

MAE = 5,20 ; MSE = 154,72

MAE = 12,80 ; MSE = 167,79

MAE = 36,40 ; MSE = 464,16

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: MAE = 12,13 ; MSE = 154,72

Cevap

Hesaplamalar sonucunda MAE değeri 12,13 ve MSE değeri 154,72 olarak bulunmalıdır.

Basit üstel düzeltme uygulamasında ilk olarak ilgili dönemler için formül dikkatlice uygulanıp sırasıyla 40, 44 ve 50,4 öngörüleri bulunmalıdır. İkinci adımda gerçek satışlar ile bu öngörüler arasındaki hatalar sırasıyla 10, 16 ve -10,4 olarak tespit edilir. Son olarak MAE için mutlak hataların toplamı (36,4) üçe bölünür ve 12,13 elde edilir. MSE içinse hataların kareleri toplamı (464,16) üçe bölünür ve 154,72 elde edilir. Her iki metriği de doğru hesaplayan değerler sadece bu seçenekte verilmiştir.

Adım Adım Çözüm

1

Basit üstel düzeltme yöntemi formülü olan

F_{t} = \alpha Y_{t-1} + (1-\alpha) F_{t-1}

kullanılarak öngörü değerlerinin hesaplanması.

F_2 = 40

(Başlangıç),

F_3 = 0,4(50) + 0,6(40) = 44

,

F_4 = 0,4(60) + 0,6(44) = 50,4

Öngörü hatalarını hesaplayabilmek için öncelikle gerçekleşen değerlerle kıyaslanacak olan öngörü değerlerinin tek tek bulunması gerekir.

2

Her bir dönemin hata miktarının (

e_t = Y_t - F_t

) bulunması.

e_2 = 50 - 40 = 10

,

e_3 = 60 - 44 = 16

,

e_4 = 40 - 50,4 = -10,4

MAE ve MSE metrikleri, gerçekleşen ile öngörülen arasındaki bu sapma (hata) değerleri üzerinden hesaplanır.

3

Ortalama Mutlak Hata (MAE) değerinin formüle edilmesi ve hesaplanması.

MAE

= (|10| + |16| + |-10,4|) / 3 = 36,4 / 3 \approx 12,13

MAE hesaplamasında tüm hataların mutlak değeri toplanmalı ve hata hesaplanan dönem sayısına (

n=3

) bölünmelidir.

4

Hata Kareler Ortalaması (MSE) değerinin formüle edilmesi ve hesaplanması.

MSE

= (10^2 + 16^2 + (-10,4)^2) / 3 = (100 + 256 + 108,16) / 3 = 464,16 / 3 = 154,72

MSE hesaplamasında tüm hataların karesi toplanmalı ve hata hesaplanan dönem sayısına (

n=3

) bölünmelidir.

Anahtar Kavram

Basit Üstel Düzeltme ile Öngörü ve Hata Ölçütleri (MAE, MSE)

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 12Soru →

Bir merkez bankası araştırmacısı, makroekonomik dinamikleri incelemek üzere aylık frekansta kaydedilen ve 40 yıllık bir dönemi kapsayan iki farklı zaman serisini (Seri X ve Seri Y) analiz etmektedir.

- Seri X: Tüketici elektroniği perakende satış hacmini temsil etmektedir. Her yılın kasım ve aralık aylarında düzenli sıçramalar, yaz aylarında ise belirgin düşüşler sergilemektedir.
- Seri Y: İmalat sanayi kapasite kullanım oranını temsil etmektedir. Genel ekonomik genişleme ve daralma evrelerine bağlı olarak süresi $4$ ile $8$ yıl arasında değişen, genliği ise sabit olmayan dalgalanmalar göstermektedir.

Araştırmacı, her iki serideki bu spesifik dalgalanma etkilerini ortadan kaldırmak amacıyla, standart bir $12$ aylık periyoda dayalı klasik çarpımsal ayrıştırma (mevsimsel arındırma) prosedürü uygulamıştır.

Zaman serisi bileşenlerinin teorik özellikleri ve ayrıştırma yöntemlerinin doğası dikkate alındığında, uygulanan bu işlemin sonuçlarına ilişkin aşağıdaki değerlendirmelerden hangisi doğrudur?

Seri X'teki dalgalanmalar mevsimsel bileşen (

S_t

) kapsamında başarıyla modellenip arındırılabilirken; Seri Y'deki dalgalanmalar döngüsel bileşen (

C_t

) karakteristiği taşıdığından, periyot ve genliklerinin rassal olması nedeniyle bu işlemle arındırılamaz ve serinin trend-döngü yapısı içinde kalmaya devam eder.

Seri Y'deki 4-8 yıllık dalgalanmalar uzun dönemli mevsimsellik özelliği taşıdığından, arındırma işleminde 12 aylık periyot yerine 48-96 aylık hareketli ortalamalar kullanılması durumunda her iki serinin dalgalanmaları tamamen aynı mantıkla arındırılabilir.

Arındırma işlemi sonucunda Seri Y'deki dalgalanmalar doğrudan düzensiz (rassal) bileşen (

I_t

) içine aktarılacaktır; çünkü periyodu bir yılı aşan ve deterministik olmayan tüm hareketler beyaz gürültü süreci olarak kabul edilir.

Klasik ayrıştırma yöntemi Seri X için uygunken, Seri Y'ye uygulandığında serinin aslında sahip olmadığı 12 aylık yapay bir mevsimsel bileşen (

S_t

) üretilmesine ve potansiyel bir mevsimsel modelde sahte anlamlılık çıkmasına neden olur.

Seri Y'deki genel ekonomik dalgalanmaları ayrıştırmak için klasik mevsimsel arındırma yerine serinin 12'nci dereceden mevsimsel farkının (

\nabla_{12} Y_t

) alınması, döngüsel bileşeni trendden ayırmak için kullanılması gereken yegane teorik yaklaşımdır.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Seri X'teki dalgalanmalar mevsimsel bileşen ( $S_t$ ) kapsamında başarıyla modellenip arındırılabilirken; Seri Y'deki dalgalanmalar döngüsel bileşen ( $C_t$ ) karakteristiği taşıdığından, periyot ve genliklerinin rassal olması nedeniyle bu işlemle arındırılamaz ve serinin trend-döngü yapısı içinde kalmaya devam eder.

Cevap

Seri X mevsimsellik barındırırken, Seri Y döngüsellik barındırmaktadır. Mevsimsel arındırma işlemleri döngüsel hareketleri filtreleyemez, bu hareketler trend-döngü bileşeni içinde kalır.

Doğru değerlendirme, mevsimselliğin sabit periyotlu doğası gereği 12 aylık klasik ayrıştırma yöntemleriyle başarıyla izole edilebileceği; ancak konjonktürel dalgalanmalardan kaynaklanan döngüsel hareketlerin değişken genlik ve periyotları sebebiyle bu standart filtrelerle temizlenemeyeceği ve verinin trend yapısı içinde 'trend-döngü' formuyla kalmaya devam edeceği gerçeğidir.

Adım Adım Çözüm

1

Seri X'in dalgalanma yapısını tanımla.

Seri X, her yıl belirli aylarda (Kasım-Aralık zirve, yaz dip) tekrarlanan, periyodu tam olarak 1 yıl olan dalgalanmalara sahiptir. Bu durum Zaman Serilerinde 'Mevsimsellik' (

S_t

) olarak adlandırılır.

Mevsimsellik, takvim etkilerine bağlı olarak bir yıl veya daha kısa sürelerde gerçekleşen düzenli ve öngörülebilir dalgalanmalardır.

2

Seri Y'nin dalgalanma yapısını tanımla.

Seri Y, ekonomik konjonktüre bağlı olarak 4-8 yıl gibi değişken sürelerde gerçekleşen genişleme ve daralmalar göstermektedir. Bu durum 'Döngüsel Hareketler' (

C_t

) olarak adlandırılır.

Döngüsel hareketler (konjonktürel dalgalanmalar), periyodu bir yıldan uzun olan ve mevsimsellik gibi sabit bir takvime bağlı olmayan (periyodu ve genliği değişebilen) dalgalanmalardır.

3

12 aylık periyotlu mevsimsel arındırma işleminin etkisini değerlendir.

Mevsimsel arındırma işlemi (X-11, hareketli ortalamalar vb.) sabit 12 aylık periyotları hedef alır. Bu nedenle Seri X'teki etkileri başarıyla filtreleyip ayırabilir.

Arındırma algoritmaları sabit uzunluktaki periyodik şablonları izole etmek üzerine kuruludur.

4

Döngüsel bileşen üzerine arındırma etkisini değerlendir.

Döngüsel hareketlerin periyodu (4-8 yıl) sabit olmadığı ve 1 yılı aştığı için, mevsimsel arındırma işlemi bu hareketleri tespit edemez. Klasik yaklaşımlarda bu hareketler serinin trend bileşeninden de ayrılamaz ve ikisi birlikte 'Trend-Döngü' bileşenini oluşturur.

Döngüsel dalgalanmaların yapısı sabit bir filtre ile temizlenemeyecek kadar asimetriktir; arındırılmamış haliyle ana eğilimin (trend) etrafındaki uzun vadeli dalgalanmalar olarak kalırlar.

Anahtar Kavram

Mevsimsel ve Döngüsel Bileşenlerin Karşılaştırmalı Özellikleri ve Ayrıştırılabilirliği

Soru 13Soru →

Bir araştırmacı, bir zaman serisinin durağanlığını incelemiş ve serinin düzeyinde (orijinal halinde) durağan olmadığını, ancak birinci farkı alındığında durağan hale geldiğini tespit etmiştir. Araştırmacı Box-Jenkins yönteminin "Tanımlama" (Identification) aşamasında, durağanlaştırılmış serinin Otokorelasyon Fonksiyonu (ACF) ve Kısmi Otokorelasyon Fonksiyonu (PACF) grafiklerini incelediğinde şu sonuçlara ulaşmıştır:

- ACF grafiği, 2. gecikmeden sonra aniden sıfıra düşerek kesilmektedir.
- PACF grafiği ise üstel bir şekilde azalarak yavaşça sönümlenmektedir.

Buna göre, araştırmacının bu zaman serisi için kurması gereken en uygun $ARIMA(p,d,q)$ modeli aşağıdakilerden hangisidir?

ARIMA(0,1,2)

ARIMA(2,1,0)

ARIMA(0,2,1)

ARIMA(2,0,0)

ARIMA(0,0,2)

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $ARIMA(0,1,2)$

Cevap

Model için doğru tanımlama

ARIMA(0,1,2)

şeklindedir.

Box-Jenkins yöntemine göre, bir seriyi durağanlaştırmak için alınan fark sayısı modelin 'd' (bütünleşme/fark alma) derecesini verir; burada birinci fark alındığı için

d=1

'dir. Modelin Otoregresif (AR) veya Hareketli Ortalama (MA) bileşenleri ACF ve PACF grafiklerine bakılarak belirlenir. Otokorelasyon Fonksiyonu'nun (ACF) 2. gecikmede aniden kesilmesi, sürecin saf bir hareketli ortalama modeli olduğuna işaret eder ve bu durumda

q=2

olur. Kısmi Otokorelasyon Fonksiyonu'nun (PACF) yavaşça sönümlenmesi ise seride bir AR bileşeni olmadığını gösterir, yani

p=0

'dır. Tüm bu değerler birleştirildiğinde doğru model

ARIMA(0,1,2)

olarak tespit edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Fark alma derecesini (d) belirleme

Seri birinci farkta durağan hale geldiği için

d=1

olarak bulunur.

ARIMA modellerinde 'd' parametresi, seriyi durağanlaştırmak için kaç kez fark alınması gerektiğini ifade eder.

2

Hareketli Ortalama (MA) derecesini (q) belirleme

ACF grafiği 2. gecikmeden sonra kesildiği için

q=2

olur.

MA modellerinin derecesi (q), Otokorelasyon Fonksiyonu (ACF) grafiğinin istatistiksel olarak anlamlı olmaktan çıkıp kesildiği gecikme noktasına bakılarak belirlenir.

3

Otoregresif (AR) derecesini (p) belirleme

PACF grafiği üstel olarak yavaşça sönümlendiği ve ani bir kesilme yaşamadığı için

p=0

olur.

AR modellerinin derecesi (p) PACF grafiğinin kesilme noktasına göre belirlenir. Sönümlenme durumu, modelde bir AR bileşeni olmadığını (saf MA süreci olduğunu) gösterir.

4

Bulguları

ARIMA(p,d,q)

notasyonunda birleştirme

Elde edilen değerler yerine konulduğunda

ARIMA(0,1,2)

modeline ulaşılır.

Box-Jenkins yönteminin tanımlama aşamasının nihai amacı uygun parametre derecelerini standart gösterim formatında ifade etmektir.

Anahtar Kavram

Box-Jenkins Yönteminde Model Tanımlama (ACF ve PACF Yorumlama)

Soru 14Soru →

Bir perakende şirketinin çeyreklik (üç aylık) satış gelirleri modellenirken, serinin durağanlaştırılması ve uygun modelin belirlenmesi amacıyla Box-Jenkins yaklaşımı kullanılmıştır. Elde edilen en uygun model, Gecikme (Lag) operatörü ( $L$ ) yardımıyla aşağıdaki kapalı form denklemi ile ifade edilmiştir:

(1 - 0.4L)(1 - 0.6L^4)(1 - L)(1 - L^4)Y_t = (1 + 0.2L - 0.1L^2)(1 + 0.5L^4)\varepsilon_t

Buna göre, tahmin edilen bu mevsimsel zaman serisi modelinin standart $SARIMA(p,d,q)(P,D,Q)_s$ gösterimi aşağıdakilerden hangisidir?

SARIMA(1,1,2)(1,1,1)_4

SARIMA(1,1,1)(1,1,2)_4

SARIMA(2,1,1)(1,1,1)_4

SARIMA(1,0,2)(1,0,1)_4

SARIMA(1,1,2)(4,1,4)_4

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $SARIMA(1,1,2)(1,1,1)_4$

Cevap

Modelin standart gösterimi

SARIMA(1,1,2)(1,1,1)_4

şeklindedir.

Denklem ele alındığında; sol tarafta yer alan fark alma operatörlerinden

(1-L)

'nin üssü 1 olduğu için mevsimsel olmayan fark alma derecesi

d=1

,

(1-L^4)

operatörünün üssü 1 olduğu için mevsimsel fark alma derecesi

D=1

'dir. Sol taraftaki

(1-0.4L)

polinomu 1. derece olduğu için

p=1

,

(1-0.6L^4)

polinomu mevsimsel olarak 1. derece olduğu için

P=1

'dir. Sağ taraftaki mevsimsel olmayan MA polinomu

(1+0.2L-0.1L^2)

en yüksek ikinci dereceden gecikme içerdiği için

q=2

, mevsimsel MA polinomu

(1+0.5L^4)

ise

Q=1

'i verir. Bu nedenle tüm parametrelerin doğru sırayla yerleştirilmiş hali

SARIMA(1,1,2)(1,1,1)_4

şeklindedir.

Adım Adım Çözüm

1

Verinin periyodunu (

s

) belirleme

Çeyreklik (üç aylık) veri olduğu ve mevsimsel gecikmeler

L^4

olarak ifade edildiği için periyot

s=4

'tür.

Mevsimsel modellerde

s

alt indisi, verinin bir yıl içindeki frekansını yansıtır.

2

Fark alma derecelerini (

d

ve

D

) saptama

Eşitliğin sol tarafındaki

(1 - L)

terimi mevsimsel olmayan birinci dereceden farkı (

d=1

),

(1 - L^4)

terimi ise mevsimsel birinci dereceden farkı (

D=1

) temsil eder.

Durağanlaştırma işlemleri gecikme operatörünün yalın biçimleriyle gösterilir.

3

Otoregresif (AR) polinom derecelerini (

p

ve

P

) belirleme

Sol taraftaki

(1 - 0.4L)

polinomunun en yüksek gecikmesi 1 olduğu için

p=1

'dir.

(1 - 0.6L^4)

polinomu tek bir mevsimsel gecikme bloğu içerdiğinden

P=1

'dir.

Eşitliğin sol tarafında (

Y_t

ile çarpım durumunda) yer alan katsayılı polinomlar AR süreçlerini tanımlar.

4

Hareketli Ortalama (MA) polinom derecelerini (

q

ve

Q

) belirleme

Sağ taraftaki

(1 + 0.2L - 0.1L^2)

polinomu en yüksek 2. gecikmeye (

L^2

) sahip olduğu için

q=2

'dir.

(1 + 0.5L^4)

polinomu tek mevsimsel gecikme içerdiğinden

Q=1

'dir.

Eşitliğin sağ tarafında (hata terimi

\varepsilon_t

ile çarpım durumunda) yer alan polinomlar MA süreçlerini tanımlar.

Anahtar Kavram

Mevsimsel ARIMA (SARIMA) Modellerinin Kapalı Form Denklemleri

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 15Soru →

Bir kamu kurumunda görevli uzman, aylık enerji tüketim verilerini kullanarak bir zaman serisi öngörü modeli kurmayı planlamaktadır. Verilerin düzey değerleri (orijinal seri) üzerinden sabitli ve trendli modele göre Genişletilmiş Dickey-Fuller (ADF) birim kök testini uygulamıştır. Analiz sonucunda $\tau$ (tau) test istatistiği $-2,15$ , $\%5$ anlamlılık düzeyindeki MacKinnon tablo kritik değeri ise $-3,41$ olarak bulunmuştur.

Bu sonuçlar doğrultusunda, uzmanın test sonucunu yorumlaması ve uygulaması gereken istatistiksel yaklaşım aşağıdakilerden hangisinde doğru ifade edilmiştir?

Hesaplanan test istatistiği negatif olduğu için temel hipotez reddedilir; seri düzeyde durağan kabul edilerek herhangi bir fark alma işlemi uygulanmadan model tahmin edilmelidir.

Birim kök testi sonucunda serinin durağan olduğu belirlenmiştir; ancak modele eklenecek gecikme uzunluğunu saptamak için Kısmi Otokorelasyon (PACF) grafiğindeki sönümlenme davranışına bakılmalıdır.

Test istatistiği kritik değerden cebirsel olarak daha büyük olduğundan birim kök hipotezi geçerliliğini korur; seri durağan değildir ve serinin birinci farkı alınmalıdır.

Test verileri serinin birim kök içerdiğini gösterdiğinden, durağanlığı sağlamak amacıyla fark alma yöntemi yerine serideki döngüsel hareketler ve deterministik trend bileşenleri ayrıştırılmalıdır.

Sınama değeri tablo değerinden daha büyük olduğu için seri sıfırıncı dereceden entegre kabul edilir; fakat olası tahmin hatalarını önlemek adına serinin ikinci dereceden farkı alınmalıdır.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Test istatistiği kritik değerden cebirsel olarak daha büyük olduğundan birim kök hipotezi geçerliliğini korur; seri durağan değildir ve serinin birinci farkı alınmalıdır.

Cevap

Test istatistiği (

-2,15

) kritik değerden (

-3,41

) cebirsel olarak daha büyük olduğu için birim kök temel hipotezi (

H_0

) reddedilemez. Seri durağan değildir ve modelleme yapılabilmesi için serinin birinci farkı alınmalıdır.

Genişletilmiş Dickey-Fuller (ADF) testinde temel hipotez (

H_0

), serinin birim köke sahip olduğunu (durağan olmadığını) varsayar. Karar kuralına göre, hesaplanan

\tau

(tau) istatistiği, tablo kritik değerinden cebirsel olarak daha küçük (daha negatif) ise

H_0

reddedilir. Verilen durumda

-2,15

değeri,

-3,41

kritik değerinden daha büyüktür (

-2,15 > -3,41

). Bu nedenle

H_0

reddedilemez ve serinin durağan olmadığı sonucuna varılır. Durağan olmayan bir zaman serisini durağan hale getirmek için uygulanması gereken temel istatistiksel işlem, serinin birinci dereceden farkının alınmasıdır.

Adım Adım Çözüm

1

ADF testinin hipotezlerini belirleme

H_0

: Seri birim kök içerir (durağan değildir).

H_1

: Seri birim kök içermez (durağandır).

Birim kök testlerinin mantığını ve reddedilme koşullarını doğru kurgulamak.

2

Test istatistiği ile kritik değeri karşılaştırma

Hesaplanan test istatistiği (

-2,15

),

\%5

anlamlılık düzeyindeki kritik değerden (

-3,41

) cebirsel olarak daha büyüktür (

-2,15 > -3,41

).

Sıfır hipotezinin reddedilip reddedilemeyeceğine karar vermek.

3

İstatistiksel kararı verme ve sonraki adımı belirleme

H_0

reddedilemez. Seri düzey değerlerinde durağan değildir. Durağanlığı sağlamak için serinin birinci farkı (

\Delta Y_t

) alınmalıdır.

Zaman serilerinde sahte regresyondan kaçınmak için analizlerin durağan serilerle yapılması zorunludur.

Anahtar Kavram

Genişletilmiş Dickey-Fuller (ADF) Testi Karar Kuralı ve Fark Alma İşlemi

Tahmini Süre:1m 0s

Soru 16Soru →

Ortalaması sıfır olan bir $Y_t$ zaman serisi, gecikme operatörü ( $B$ ) kullanılarak aşağıdaki gibi Otoregresif Hareketli Ortalama, ARMA(1,1), süreci olarak modellenmiştir:

(1 - \phi_1 B)Y_t = (1 - \theta_1 B)\varepsilon_t

Burada $\varepsilon_t$ , sıfır ortalamalı ve sabit varyanslı beyaz gürültü (white noise) sürecidir.

Bu modelin hem durağanlık hem de tersinirlik koşullarını aynı anda sağlaması için parametrelerin alması gereken değer aralıkları ve serinin teorik otokorelasyon fonksiyonu (ACF) ile kısmi otokorelasyon fonksiyonunun (PACF) davranışı hakkında aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

|\phi_1| < 1

ve

|\theta_1| < 1

olmalıdır; ayrıca hem ACF hem de PACF grafikleri yavaş yavaş sönümlenir.

|\phi_1| > 1

ve

|\theta_1| > 1

olmalıdır; bu durumda hem ACF hem de PACF belirli bir gecikmeden sonra aniden kesilir.

Yalnızca

|\theta_1| < 1

olması durağanlık için yeterlidir; ACF birinci gecikmeden sonra aniden kesilir.

|\phi_1| = 1

olmalıdır ve seriyi durağanlaştırmak için birinci farkı alınmalıdır; PACF yavaş yavaş sönümlenir.

|\phi_1| < 1

ve

|\theta_1| < 1

olmalıdır; ancak ACF birinci gecikmeden sonra kesilirken PACF yavaş yavaş sönümlenir.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $|\phi_1| < 1$ ve $|\theta_1| < 1$ olmalıdır; ayrıca hem ACF hem de PACF grafikleri yavaş yavaş sönümlenir.

Cevap

Durağanlık ve tersinirlik için parametrelerin mutlak değerlerinin 1'den küçük olması (|φ₁| < 1 ve |θ₁| < 1) ve karma model olduğu için her iki fonksiyonun da yavaş yavaş sönümlenmesi gerektiğini belirten seçenektir.

Bir ARMA(1,1) modelinin durağan olabilmesi için otoregresif kısmın karakteristik kökünün mutlak değerce 1'den büyük olması, yani

|1/\phi_1| > 1 \implies |\phi_1| < 1

koşulunu sağlaması gerekir. Tersinirlik için ise hareketli ortalama kısmının kökü birim çemberin dışında olmalıdır, bu da benzer şekilde

|\theta_1| < 1

anlamına gelir. Ayrıca, karma (ARMA) modellerde hem AR hem de MA bileşenleri aktif olduğu için, teorik ACF ve PACF grafiklerinin hiçbiri belirli bir gecikmede aniden kesilmez; her ikisi de artan gecikmelerle birlikte üstel ya da sinüzoidal bir biçimde sönümlenme eğilimi gösterir.

Adım Adım Çözüm

1

Durağanlık koşulunu değerlendirme

AR(1) bileşeni olan

(1 - \phi_1 B)

için karakteristik denklem

1 - \phi_1 B = 0

'dır ve kökü

B = 1/\phi_1

'dir. Serinin durağan olması için bu kökün birim çemberin dışında kalması gerekir:

|1/\phi_1| > 1 \implies |\phi_1| < 1

.

Zaman serisinin geçmiş şoklarının etkisinin zamanla kaybolması (durağanlık) için AR karakteristik kökleri mutlak değerce 1'den büyük olmalıdır.

2

Tersinirlik koşulunu değerlendirme

MA(1) bileşeni olan

(1 - \theta_1 B)

için karakteristik denklem

1 - \theta_1 B = 0

'dır ve kökü

B = 1/\theta_1

'dir. Tersinirlik için bu kök de birim çemberin dışında olmalıdır:

|1/\theta_1| > 1 \implies |\theta_1| < 1

.

Modelin şimdiki değerinin tümüyle geçmiş gözlemler cinsinden ifade edilebilmesi (tersinirlik) için MA kökleri mutlak değerce 1'den büyük olmalıdır.

3

ACF ve PACF davranışını belirleme

Model bir ARMA(1,1) modelidir. İçerisinde hem otoregresif (AR) hem de hareketli ortalama (MA) bileşeni bulundurduğu için ne ACF grafiği ne de PACF grafiği belirli bir gecikmede aniden sıfıra düşerek kesilir. Her ikisi de sonsuza uzanan gecikmeler boyunca yavaş yavaş (üstel veya sinüzoidal olarak) sönümlenir.

Saf AR modellerinin PACF'si, saf MA modellerinin ise ACF'si aniden kesilir. ARMA modellerinde bu kesilme gözlenmez.

Anahtar Kavram

ARMA Modellerinde Durağanlık, Tersinirlik ve Otokorelasyon Fonksiyonları

Soru 17Soru →

Bir veri bilimci, bir e-ticaret platformunun aylık satış hacmi verilerini analiz etmektedir. Serinin zaman yolu grafiği incelendiğinde, satışlardaki genel artış eğilimiyle (trend) eş zamanlı olarak, yıl içindeki dalgalanmaların tepe ve dip noktaları arasındaki mesafenin (genliğin) de giderek açıldığı açıkça görülmektedir. Veri bilimci, seriyi bileşenlerine ayrıştırmak için standart toplanabilir (additive) model olan $Y_t = T_t + S_t + C_t + I_t$ eşitliğini varsaymış ve mevsimsel etkileri tüm yıllar için sabit miktarlar olarak hesaplayıp seriden çıkarmıştır.

Buna göre, veri bilimcinin serinin doğasına uygun olmayan bu ayrıştırma modelini seçmesinin, elde edilen düzensiz bileşen ( $I_t$ ) üzerinde yaratacağı en muhtemel etki aşağıdakilerden hangisidir?

Trendin düşük olduğu başlangıç dönemlerinde sabit mevsimsel değerlerin çıkarılması aşırı düzeltmeye yol açıp düzensiz bileşende ters yönlü dalgalar yaratırken; trendin yüksek olduğu son dönemlerde eksik düzeltme nedeniyle düzensiz bileşende varyansı artan bir kalıntı mevsimsellik oluşacaktır.

Dalgalanmaların genliğindeki bu yapısal artış mevsimsel değil döngüsel bir hareketin göstergesi olduğundan, toplanabilir model bu etkiyi ayıklayamayacak ve periyodu 1 yıldan uzun olan dalgalanmalar tamamen düzensiz bileşene geçecektir.

Toplanabilir modelin yapısı gereği mevsimsel indekslerin toplamı sıfır olmak zorunda olduğundan, arındırma işlemi yalnızca doğrusal trendi silecek ve düzensiz bileşen hatalı bir şekilde

SARIMA(0,0,0)(1,0,0)_{12}

sürecine dönüşecektir.

Modelin serideki değişen varyans (heteroskedastisite) sorununu dikkate almamış olması, trend bileşeni tahmin edicilerinin yansızlığını (unbiasedness) kaybetmesine ve dolayısıyla düzensiz bileşenin ortalamasının sıfırdan sapmasına neden olacaktır.

Çarpımsal özellik gösteren serilerde toplanabilir model kullanıldığında, ayrıştırma hatalarını telafi etmek için seriye ardışık olarak birinci dereceden düzenli fark işlemi (

\Delta Y_t

) uygulanması düzensiz bileşeni anında durağan beyaz gürültüye dönüştürecektir.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Trendin düşük olduğu başlangıç dönemlerinde sabit mevsimsel değerlerin çıkarılması aşırı düzeltmeye yol açıp düzensiz bileşende ters yönlü dalgalar yaratırken; trendin yüksek olduğu son dönemlerde eksik düzeltme nedeniyle düzensiz bileşende varyansı artan bir kalıntı mevsimsellik oluşacaktır.

Cevap

Trendin düşük olduğu başlangıç dönemlerinde sabit mevsimsel değerlerin çıkarılması aşırı düzeltmeye yol açıp düzensiz bileşende ters yönlü dalgalar yaratırken; trendin yüksek olduğu son dönemlerde eksik düzeltme nedeniyle düzensiz bileşende varyansı artan bir kalıntı mevsimsellik oluşacaktır.

Seri yapısı gereği çarpımsal (multiplicative) olduğu halde toplanabilir (additive) modelle ayrıştırıldığında, model zaman içinde büyüyen mevsimsel genliği yakalayamaz. Mevsimsel etki tüm yıllar için tek bir ortalama miktar olarak hesaplandığından; trendin düşük olduğu eski yıllarda bu sabit miktar gerçek mevsimsel sapmadan çok daha büyük olur ve seriden çıkarıldığında negatife doğru aşırı bir düzeltme yapar. Trendin yüksek olduğu güncel yıllarda ise sabit miktar gerçek mevsimsel sapmanın çok altında kalır ve eksik düzeltmeye yol açar. Modelin açıklayamadığı bu artık yapı doğrudan düzensiz (tesadüfi) bileşene aktarılacağı için; düzensiz bileşen beyaz gürültü olmak yerine, varyansı giderek artan ve içinde mevsimsel dalgalar barındıran (kalıntı mevsimsellik) deterministik bir örüntü sergileyecektir.

Adım Adım Çözüm

1

Serinin gerçek veri üretim sürecini (DGP) belirleme.

Genliği trendle orantılı artan dalgalanmalar serinin çarpımsal (multiplicative) yapıda olduğunu gösterir.

Dalgalanma boyutu serinin düzeyine (trendine) bağlıysa, teorik model

Y_t = T_t \times S_t \times C_t \times I_t

şeklinde olmalıdır.

2

Araştırmacının kullandığı modeli ve varsayımlarını analiz etme.

Araştırmacı toplanabilir (additive) model kullanmıştır. Bu modelde mevsimsellik zaman içinde sabit bir miktar olarak (

S_t = Sabit

) hesaplanır ve seriden doğrudan çıkarılır.

Toplanabilir modellerde bileşenler birbirinden bağımsız kabul edilir, oransal bir büyüme modellenemez.

3

Yanlış modelin matematiksel sonucunu dönemlere göre değerlendirme.

Tüm seriden çıkarılan 'sabit mevsimsel miktar'; trendin düşük olduğu ilk yıllar için çok büyük kalacak (aşırı düzeltme), trendin yüksek olduğu son yıllar için ise çok yetersiz kalacaktır (eksik düzeltme).

Model, değişen mevsimsel genliği tek bir genel ortalama genlik değeriyle açıklamaya çalışmaktadır.

4

Aşırı ve eksik düzeltmenin düzensiz bileşen (

I_t

) üzerindeki etkisini tespit etme.

Modele uymayan tüm sistematik hareketler mecburen düzensiz bileşene yansır. Bu nedenle hata terimi, varyansı zamanla artan ve içinde belirgin mevsimsel izler barındıran bir şekle bürünür.

Ayrıştırma algoritmaları yakalayamadığı her yapısal kalıntıyı rastgele (düzensiz) bileşen içinde bırakır.

Anahtar Kavram

Zaman Serilerinde Çarpımsal ve Toplanabilir Modellerin Ayrıştırma Dinamikleri

Soru 18Soru →

Bir kamu kurumu, belirli bir hizmete olan aylık talebi öngörmek için iki farklı zaman serisi modeli (Model I ve Model II) geliştirmiştir. Son dört aya ait gerçekleşen talep değerleri ( $Y_t$ ) ve bu modellere ait öngörü değerleri ( $F_{1t}$ ve $F_{2t}$ ) aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Ay ( $t$ )	Gerçekleşen ( $Y_t$ )	Model I Öngörüsü ( $F_{1t}$ )	Model II Öngörüsü ( $F_{2t}$ )
1	10	10	6
2	20	20	16
3	30	30	26
4	40	24	36

Bu iki modelin performansının Ortalama Mutlak Hata (MAE) ve Hata Kareleri Ortalaması (MSE) ölçütlerine göre karşılaştırılmasıyla ilgili aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

Her iki modelin MAE değerleri eşit olmasına karşın, büyük öngörü hatalarını daha çok cezalandıran MSE ölçütü dikkate alındığında Model II daha başarılıdır.

Model I'in MAE değeri daha küçüktür, çünkü dört dönemin üçünde hiçbir hata yapmamıştır ve ortalama mutlak sapması daha düşüktür.

Her iki modelin MSE değerleri birbirine eşittir, ancak Model I sadece bir dönemde sapma gösterdiği için uygulamada daha güvenilirdir.

Model I'in MSE değeri Model II'den daha küçüktür, çünkü Model II tüm dönemlerde sistematik olarak hata yaparken, Model I sadece tek bir dönemde hata yapmıştır.

Model II'nin hem MAE hem de MSE değerleri Model I'den daha büyüktür; bu durum, Model II'nin gerçek değerlerden tutarlı bir şekilde uzaklaştığını gösterir.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Her iki modelin MAE değerleri eşit olmasına karşın, büyük öngörü hatalarını daha çok cezalandıran MSE ölçütü dikkate alındığında Model II daha başarılıdır.

Cevap

Her iki modelin MAE değerleri eşit olmasına karşın, büyük öngörü hatalarını daha çok cezalandıran MSE ölçütü dikkate alındığında Model II daha başarılıdır.

Yapılan hesaplamalarda Model I'in hata değerleri (0, 0, 0, 16) iken Model II'nin hata değerleri (4, 4, 4, 4) olarak bulunmuştur. MAE hesaplamasında mutlak değerler toplandığından her ikisinin de MAE değeri 4'e eşittir (16/4=4). Ancak MSE hesaplanırken hataların karesi alındığı için Model I'deki 16 birimlik sapmanın karesi 256 olur ve Model I'in MSE değeri 64'e fırlar. Model II'de ise tüm sapmaların karesi 16 olup MSE değeri yine 16 çıkar. MSE'nin temel teorik özelliği olan 'büyük sapmaları aşırı cezalandırma' mantığı gereği, nadir de olsa büyük bir hata yapmayan Model II'nin MSE'si daha küçük çıktığından daha başarılıdır.

Adım Adım Çözüm

1

Model I için hataları (

e_{1t}

) tespit etme ve hata ölçütlerini (MAE ve MSE) hesaplama.

e_{1t}

değerleri sırasıyla:

10-10=0

,

20-20=0

,

30-30=0

,

40-24=16

.
MAE_1 =

(|0| + |0| + |0| + |16|) / 4 = 16 / 4 = 4

.
MSE_1 =

(0^2 + 0^2 + 0^2 + 16^2) / 4 = 256 / 4 = 64

.

Zaman serisi öngörü performansını değerlendirmek için mutlak sapmaların ve sapmaların karelerinin ortalaması bulunmalıdır.

2

Model II için hataları (

e_{2t}

) tespit etme ve hata ölçütlerini (MAE ve MSE) hesaplama.

e_{2t}

değerleri sırasıyla:

10-6=4

,

20-16=4

,

30-26=4

,

40-36=4

.
MAE_2 =

(|4| + |4| + |4| + |4|) / 4 = 16 / 4 = 4

.
MSE_2 =

(4^2 + 4^2 + 4^2 + 4^2) / 4 = 64 / 4 = 16

.

Her iki modelin doğrudan karşılaştırılabilmesi için aynı ölçütlerin hesaplanması zorunludur.

3

Elde edilen sonuçları (MAE: 4 vs 4) ve (MSE: 64 vs 16) kıyaslayıp uygun modeli belirleme.

MAE değerleri eşittir (4 = 4). Ancak Model II'nin MSE değeri (16), Model I'in MSE değerinden (64) çok daha küçüktür.

MSE, hatanın karesini alarak hesaplandığı için uç değerlere (Model I'deki 16 birimlik hata gibi) çok daha duyarlıdır. Dolayısıyla büyük sapmalardan kaçınılmak istendiğinde daha düşük MSE veren Model II tercih edilmelidir.

Anahtar Kavram

Hata Kareleri Ortalaması (MSE) ölçütünün Ortalama Mutlak Hata (MAE) ölçütüne göre aşırı uç hatalara (outliers) karşı çok daha hassas ve cezalandırıcı olması durumu.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 19Soru →

Aylık frekansta kaydedilen bir zaman serisinin analizinde, durağanlaştırma işlemleri sonrasında belirlenen uygun modelin kapalı form denklemi geri kaydırma (backshift, $B$ ) operatörü kullanılarak aşağıdaki gibi elde edilmiştir:

(1 - \phi_1 B - \phi_2 B^2)(1 - B)(1 - B^{12}) Y_t = (1 - \Theta_1 B^{12}) \epsilon_t

Buna göre, bu seriye ait modelin genel $\text{SARIMA} (p, d, q)(P, D, Q)_s$ gösterimi ve durağanlaştırılmış serinin teorik mevsimsel otokorelasyon (ACF) ile kısmi otokorelasyon (PACF) davranışları aşağıdakilerden hangisinde doğru verilmiştir?

Model:

\text{SARIMA}(2, 1, 0)(0, 1, 1)_{12}

; ACF 12. gecikmede kesilir, PACF mevsimsel gecikmelerde sönümlenir.

Model:

\text{SARIMA}(2, 1, 0)(0, 1, 1)_{12}

; ACF mevsimsel gecikmelerde sönümlenir, PACF 12. gecikmede kesilir.

Model:

\text{SARIMA}(0, 1, 1)(2, 1, 0)_{12}

; ACF 12. gecikmede kesilir, PACF mevsimsel gecikmelerde sönümlenir.

Model:

\text{SARIMA}(2, 1, 0)(1, 1, 0)_{12}

; ACF mevsimsel gecikmelerde sönümlenir, PACF 12. gecikmede kesilir.

Model:

\text{SARIMA}(2, 2, 0)(0, 0, 1)_{12}

; ACF 12. gecikmede kesilir, PACF mevsimsel gecikmelerde sönümlenir.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Model: $\text{SARIMA}(2, 1, 0)(0, 1, 1)_{12}$ ; ACF 12. gecikmede kesilir, PACF mevsimsel gecikmelerde sönümlenir.

Cevap

Doğru cevap, modelin SARIMA(2, 1, 0)(0, 1, 1)₁₂ olduğu ve mevsimsel MA(1) bileşeninden dolayı ACF'nin 12. gecikmede kesilip PACF'nin mevsimsel gecikmelerde sönümlendiğini belirten seçenektir.

Verilen denklem incelendiğinde eşitliğin sol tarafında yer alan

(1 - \phi_1 B - \phi_2 B^2)

terimi 2. dereceden mevsimsel olmayan otoregresif (AR) bileşeni (

p=2

),

(1 - B)

terimi 1. dereceden mevsimsel olmayan farkı (

d=1

),

(1 - B^{12})

terimi ise 1. dereceden mevsimsel farkı (

D=1

) ifade eder. Eşitliğin sağ tarafındaki

(1 - \Theta_1 B^{12})

terimi ise 1. dereceden mevsimsel hareketli ortalama (MA) bileşenini (

Q=1

) gösterir. Denklemde mevsimsel AR (

P=0

) ve mevsimsel olmayan MA (

q=0

) terimleri bulunmamaktadır. Bu nedenle model

\text{SARIMA}(2, 1, 0)(0, 1, 1)_{12}

şeklindedir. Mevsimsel kısım sadece MA(1) yapısına sahip olduğu için, teorik olarak ACF grafiğinde mevsimsel gecikmelerde (sadece 12. gecikmede) anlamlı bir sivrilik görülüp kesilme yaşanırken, PACF grafiğinde mevsimsel gecikmeler boyunca sönümlenme gözlenir.

Adım Adım Çözüm

1

Eşitliğin sol tarafındaki mevsimsel olmayan terimlerin incelenmesi

(1 - \phi_1 B - \phi_2 B^2)

teriminden p=2 ve

(1 - B)

teriminden d=1 olduğu belirlenir.

Sol taraftaki B'nin üssü 1 olan polinomlar mevsimsel olmayan AR yapısını,

(1 - B)

operatörü ise mevsimsel olmayan durağanlaştırmayı gösterir.

2

Eşitliğin sol tarafındaki mevsimsel terimlerin incelenmesi

Mevsimsel AR terimi yoktur (P=0). Ancak

(1 - B^{12})

terimi bulunduğundan mevsimsel fark derecesi D=1'dir.

B'nin 12. üssünü içeren fark operatörü, serinin aylık mevsimsellik barındırdığını (s=12) ve mevsimsel olarak bir kez farkının alındığını gösterir.

3

Eşitliğin sağ tarafındaki terimlerin incelenmesi

Mevsimsel olmayan MA terimi yoktur (q=0).

(1 - \Theta_1 B^{12})

teriminden dolayı mevsimsel MA derecesi Q=1'dir.

Sağ taraftaki hata terimine (

\epsilon_t

) uygulanan operatörler Hareketli Ortalama (MA) bileşenini ifade eder.

4

Elde edilen derecelerin birleştirilmesi

Modelin genel gösteriminin

\text{SARIMA}(2, 1, 0)(0, 1, 1)_{12}

olduğu kesinleşir.

p=2, d=1, q=0 (Mevsimsel olmayan kısımlar) ve P=0, D=1, Q=1 (Mevsimsel kısımlar).

5

Mevsimsel yapıya göre teorik ACF ve PACF davranışının belirlenmesi

Mevsimsel kısım yalnızca MA(1) olduğundan, ACF'de mevsimsel gecikmelerde (12'de) kesilme görülürken, PACF'de mevsimsel gecikmeler boyunca sönümlenme gerçekleşir.

Teorik olarak Hareketli Ortalama (MA) modellerinde Otokorelasyon Fonksiyonu (ACF) ilgili gecikmede ani bir kesilme (cut-off) gösterirken, Kısmi Otokorelasyon Fonksiyonu (PACF) yavaşça sönümlenir (tails off).

Anahtar Kavram

Mevsimsel Zaman Serisi Modellerinde (SARIMA) Backshift (Gecikme) Operatörü ile Parametre Tespiti ve Teorik ACF/PACF Davranışlarının Yorumlanması

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 20Soru →

Bir finansal zaman serisi analizinde, serinin Otokorelasyon Fonksiyonu (ACF) grafiğinde sadece ilk iki gecikmenin istatistiksel olarak sıfırdan farklı olduğu ve ardından aniden kesildiği, Kısmi Otokorelasyon Fonksiyonu (PACF) grafiğinde ise katsayıların sinüs dalgaları şeklinde sönümlenerek azaldığı gözlemlenmiştir.

Bu bulgular ışığında, serinin dinamiklerini yansıtmak üzere $Y_t = \mu + \varepsilon_t - \theta_1 \varepsilon_{t-1} - \theta_2 \varepsilon_{t-2}$ (burada $\varepsilon_t \sim WN(0, \sigma^2)$ ) modeli kurulmuştur.

Buna göre, tahmin edilen bu modelin teorik yapısı dikkate alındığında, sürecin durağanlık durumu ve tersinirliği (invertibility) hakkında aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?

Süreç yapısal olarak her zaman durağandır; ancak modelin tersinir olabilmesi için

1 - \theta_1 B - \theta_2 B^2 = 0

karakteristik denkleminin köklerinin birim çemberin dışında yer alması şarttır.

ACF grafiği aniden kesildiği için süreç AR(2) modelidir; durağanlık için karakteristik denklemin köklerinin birim çemberin dışında olması gerekirken, tersinirlik koşulu kendiliğinden sağlanır.

Model yapısı gereği her durumda tersinirdir; fakat sürecin durağan olabilmesi için

\theta_1

ve

\theta_2

parametrelerinin mutlak değer kısıtlarını (

|\theta_2| < 1

vb.) eş anlı olarak sağlaması zorunludur.

Sürecin durağanlığından söz edebilmek için seriye mutlaka birinci dereceden fark alma işleminin uygulanması gerekir; tersinirlik ise hata varyansı sabit kaldığı sürece geçerlidir.

Hem ACF'nin hem de PACF'nin davranışları sürecin ARMA(1,2) olduğuna işaret eder; bu nedenle durağanlık ve tersinirlik koşulları hata terimlerinin dağılım parametreleriyle birlikte değerlendirilmelidir.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Süreç yapısal olarak her zaman durağandır; ancak modelin tersinir olabilmesi için $1 - \theta_1 B - \theta_2 B^2 = 0$ karakteristik denkleminin köklerinin birim çemberin dışında yer alması şarttır.

Cevap

Süreç yapısal olarak her zaman durağandır; ancak modelin tersinir olabilmesi için

1 - \theta_1 B - \theta_2 B^2 = 0

karakteristik denkleminin köklerinin birim çemberin dışında yer alması şarttır.

Otokorelasyon Fonksiyonunun (ACF) belirli bir gecikmeden sonra aniden sıfır olması ve Kısmi Otokorelasyon Fonksiyonunun (PACF) sönümlenerek azalması Hareketli Ortalama (MA) modellerinin temel ayırıcı özelliğidir. Bir MA süreci, sonlu sayıdaki beyaz gürültü teriminin kombinasyonu olduğu için parametrelerinden bağımsız olarak her zaman koşulsuz durağandır. Ancak, MA sürecinin güncel gözlemlerinin, geçmiş gözlemlerin ağırlıklandırılmış bir toplamı (AR(∞)) şeklinde ifade edilebilmesi anlamına gelen tersinirlik (invertibility) durumu her zaman geçerli değildir. Modelin tersinir olabilmesi için, modelin

1 - \theta_1 B - \theta_2 B^2 = 0

şeklinde yazılan karakteristik denkleminin köklerinin mutlak değer olarak 1'den büyük olması, diğer bir ifadeyle birim çemberin dışında yer alması gerekmektedir.

Adım Adım Çözüm

1

ACF ve PACF grafiklerinin davranışlarını Box-Jenkins kurallarına göre analiz etmek.

ACF'nin 2. gecikmede aniden kesilmesi ve PACF'nin sönümlenerek azalması, serinin MA(2) sürecine uygun olduğunu doğrular.

Teorik olarak MA(q) modellerinde otokorelasyon fonksiyonu q gecikmeden sonra sıfıra düşerken, kısmi otokorelasyon sönümlenir.

2

MA(2) modelinin durağanlık koşulunu değerlendirmek.

MA modelleri, sonlu sayıdaki sabit varyanslı hata teriminin toplamından oluştuğu için katsayı değerlerinden bağımsız olarak her koşulda durağandır.

Bir zaman serisinin beklenen değeri ve varyansı zamana bağlı olarak değişmiyorsa seri durağandır.

3

MA(2) modelinin tersinirlik (invertibility) koşulunu değerlendirmek.

Modelin tersinir olabilmesi (sonsuz AR süreci olarak ifade edilebilmesi) için karakteristik denklem kökleri birim çemberin dışında kalmalıdır.

Geçmiş şokların sisteme etkisinin zamanla azalarak yok olması için,

\theta(B)

polinomunun köklerinin mutlak değerce 1'den büyük olması matematiksel bir zorunluluktur.

Anahtar Kavram

Hareketli Ortalama (MA) Modellerinde Durağanlık ve Tersinirlik

Zaman Serileri Analizi

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram