Examkin

ARMA Modelleri

16 soru

Soru 1Soru →

Bir zaman serisi araştırmacısı, ortalamadan arındırılmış YtY_t serisi için gecikme (backshift) operatörü (BB) kullanarak aşağıdaki ARMA(1,1) modelini tahmin etmiştir:

(1−0,6B)Yt=(1+1,2B)εt(1 - 0,6B)Y_t = (1 + 1,2B)\varepsilon_t

(Burada εt\varepsilon_t, sıfır ortalamalı ve sabit varyanslı beyaz gürültü sürecidir.)

Bu modelin yapısı ve teorik özellikleri dikkate alındığında, aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Modelin otoregresif (AR) kısmı durağanlık koşulunu sağlarken, hareketli ortalama (MA) kısmı tersinirlik (invertibility) koşulunu sağlamamaktadır.

Cevap

Modelin otoregresif (AR) kısmı durağanlık koşulunu sağlarken, hareketli ortalama (MA) kısmı tersinirlik (invertibility) koşulunu sağlamamaktadır.
Verilen model (1−ϕ1B)Yt=(1+θ1B)εt(1 - \phi_1 B)Y_t = (1 + \theta_1 B)\varepsilon_t formunda bir ARMA(1,1) sürecidir. Bir ARMA modelinin durağan olabilmesi için AR karakteristik denkleminin (1−0,6B=01 - 0,6B = 0) köklerinin mutlak değerce 1'den büyük olması gerekir. B=1,66B = 1,66 olup ∣1,66∣>1|1,66| > 1 olduğundan model durağandır. Tersinirlik (invertibility) için ise MA karakteristik denkleminin (1+1,2B=01 + 1,2B = 0) köklerinin de mutlak değerce 1'den büyük olması zorunludur. Ancak bu denklemin kökü B=−0,833B = -0,833 olup mutlak değeri 1'den küçüktür (∣−0,833∣<1|-0,833| < 1). Bu nedenle kök birim çemberin içinde yer alır ve model tersinirlik koşulunu sağlamaz. Sonuç olarak modelin AR kısmı durağan iken, MA kısmı tersinir değildir.

Adım Adım Çözüm

1
Modelin AR ve MA polinomlarını gecikme operatörü (BB) üzerinden tanımlama
AR polinomu Φ(B)=1−0,6B\Phi(B) = 1 - 0,6B ve MA polinomu Θ(B)=1+1,2B\Theta(B) = 1 + 1,2B olarak belirlenir.
Durağanlık ve tersinirlik koşulları, sırasıyla AR ve MA karakteristik denklemlerinin kökleri üzerinden incelenir.
2
Durağanlık (Stationarity) koşulunu test etme
Φ(B)=1−0,6B=0\Phi(B) = 1 - 0,6B = 0 denklemi çözülerek B=1/0,6≈1,66B = 1 / 0,6 \approx 1,66 bulunur. ∣1,66∣>1|1,66| > 1 (kök birim çemberin dışında) olduğundan model durağandır.
Bir ARMA modelinin durağan olabilmesi için AR köklerinin mutlak değerce 1'den büyük olması zorunludur.
3
Tersinirlik (Invertibility) koşulunu test etme
Θ(B)=1+1,2B=0\Theta(B) = 1 + 1,2B = 0 denklemi çözülerek B=−1/1,2≈−0,833B = -1 / 1,2 \approx -0,833 bulunur. ∣−0,833∣<1|-0,833| < 1 (kök birim çemberin içinde) olduğundan model tersinir değildir.
Bir modelin tersinir olabilmesi için MA köklerinin mutlak değerce 1'den büyük olması zorunludur.
4
Sonucu değerlendirme
Modelin AR kısmı durağanlık koşulunu sağlarken, MA kısmı tersinirlik koşulunu sağlamamaktadır.
İki testin birleşimi bu temel sonucu ortaya koyar.

Anahtar Kavram

ARMA Modellerinde Durağanlık ve Tersinirlik Koşulları
Soru 2Soru →

Ortalaması sıfır olan bir YtY_t zaman serisi, gecikme operatörü (BB) kullanılarak aşağıdaki gibi Otoregresif Hareketli Ortalama, ARMA(1,1), süreci olarak modellenmiştir:

(1−ϕ1B)Yt=(1−θ1B)εt(1 - \phi_1 B)Y_t = (1 - \theta_1 B)\varepsilon_t

Burada εt\varepsilon_t, sıfır ortalamalı ve sabit varyanslı beyaz gürültü (white noise) sürecidir.

Bu modelin hem durağanlık hem de tersinirlik koşullarını aynı anda sağlaması için parametrelerin alması gereken değer aralıkları ve serinin teorik otokorelasyon fonksiyonu (ACF) ile kısmi otokorelasyon fonksiyonunun (PACF) davranışı hakkında aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: ∣ϕ1∣<1|\phi_1| < 1 ve ∣θ1∣<1|\theta_1| < 1 olmalıdır; ayrıca hem ACF hem de PACF grafikleri yavaş yavaş sönümlenir.

Cevap

Durağanlık ve tersinirlik için parametrelerin mutlak değerlerinin 1'den küçük olması (|φ₁| < 1 ve |θ₁| < 1) ve karma model olduğu için her iki fonksiyonun da yavaş yavaş sönümlenmesi gerektiğini belirten seçenektir.
Bir ARMA(1,1) modelinin durağan olabilmesi için otoregresif kısmın karakteristik kökünün mutlak değerce 1'den büyük olması, yani ∣1/ϕ1∣>1  ⟹  ∣ϕ1∣<1|1/\phi_1| > 1 \implies |\phi_1| < 1 koşulunu sağlaması gerekir. Tersinirlik için ise hareketli ortalama kısmının kökü birim çemberin dışında olmalıdır, bu da benzer şekilde ∣θ1∣<1|\theta_1| < 1 anlamına gelir. Ayrıca, karma (ARMA) modellerde hem AR hem de MA bileşenleri aktif olduğu için, teorik ACF ve PACF grafiklerinin hiçbiri belirli bir gecikmede aniden kesilmez; her ikisi de artan gecikmelerle birlikte üstel ya da sinüzoidal bir biçimde sönümlenme eğilimi gösterir.

Adım Adım Çözüm

1
Durağanlık koşulunu değerlendirme
AR(1) bileşeni olan (1−ϕ1B)(1 - \phi_1 B) için karakteristik denklem 1−ϕ1B=01 - \phi_1 B = 0'dır ve kökü B=1/ϕ1B = 1/\phi_1'dir. Serinin durağan olması için bu kökün birim çemberin dışında kalması gerekir: ∣1/ϕ1∣>1  ⟹  ∣ϕ1∣<1|1/\phi_1| > 1 \implies |\phi_1| < 1.
Zaman serisinin geçmiş şoklarının etkisinin zamanla kaybolması (durağanlık) için AR karakteristik kökleri mutlak değerce 1'den büyük olmalıdır.
2
Tersinirlik koşulunu değerlendirme
MA(1) bileşeni olan (1−θ1B)(1 - \theta_1 B) için karakteristik denklem 1−θ1B=01 - \theta_1 B = 0'dır ve kökü B=1/θ1B = 1/\theta_1'dir. Tersinirlik için bu kök de birim çemberin dışında olmalıdır: ∣1/θ1∣>1  ⟹  ∣θ1∣<1|1/\theta_1| > 1 \implies |\theta_1| < 1.
Modelin şimdiki değerinin tümüyle geçmiş gözlemler cinsinden ifade edilebilmesi (tersinirlik) için MA kökleri mutlak değerce 1'den büyük olmalıdır.
3
ACF ve PACF davranışını belirleme
Model bir ARMA(1,1) modelidir. İçerisinde hem otoregresif (AR) hem de hareketli ortalama (MA) bileşeni bulundurduğu için ne ACF grafiği ne de PACF grafiği belirli bir gecikmede aniden sıfıra düşerek kesilir. Her ikisi de sonsuza uzanan gecikmeler boyunca yavaş yavaş (üstel veya sinüzoidal olarak) sönümlenir.
Saf AR modellerinin PACF'si, saf MA modellerinin ise ACF'si aniden kesilir. ARMA modellerinde bu kesilme gözlenmez.

Anahtar Kavram

ARMA Modellerinde Durağanlık, Tersinirlik ve Otokorelasyon Fonksiyonları
Soru 3Soru →

Bir finansal analist, bir varlığın günlük getiri oranlarını (YtY_t) modellemek amacıyla, LL gecikme operatörünü ve εt\varepsilon_t beyaz gürültü sürecini kullanarak aşağıdaki ARMA modelini önermiştir:

(1−0,2L−cL2)Yt=(1+0,5L−dL2)εt(1 - 0,2L - cL^2)Y_t = (1 + 0,5L - dL^2)\varepsilon_t

Bu modelin zaman serisi analizinde anlamlı öngörüler üretebilmesi için hem durağanlık (stationarity) hem de tersinirlik (invertibility) koşullarını aynı anda sağlaması gerekmektedir.

Buna göre, analistin önerdiği modelde yer alan cc ve dd parametrelerinin alabileceği değer aralıkları aşağıdakilerin hangisinde doğru olarak verilmiştir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: −1<c<0,8-1 < c < 0,8 ve −1<d<0,5-1 < d < 0,5

Cevap

Modelin AR(2) kısmından durağanlık için −1<c<0,8-1 < c < 0,8 aralığı, MA(2) kısmından tersinirlik için ise −1<d<0,5-1 < d < 0,5 aralığı hesaplanır.
Doğru yanıt, hem AR(2) durağanlık hem de MA(2) tersinirlik kısıt üçgenlerini aynı anda sağlayan aralıkları veren seçenektir. ϕ1+ϕ2<1\phi_1 + \phi_2 < 1, ϕ2−ϕ1<1\phi_2 - \phi_1 < 1 ve −1<ϕ2<1-1 < \phi_2 < 1 kısıtlarına ϕ1=0,2\phi_1=0,2 ve ϕ2=c\phi_2=c yerleştirildiğinde c<0,8c < 0,8, c<1,2c < 1,2 ve −1<c<1-1 < c < 1 eşitsizlikleri elde edilir; ortak çözüm −1<c<0,8-1 < c < 0,8'dir. Benzer şekilde MA(2) tersinirlik kısıtları için θ1=−0,5\theta_1=-0,5 ve θ2=d\theta_2=d değerleri standart kısıt denklemlerinde yerine konulduğunda −0,5+d<1  ⟹  d<1,5-0,5 + d < 1 \implies d < 1,5 ve d−(−0,5)<1  ⟹  d<0,5d - (-0,5) < 1 \implies d < 0,5 ve −1<d<1-1 < d < 1 elde edilir; bu eşitsizliklerin ortak çözümü −1<d<0,5-1 < d < 0,5'tir.

Adım Adım Çözüm

1
AR(2) süreci için karakteristik denklemin köklerinin birim çemberin dışında olması şartından türetilen durağanlık kısıtlarını (ϕ1+ϕ2<1\phi_1 + \phi_2 < 1, ϕ2−ϕ1<1\phi_2 - \phi_1 < 1, −1<ϕ2<1-1 < \phi_2 < 1) modeldeki parametrelerle eşleştirmek.
Modelden ϕ1=0,2\phi_1 = 0,2 ve ϕ2=c\phi_2 = c olduğu tespit edilir.
Durağanlık için ikinci dereceden otoregresif modelin üçlü katsayı kısıtlarının aynı anda sağlanması zorunludur.
2
Tespit edilen değerleri eşitsizliklerde yerine koyarak cc için çözüm aralığını bulmak.
0,2+c<1  ⟹  c<0,80,2 + c < 1 \implies c < 0,8 ve c−0,2<1  ⟹  c<1,2c - 0,2 < 1 \implies c < 1,2 ve −1<c<1-1 < c < 1 eşitsizliklerinin kesişimi olarak −1<c<0,8-1 < c < 0,8 aralığı elde edilir.
Parametrenin alabileceği geçerli değerler, her üç koşulu aynı anda sağlayan kesişim kümesidir.
3
MA(2) süreci için tersinirlik kısıtlarını (θ1+θ2<1\theta_1 + \theta_2 < 1, θ2−θ1<1\theta_2 - \theta_1 < 1, −1<θ2<1-1 < \theta_2 < 1) standart (1−θ1L−θ2L2)(1 - \theta_1 L - \theta_2 L^2) formunu kullanarak modele uyarlamak.
Hareketli ortalama polinomu (1+0,5L−dL2)(1 + 0,5L - dL^2) ile (1−θ1L−θ2L2)(1 - \theta_1 L - \theta_2 L^2) eşitlendiğinde, θ1=−0,5\theta_1 = -0,5 ve θ2=d\theta_2 = d bulunur.
Tersinirlik analizi için katsayı işaretlerinin standart MA gösterimine uygun olarak dönüştürülmesi gerekir.
4
Bulunan θ1\theta_1 ve θ2\theta_2 değerlerini kısıt denklemlerine yerleştirip dd için çözüm kümesini elde etmek.
−0,5+d<1  ⟹  d<1,5-0,5 + d < 1 \implies d < 1,5, d−(−0,5)<1  ⟹  d<0,5d - (-0,5) < 1 \implies d < 0,5 ve −1<d<1-1 < d < 1 eşitsizliklerinin kesişiminden −1<d<0,5-1 < d < 0,5 aralığı hesaplanır.
Modelin güncel şokları geçmişe doğru sönümlenen bir formda ifade edebilmesi için (tersinirlik) parametreler bu kesişim aralığında olmalıdır.

Anahtar Kavram

ARMA(p,q) modellerinde ikinci dereceden AR ve MA süreçleri için karakteristik denklem köklerinden elde edilen durağanlık ve tersinirlik kısıt üçgenlerinin analitik çözümü
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 4Soru →

Bir meteoroloji uzmanı, bir bölgedeki aylık sıcaklık anomalilerini (YtY_t) zaman serisi olarak analiz etmektedir. Yapılan analizde, serinin Otokorelasyon Fonksiyonu (ACF) grafiğindeki değerlerin üstel olarak sönümlenerek azaldığı, Kısmi Otokorelasyon Fonksiyonu (PACF) grafiğindeki değerlerin ise 2. gecikmeden (lag) sonra istatistiksel olarak anlamlılık sınırlarının içine girerek aniden kesildiği tespit edilmiştir.

Uzman, bu davranışa dayanarak seriyi BB gecikme (backshift) operatörü ve εt\varepsilon_t beyaz gürültü süreci kullanılarak (1−ϕ1B−ϕ2B2)Yt=εt(1 - \phi_1 B - \phi_2 B^2)Y_t = \varepsilon_t biçiminde modellemiştir.

Buna göre, modellenen sürecin türü ve bu sürecin durağan (stationary) olabilmesi için parametrelerin sağlaması gereken koşullar aşağıdakilerin hangisinde birlikte ve doğru olarak verilmiştir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: AR(2) süreci; ϕ1+ϕ2<1\phi_1 + \phi_2 < 1, ϕ2−ϕ1<1\phi_2 - \phi_1 < 1 ve ∣ϕ2∣<1|\phi_2| < 1

Cevap

Süreç AR(2)'dir ve durağanlık için ϕ1+ϕ2<1\phi_1 + \phi_2 < 1, ϕ2−ϕ1<1\phi_2 - \phi_1 < 1 ve ∣ϕ2∣<1|\phi_2| < 1 koşulları sağlanmalıdır.
Zaman serilerinde Otokorelasyon Fonksiyonunun (ACF) sönümlenmesi ve Kısmi Otokorelasyon Fonksiyonunun (PACF) 2. gecikmeden sonra istatistiksel olarak sıfır olması, sürecin 2. dereceden Otoregresif, yani AR(2) modeli olduğunu net bir şekilde gösterir. AR(2) sürecinin durağan olabilmesi için (1−ϕ1B−ϕ2B2)=0(1 - \phi_1 B - \phi_2 B^2) = 0 karakteristik denkleminin köklerinin birim çemberin dışında yer alması gerekir. Bu kısıt çözüldüğünde parametre uzayında üçgen şeklinde bir durağanlık bölgesi oluşur ve eşitsizlikler şu şekildedir: ϕ1+ϕ2<1\phi_1 + \phi_2 < 1, ϕ2−ϕ1<1\phi_2 - \phi_1 < 1 ve ∣ϕ2∣<1|\phi_2| < 1. Doğru eşleşme bu modeli ve bu üç eşitsizliği içeren seçenektir.

Adım Adım Çözüm

1
Serinin davranışından model türünü belirlemek.
ACF üstel sönümleniyor, PACF ise 2. gecikmede kesiliyor. Bu davranış spesifik olarak 2. dereceden Otoregresif, AR(2), sürecinin imzasındır.
Zaman serilerinde model tanımlama (Box-Jenkins) adımında ACF ve PACF'nin kesilme/sönümlenme özellikleri kullanılır.
2
Verilen denklemde AR(2) gösterimini doğrulamak.
(1−ϕ1B−ϕ2B2)Yt=εt(1 - \phi_1 B - \phi_2 B^2)Y_t = \varepsilon_t denklemi, Yt=ϕ1Yt−1+ϕ2Yt−2+εtY_t = \phi_1 Y_{t-1} + \phi_2 Y_{t-2} + \varepsilon_t şeklindeki standart AR(2) sürecinin gecikme operatörü (BB) ile yazılmış halidir.
Model parametrelerinin işaretlerini ve yapısını matematiksel olarak teyit etmek.
3
AR(2) süreci için durağanlık koşullarını formüle etmek.
Karakteristik denklem olan Φ(B)=1−ϕ1B−ϕ2B2=0\Phi(B) = 1 - \phi_1 B - \phi_2 B^2 = 0'ın köklerinin mutlak değerce 1'den büyük (birim çemberin dışında) olması gerekir. Bu şart, şu üç eşitsizliğin eş zamanlı sağlanmasıyla elde edilir: ϕ1+ϕ2<1\phi_1 + \phi_2 < 1, ϕ2−ϕ1<1\phi_2 - \phi_1 < 1, ∣ϕ2∣<1|\phi_2| < 1.
Serinin zaman içinde varyansının patlamaması (sabit kalması) için köklerin durağanlık sınırları içinde olması matematiksel bir zorunluluktur.

Anahtar Kavram

AR(p) ve MA(q) Modellerinin ACF/PACF Davranışları ve Durağanlık Koşulları
Soru 5Soru →

Bir istatistik uzmanı, bir ülkenin sanayi üretim endeksindeki aylık değişimleri incelemektedir. Uzman, seriyi ortalamadan arındırdıktan sonra YtY_t serisi için BB gecikme (backshift) operatörünü ve εt\varepsilon_t beyaz gürültü sürecini kullanarak aşağıdaki zaman serisi modelini tahmin etmiştir:

(1−1,2B+0,32B2)Yt=(1+0,2B−0,48B2)εt(1 - 1,2 B + 0,32 B^2) Y_t = (1 + 0,2 B - 0,48 B^2) \varepsilon_t

Bu modelin özellikleri ile otokorelasyon (ACF) ve kısmi otokorelasyon (PACF) fonksiyonlarının teorik davranışları dikkate alındığında, aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Model durağan ve tersine çevrilebilirdir; serinin hem ACF hem de PACF grafikleri teorik olarak sıfıra doğru sönümlenir.

Cevap

Modelin durağan ve tersine çevrilebilir olduğunu, ayrıca hem ACF hem de PACF grafiklerinin sönümlenme (tail off) davranışı göstereceğini belirten seçenektir.
Verilen ARMA(2,2) modeli için AR parametreleri ϕ1=1,2\phi_1 = 1,2 ve ϕ2=−0,32\phi_2 = -0,32'dir. Durağanlık şartları olan ϕ1+ϕ2=0,88<1\phi_1 + \phi_2 = 0,88 < 1, ϕ2−ϕ1=−1,52<1\phi_2 - \phi_1 = -1,52 < 1 ve ∣ϕ2∣=0,32<1|\phi_2| = 0,32 < 1 eşitsizlikleri sağlandığı için süreç durağandır. Benzer şekilde MA parametreleri θ1=−0,2\theta_1 = -0,2 ve θ2=0,48\theta_2 = 0,48'dir. θ1+θ2=0,28<1\theta_1 + \theta_2 = 0,28 < 1, θ2−θ1=0,68<1\theta_2 - \theta_1 = 0,68 < 1 ve ∣θ2∣=0,48<1|\theta_2| = 0,48 < 1 eşitsizlikleri sağlandığı için süreç tersine çevrilebilirdir. Bir ARMA sürecinde (AR ve MA derecesi sıfırdan büyükse), otokorelasyon (ACF) ve kısmi otokorelasyon (PACF) fonksiyonları aniden kesilmek (cut off) yerine teorik olarak sönümlenme (tail off) davranışı gösterir. Bu nedenle sürecin özellikleri ve davranışları eksiksiz olarak ifade edilmiştir.

Adım Adım Çözüm

1
Modelin AR(2) kısmının durağanlık koşullarının incelenmesi.
AR polinomu (1−ϕ1B−ϕ2B2)(1 - \phi_1 B - \phi_2 B^2) formatındadır. Modelde (1−1,2B+0,32B2)(1 - 1,2 B + 0,32 B^2) olduğu için ϕ1=1,2\phi_1=1,2 ve ϕ2=−0,32\phi_2=-0,32 bulunur. ϕ1+ϕ2=0,88<1\phi_1+\phi_2 = 0,88 < 1, ϕ2−ϕ1=−1,52<1\phi_2-\phi_1 = -1,52 < 1 ve ∣ϕ2∣=0,32<1|\phi_2| = 0,32 < 1 eşitsizliklerinin üçü de sağlandığı için süreç durağandır.
AR süreçlerinin durağan olması için Box-Jenkins parametre koşullarının (veya köklerin mutlak değerce 11'den büyük olma şartının) sağlanması zorunludur.
2
Modelin MA(2) kısmının tersine çevrilebilirlik koşullarının incelenmesi.
MA polinomu (1−θ1B−θ2B2)(1 - \theta_1 B - \theta_2 B^2) formatındadır. Modelde (1+0,2B−0,48B2)(1 + 0,2 B - 0,48 B^2) olduğu için θ1=−0,2\theta_1=-0,2 ve θ2=0,48\theta_2=0,48 bulunur. θ1+θ2=0,28<1\theta_1+\theta_2 = 0,28 < 1, θ2−θ1=0,68<1\theta_2-\theta_1 = 0,68 < 1 ve ∣θ2∣=0,48<1|\theta_2| = 0,48 < 1 eşitsizlikleri sağlandığı için süreç tersine çevrilebilirdir.
MA süreçlerinin tersine çevrilebilir olması için kendi karakteristik denkleminin köklerinin birim çemberin dışında kalması (veya eşdeğer parametre kısıtlarını sağlaması) gerekir.
3
ARMA(2,2) süreci için ACF ve PACF fonksiyonlarının teorik özelliklerinin belirlenmesi.
Süreç karmaşık bir ARMA(p,q) modeli olduğundan, ne ACF ne de PACF grafikleri belirli bir gecikmeden sonra aniden kesilmez (cut off). Her ikisi de sıfıra doğru sönümlenme (tail off) davranışı gösterir.
ARMA modellerinin yapısı gereği, otoregresif ve hareketli ortalama bileşenleri birbirini etkileyerek otokorelasyonların teorik olarak sonsuza dek azalarak devam etmesine neden olur.

Anahtar Kavram

ARMA modellerinde durağanlık, tersine çevrilebilirlik koşulları ve ACF/PACF teorik davranışları

Alternatif Yöntem

AR ve MA kısımlarının karakteristik denklemlerinin (örneğin 1−1,2x+0,32x2=01 - 1,2 x + 0,32 x^2 = 0) doğrudan köklerini bulmak yerine, ϕ1+ϕ2<1\phi_1 + \phi_2 < 1, ϕ2−ϕ1<1\phi_2 - \phi_1 < 1, ∣ϕ2∣<1|\phi_2| < 1 ve θ1+θ2<1\theta_1 + \theta_2 < 1, θ2−θ1<1\theta_2 - \theta_1 < 1, ∣θ2∣<1|\theta_2| < 1 Box-Jenkins eşitsizlik sistemleri kullanılarak modelin durağanlık ve tersine çevrilebilirliği sınav koşullarında çok daha hızlı kontrol edilebilir.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 6Soru →

Bir zaman serisi uzmanı, bir ekonomik göstergenin zaman içindeki değişimini modellemek amacıyla aşağıdaki ARMA(1,2) sürecini kurgulamıştır:

Yt=0,6Yt−1+εt−0,9εt−1+0,2εt−2Y_t = 0,6 Y_{t-1} + \varepsilon_t - 0,9 \varepsilon_{t-1} + 0,2 \varepsilon_{t-2}

Burada εt\varepsilon_t, sıfır ortalamalı ve sabit varyanslı beyaz gürültü (white noise) terimini temsil etmektedir. Buna göre, bu modelin durağanlık ve tersine çevrilebilirlik (invertibility) özellikleri hakkında aşağıdakilerden hangisi söylenebilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Süreç hem durağanlık hem de tersine çevrilebilirlik koşullarına uygundur.

Cevap

Süreç hem durağanlık hem de tersine çevrilebilirlik koşullarına uygundur.
Verilen modelde AR katsayısı ϕ1=0,6\phi_1 = 0,6 olup ∣0,6∣<1|0,6| < 1 şartını sağladığı için süreç durağandır. MA kısmı için oluşturulan 1−0,9L+0,2L2=01 - 0,9L + 0,2L^2 = 0 denkleminin kökleri 22 ve 2,52,5 olarak bulunur. Her iki kök de birim çemberin dışında (∣L∣>1|L| > 1) yer aldığı için süreç tersine çevrilebilirdir. Dolayısıyla model her iki temel şartı da sağlamaktadır.

Adım Adım Çözüm

1
Otoregresif (AR) kısmının durağanlık kontrolünü yapın.
∣ϕ1∣=∣0,6∣<1|\phi_1| = |0,6| < 1
Birinci dereceden otoregresif bir sürecin durağan olması için katsayının mutlak değerinin 1'den küçük olması gerekir.
2
Hareketli ortalama (MA) kısmının karakteristik denklemini oluşturun.
1−0,9L+0,2L2=01 - 0,9L + 0,2L^2 = 0
Tersine çevrilebilirlik analizi için gecikme operatörü (LL) kullanılarak MA kısmının polinomu sıfıra eşitlenir.
3
Karakteristik denklemin köklerini (LL) hesaplayın.
L1=2L_1 = 2 ve L2=2,5L_2 = 2,5
Δ=(−0,9)2−4(0,2)(1)=0,81−0,8=0,01\Delta = (-0,9)^2 - 4(0,2)(1) = 0,81 - 0,8 = 0,01. Kökler: L=0,9±0,012(0,2)=0,9±0,10,4L = \frac{0,9 \pm \sqrt{0,01}}{2(0,2)} = \frac{0,9 \pm 0,1}{0,4}.
4
Köklerin birim çember ile ilişkisini analiz edin.
∣2∣>1|2| > 1 ve ∣2,5∣>1|2,5| > 1
Tersine çevrilebilirlik için karakteristik denklemin tüm köklerinin mutlak değerce 1'den büyük (birim çemberin dışında) olması şarttır.

Anahtar Kavram

ARMA süreçlerinde durağanlık AR katsayılarına, tersine çevrilebilirlik ise MA katsayılarına (veya köklerine) bağlıdır.

Alternatif Yöntem

MA(2) süreci için tersine çevrilebilirlik şartları katsayılar cinsinden de kontrol edilebilir: ∣θ2∣<1|\theta_2| < 1, θ2+θ1<1\theta_2 + \theta_1 < 1 ve θ2−θ1<1\theta_2 - \theta_1 < 1. Modelde θ1=0,9\theta_1 = 0,9 ve θ2=−0,2\theta_2 = -0,2 alınırsa: ∣−0,2∣<1|-0,2| < 1 (Doğru), −0,2+0,9=0,7<1-0,2 + 0,9 = 0,7 < 1 (Doğru), −0,2−0,9=−1,1<1-0,2 - 0,9 = -1,1 < 1 (Doğru).
Tahmini Süre:1m 40s
Soru 7Soru →

Bir kamu kurumunun aylık bütçe harcamalarını (YtY_t) modellemek isteyen bir istatistikçi, gecikme operatörü LL ve beyaz gürültü serisi ϵt\epsilon_t olmak üzere aşağıdaki modeli kurmuştur:

(1−1,1L+0,3L2)Yt=(1+0,4L)ϵt(1 - 1,1L + 0,3L^2)Y_t = (1 + 0,4L)\epsilon_t

Bu modelin durağanlık (stationarity) ve tersine çevrilebilirlik (invertibility) durumları hakkında aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Model hem durağandır hem de tersine çevrilebilirdir.

Cevap

Verilen ARMA(2,1) modeli, karakteristik kökleri birim çember dışında kaldığı için hem durağandır hem de tersine çevrilebilirdir.
Modelin durağanlık durumu AR kısmına (1−1,1L+0,3L21 - 1,1L + 0,3L^2) bakılarak belirlenir. Bu denklemin kökleri 22 ve 1,671,67 olup her ikisi de 1'den büyük olduğu için model durağandır. Tersine çevrilebilirlik durumu ise MA kısmına (1+0,4L1 + 0,4L) bakılarak belirlenir. Bu denklemin kökü −2,5-2,5 olup mutlak değeri 1'den büyük olduğu için model aynı zamanda tersine çevrilebilirdir.

Adım Adım Çözüm

1
Otoregresif (AR) kısmın karakteristik denklemini kurun ve köklerini bulun.
1−1,1L+0,3L2=01 - 1,1L + 0,3L^2 = 0 denkleminin kökleri L1=2L_1 = 2 ve L2=1,66...L_2 = 1,66... olarak bulunur.
Bir zaman serisinin durağan olması için AR kısmının karakteristik köklerinin mutlak değerce 1'den büyük (∣L∣>1|L| > 1) olması gerekir.
2
Hareketli ortalama (MA) kısmın karakteristik denklemini kurun ve kökünü bulun.
1+0,4L=0⇒L=−2,51 + 0,4L = 0 \Rightarrow L = -2,5 olarak bulunur.
Bir zaman serisinin tersine çevrilebilir olması için MA kısmının karakteristik köklerinin mutlak değerce 1'den büyük (∣L∣>1|L| > 1) olması gerekir.
3
Bulunan kökleri durağanlık ve tersine çevrilebilirlik kriterleri ile karşılaştırın.
∣2∣>1|2| > 1, ∣1,67∣>1|1,67| > 1 (Durağan) ve ∣−2,5∣>1|-2,5| > 1 (Tersine çevrilebilir).
Tüm kökler birim çemberin dışında yer aldığı için model her iki özelliği de taşımaktadır.

Anahtar Kavram

ARMA modellerinde durağanlık AR parametrelerine, tersine çevrilebilirlik ise MA parametrelerine ve bu parametrelerden türetilen karakteristik köklerin birim çember ile ilişkisine bağlıdır.
Soru 8Soru →

Bir finans uzmanı, bir bankanın aylık mevduat faiz oranlarındaki (YtY_t) değişimleri analiz etmektedir. Uzman, seriyi ortalamadan arındırdıktan sonra aşağıdaki ARMA(1,1) modelini kurmuştur:

(1−0,7L)Yt=(1+0,4L)ϵt(1 - 0,7L)Y_t = (1 + 0,4L)\epsilon_t

Burada LL gecikme operatörünü, ϵt\epsilon_t ise beyaz gürültü serisini ifade etmektedir. Bu modelin özellikleri dikkate alındığında, aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Süreç hem durağanlık hem de tersine çevrilebilirlik şartlarını sağlamaktadır.

Cevap

Modelin katsayıları birim çemberin dışında kalan köklere karşılık geldiği için süreç hem durağanlık hem de tersine çevrilebilirlik şartlarını sağlamaktadır.
Verilen ARMA(1,1) modelinde durağanlık şartı AR katsayısı olan ϕ=0,7\phi = 0,7 değerinin mutlak değerce 1'den küçük olmasına (∣0,7∣<1|0,7| < 1) bağlıdır ve bu sağlanmaktadır. Tersine çevrilebilirlik şartı ise MA katsayısı olan θ=−0,4\theta = -0,4 (model 1−θL1 - \theta L formunda yazıldığında) değerinin mutlak değerce 1'den küçük olmasına (∣−0,4∣<1|-0,4| < 1) bağlıdır ve bu da sağlanmaktadır. Dolayısıyla süreç hem durağan hem de tersine çevrilebilirdir.

Adım Adım Çözüm

1
Durağanlık kontrolü için AR polinimunun köklerini incele.
Φ(L)=1−0,7L=0⇒L=1/0,7≈1,43Φ(L) = 1 - 0,7L = 0 \Rightarrow L = 1/0,7 \approx 1,43.
Kökün mutlak değeri 1'den büyük (∣1,43∣>1|1,43| > 1) olduğu için süreç durağandır.
2
Tersine çevrilebilirlik kontrolü için MA polinimunun köklerini incele.
Θ(L)=1+0,4L=0⇒L=−1/0,4=−2,5Θ(L) = 1 + 0,4L = 0 \Rightarrow L = -1/0,4 = -2,5.
Kökün mutlak değeri 1'den büyük (∣−2,5∣>1|-2,5| > 1) olduğu için süreç tersine çevrilebilirdir.
3
ACF ve PACF davranışını değerlendir.
Hem ACF hem de PACF geometrik olarak sönümlenir.
Karma ARMA(p,q) modellerinde ne ACF ne de PACF belirli bir gecikmeden sonra kesilmez; her ikisi de sönümlenme eğilimi gösterir.

Anahtar Kavram

ARMA modellerinde durağanlık AR parametrelerine, tersine çevrilebilirlik ise MA parametrelerine bağlıdır.

Daha Fazla Pratik

ARMA(2,1) modellerinde durağanlık için katsayılar arasındaki eşitsizlikleri (Schur-Cohn kriterleri) inceleyen sorulara göz atabilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Katsayıların mutlak değerini kontrol etmek yerine polinomların köklerini (LL değerlerini) bularak bunların birim çemberin dışında kalıp kalmadığına bakılabilir. Φ(L)=0\Phi(L)=0 kökü 1,43>11,43 > 1 (durağan) ve Θ(L)=0\Theta(L)=0 kökü ∣−2,5∣>1|-2,5| > 1 (tersine çevrilebilir) sonuçlarını verir.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 9Soru →

Bir tarım birliği, buğday verimindeki yıllık dalgalanmaları (YtY_t) analiz etmek amacıyla aşağıdaki ARMA(1,1) modelini kurmuştur:

Yt=0,7Yt−1+ϵt−0,4ϵt−1Y_t = 0,7 Y_{t-1} + \epsilon_t - 0,4 \epsilon_{t-1}

Buna göre, bu modelin durağan (stationary) bir süreç olması için sağlanması gereken temel koşul aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: ∣0,7∣<1|0,7| < 1

Cevap

Modelin durağan olması için sadece otoregresif katsayının mutlak değerce 1'den küçük olması (∣0,7∣<1|0,7| < 1) gerekmektedir.
ARMA(p,q) modellerinin durağanlığı (stationarity), serinin istatistiksel özelliklerinin zaman içinde değişmemesi anlamına gelir ve bu durum sadece modelin otoregresif (AR) kısmındaki katsayılar tarafından belirlenir. Verilen Yt=0,7Yt−1+ϵt−0,4ϵt−1Y_t = 0,7 Y_{t-1} + \epsilon_t - 0,4 \epsilon_{t-1} modelinde, AR(1) katsayısı ϕ1=0,7\phi_1 = 0,7 olduğu için durağanlık koşulu ∣0,7∣<1|0,7| < 1 ifadesidir.

Adım Adım Çözüm

1
Modeldeki katsayıları ve rollerini belirleyin.
ϕ1=0,7\phi_1 = 0,7 (AR katsayısı) ve θ1=−0,4\theta_1 = -0,4 (MA katsayısı).
Hangi katsayının hangi özelliği (durağanlık veya tersine çevrilebilirlik) kontrol ettiğini ayırt etmek için.
2
Durağanlık (stationarity) kuralını ARMA modelleri için hatırlayın.
Bir ARMA(p,q) modelinin durağanlığı tamamen AR kısmının parametrelerine bağlıdır ve MA kısmından bağımsızdır.
Yanlış katsayıya (MA) kısıt uygulama hatasından kaçınmak için.
3
Birinci dereceden otoregresif yapı için durağanlık koşulunu uygulayın.
∣ϕ1∣<1|\phi_1| < 1 olması gerektiğinden, doğru koşul ∣0,7∣<1|0,7| < 1 şeklindedir.
Verilen model için spesifik matematiksel gerekliliği saptamak için.

Anahtar Kavram

ARMA Modellerinde Durağanlık Koşulu
Tahmini Süre:45s
Soru 10Soru →
Bir kamu iktisadi teşebbüsünde görevli istatistikçi, kurumun aylık ham madde stok düzeylerini (YtY_t) analiz etmek amacıyla gecikme operatörü (LL) kullanarak aşağıdaki zaman serisi modelini kurmuştur:
(1−0,4L)Yt=(1+0,7L)ϵt(1 - 0,4L) Y_t = (1 + 0,7L) \epsilon_t
Burada ϵt\epsilon_t beyaz gürültü serisini ifade etmektedir. Buna göre, bu modelin türü ve durağanlık durumu hakkında aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: ARMA(1,1) modelidir ve durağandır.

Cevap

Model ARMA(1,1) yapısındadır ve otoregresif katsayısı mutlak değerce 1'den küçük olduğu için durağandır.
Verilen modelde YtY_t teriminin katsayılar polinomu (1−0,4L)(1 - 0,4L) birinci dereceden olduğu için p=1p=1, hata terimi ϵt\epsilon_t katsayılar polinomu (1+0,7L)(1 + 0,7L) birinci dereceden olduğu için q=1q=1'dir. Bu durum modelin ARMA(1,1) olduğunu gösterir. Durağanlık için AR katsayısı olan 0,4'ün mutlak değeri incelenir; ∣0,4∣<1|0,4| < 1 olduğu için süreç durağandır.

Adım Adım Çözüm

1
Modelin yapısını gecikme operatörü üzerinden tanımlama
Model (1−ϕL)Yt=(1+θL)ϵt(1 - \phi L) Y_t = (1 + \theta L) \epsilon_t formundadır.
AR ve MA kısımlarının derecelerini belirlemek için standart gösterimle karşılaştırma yapılır.
2
Modelin derecelerini (p,q) belirleme
p=1p=1 ve q=1q=1 olduğu görülür.
AR polinomu 1−0,4L1 - 0,4L (1. derece) ve MA polinomu 1+0,7L1 + 0,7L (1. derece) olduğu için model ARMA(1,1) tipindedir.
3
Durağanlık şartını kontrol etme
∣ϕ∣=∣0,4∣<1|\phi| = |0,4| < 1 şartı sağlanmaktadır.
ARMA modellerinde durağanlık sadece AR kısmına bağlıdır ve AR(1) katsayısının mutlak değerinin 1'den küçük olması yeterlidir.

Anahtar Kavram

ARMA(p,q) modellerinin gecikme operatörü ile gösterimi ve durağanlık kriterleri
Soru 11Soru →

Bir hava kalitesi izleme merkezinde, şehirdeki günlük karbonmonoksit salınım düzeylerini (YtY_t) modellemek için aşağıdaki ARMA(1,1) süreci belirlenmiştir:

Yt=0,3Yt−1+ϵt−0,5ϵt−1Y_t = 0,3 Y_{t-1} + \epsilon_t - 0,5 \epsilon_{t-1}

Burada ϵt\epsilon_t beyaz gürültü (white noise) sürecini ifade etmektedir. Bu modelin durağanlık (stationarity) ve tersinirlik (invertibility) özellikleri ile ilgili aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Model hem durağandır hem de tersinirdir.

Cevap

Modelin hem durağan hem de tersinir olduğunu belirten ifade doğrudur.
Verilen ARMA(1,1) modelinde Yt−1Y_{t-1} teriminin katsayısı (AR bileşeni) 0,3'tür. Birinci dereceden otoregresif süreçlerde durağanlık için bu katsayının mutlak değerinin 1'den küçük olması gerekir (∣0,3∣<1|0,3| < 1). Benzer şekilde, ϵt−1\epsilon_{t-1} teriminin katsayısı (MA bileşeni) -0,5'tir. Birinci dereceden hareketli ortalama süreçlerinde tersinirlik için bu katsayının mutlak değerinin 1'den küçük olması gerekir (∣−0,5∣<1|-0,5| < 1). Her iki katsayı da ilgili aralıkta olduğu için model hem durağan hem de tersinirdir.

Adım Adım Çözüm

1
Otoregresif (AR) katsayısını belirleme ve durağanlık kontrolü yapma
ϕ1=0,3\phi_1 = 0,3. ∣0,3∣<1|0,3| < 1 olduğu için süreç durağandır.
ARMA(p,q) modellerinde durağanlık sadece AR kısmına bağlıdır ve AR(1) için ∣ϕ∣<1|\phi| < 1 olmalıdır.
2
Hareketli ortalama (MA) katsayısını belirleme ve tersinirlik kontrolü yapma
θ1=0,5\theta_1 = 0,5. ∣−0,5∣<1|-0,5| < 1 olduğu için süreç tersinirdir.
ARMA(p,q) modellerinde tersinirlik sadece MA kısmına bağlıdır ve MA(1) için ∣θ∣<1|\theta| < 1 olmalıdır.
3
Elde edilen sonuçları birleştirme
Hem ∣0,3∣<1|0,3| < 1 hem de ∣−0,5∣<1|-0,5| < 1 koşulları sağlandığı için model hem durağan hem de tersinirdir.
Her iki yapısal koşulun da parametre değerleri tarafından karşılandığını teyit etmek.

Anahtar Kavram

ARMA(1,1) modellerinde durağanlık AR katsayısına, tersinirlik ise MA katsayısına bağlıdır.

Daha Fazla Pratik

Daha karmaşık modeller için AR(2) katsayılarının toplamının 1'den küçük olma kuralını inceleyebilirsiniz.
Tahmini Süre:45s
Soru 12Soru →

Bir büyükşehir belediyesi, aylık bütçe gelirlerini (YtY_t) öngörmek amacıyla aşağıdaki zaman serisi modelini kurmuştur:

(1−0,7L)Yt=(1+0,2L)ϵt(1 - 0,7L)Y_t = (1 + 0,2L)\epsilon_t

Burada LL gecikme operatörünü, ϵt\epsilon_t ise beyaz gürültü serisini ifade etmektedir. Buna göre, kurulan bu modelin durağanlık ve tersinirlik özellikleri hakkında aşağıdakilerden hangisi söylenebilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Modelin hem durağanlık hem de tersinirlik koşulları sağlanmaktadır.

Cevap

Modelin hem durağanlık hem de tersinirlik koşulları sağlanmaktadır.
Verilen modelde 1−0,7L1 - 0,7L ifadesindeki ϕ=0,7\phi = 0,7 değeri 1'den küçük olduğu için model durağandır. Benzer şekilde, 1+0,2L1 + 0,2L ifadesindeki θ=0,2\theta = 0,2 değeri (veya karakteristik kökün mutlak değeri) tersinirlik şartını sağlayan aralıktadır. Bu nedenle model hem durağanlık hem de tersinirlik özelliklerini bir arada taşır.

Adım Adım Çözüm

1
Modeldeki AR ve MA katsayılarını belirleyin.
AR katsayısı ϕ1=0,7\phi_1 = 0,7 ve MA katsayısı θ1=0,2\theta_1 = 0,2 olarak belirlenmiştir.
ARMA(1,1) modelinde durağanlık AR kısmına, tersinirlik ise MA kısmına bağlıdır.
2
Durağanlık koşulunu (∣ϕ1∣<1|\phi_1| < 1) kontrol edin.
∣0,7∣=0,7<1|0,7| = 0,7 < 1 olduğu görülmektedir.
AR(1) sürecinin durağan olması için parametrenin mutlak değeri 1'den küçük olmalıdır.
3
Tersinirlik koşulunu (∣θ1∣<1|\theta_1| < 1) kontrol edin.
∣0,2∣=0,2<1|0,2| = 0,2 < 1 olduğu görülmektedir.
MA(1) sürecinin tersinir olması için parametrenin mutlak değeri 1'den küçük olmalıdır.

Anahtar Kavram

ARMA(1,1) Modellerinde Durağanlık ve Tersinirlik

Alternatif Yöntem

Karakteristik denklemlerin köklerini bularak (L1=1/0,7L_1 = 1/0,7 ve L2=−1/0,2L_2 = -1/0,2) köklerin mutlak değerce 1'den büyük olup olmadığını kontrol ederek de aynı sonuca ulaşılabilir.
Tahmini Süre:45s
Soru 13Soru →

Bir kamu iktisadi teşebbüsünün aylık üretim verileri üzerinde yapılan zaman serisi analizinde, serinin durağan olduğu belirlendikten sonra model kimliklendirme (identification) aşamasına geçilmiştir. Yapılan incelemede, otokorelasyon fonksiyonunun (ACF) 1. gecikmeden sonra aniden sıfıra kesildiği, kısmi otokorelasyon fonksiyonunun (PACF) ise üstel olarak sönümlendiği gözlenmiştir.

Buna göre, bu süreci ifade etmek için önerilecek en uygun model aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Birinci dereceden hareketli ortalama süreci: MA(1)MA(1) (Yt=ϵt+θϵt−1Y_t = \epsilon_t + \theta \epsilon_{t-1})

Cevap

Birinci dereceden hareketli ortalama süreci olan MA(1), ACF grafiğinin 1. gecikmeden sonra kesilmesi ve PACF grafiğinin sönümlenmesi özelliğiyle bu veriye en uygun modeldir.
Doğru cevap olan birinci dereceden hareketli ortalama süreci (MA(1)), zaman serisi literatüründe otokorelasyon fonksiyonunun (ACF) tam olarak modelin derecesi olan 1. gecikmeden sonra sıfıra düşmesiyle karakterize edilir. Bu süreçte kısmi otokorelasyon fonksiyonu (PACF) ise üstel veya sinüzoidal bir şekilde azalarak sönümlenir.

Adım Adım Çözüm

1
Otokorelasyon fonksiyonunun (ACF) davranışını analiz edin.
ACF 1. gecikmeden sonra kesilmektedir.
ACF'nin bir noktada aniden sıfıra düşmesi (kesilmesi), sürecin bir Hareketli Ortalama (MA) süreci olduğunu ve derecesinin (q) kesilme noktasına eşit olduğunu gösterir.
2
Kısmi otokorelasyon fonksiyonunun (PACF) davranışını analiz edin.
PACF sönümlenmektedir (dies out).
PACF'nin sönümlenmesi, sürecin saf bir otoregresif süreç olmadığını, MA bileşeninin baskın olduğunu teyit eder.
3
Sonuçları birleştirerek uygun modeli belirleyin.
q = 1 olan bir MA süreci, yani MA(1) belirlenmiştir.
ACF'nin q. gecikmede kesilmesi ve PACF'nin sönümlenmesi MA(q) modelinin tipik özelliğidir.

Anahtar Kavram

Zaman serilerinde model kimliklendirme (identification) için ACF ve PACF grafiklerinin teorik davranışlarının karşılaştırılması.

Daha Fazla Pratik

Bir AR(1) süreci için ACF ve PACF davranışlarının nasıl değişeceğini düşünerek bilgilerinizi pekiştirebilirsiniz.
Tahmini Süre:45s
Soru 14Soru →

Bir ilin aylık tüketici fiyat endeksi (TÜFE) verilerini analiz eden bir uzman, serinin yapısını incelemek amacıyla aşağıdaki zaman serisi modelini kurmuştur:

(1−0,7L)Yt=(1+0,4L)ϵt(1 - 0,7L)Y_t = (1 + 0,4L)\epsilon_t

Bu modelde LL gecikme operatörünü, ϵt\epsilon_t ise beyaz gürültü sürecini temsil etmektedir. Buna göre, uzman tarafından kurulan bu modelin türü ve durağanlık durumu aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: ARMA(1,1) yapısındadır ve durağandır.

Cevap

Model ARMA(1,1) yapısındadır ve durağandır.
Verilen modelde YtY_t üzerindeki gecikme derecesi 1 (p=1p=1) ve hata terimi ϵt\epsilon_t üzerindeki gecikme derecesi 1 (q=1q=1) olduğu için model ARMA(1,1) yapısındadır. Ayrıca AR kısmındaki katsayı olan 0,7'nin mutlak değeri 1'den küçük olduğu için durağanlık şartı sağlanmaktadır.

Adım Adım Çözüm

1
Modelin derecelerini belirleme
p=1p=1 ve q=1q=1
Sol taraftaki (1−0,7L)(1 - 0,7L) ifadesi birinci dereceden otoregresif (AR) kısmı, sağ taraftaki (1+0,4L)(1 + 0,4L) ifadesi ise birinci dereceden hareketli ortalama (MA) kısmını temsil eder.
2
Model türünü tanımlama
ARMA(1,1)
Hem AR hem de MA kısımları içerdiği için model birleşik ARMA modelidir.
3
Durağanlık şartını kontrol etme
∣0,7∣<1|0,7| < 1 (Durağan)
Birinci dereceden bir sürecin durağan olması için AR katsayısının mutlak değerinin 1'den küçük olması gerekir.

Anahtar Kavram

ARMA(p,q) modellerinde derecelerin tespiti ve durağanlık koşulu
Soru 15Soru →

Bir e-ticaret platformunun günlük aktif kullanıcı sayısındaki değişimi analiz eden bir veri bilimci, serinin durağanlaştırılmış halini (YtY_t) modellemek için aşağıdaki ARMA(2,1) sürecini önermiştir:

(1−ϕ1L−ϕ2L2)Yt=(1−θ1L)εt(1 - \phi_1 L - \phi_2 L^2)Y_t = (1 - \theta_1 L)\varepsilon_t

Bu denklemde LL gecikme (backshift) operatörünü, εt\varepsilon_t ise sıfır ortalamalı ve sabit varyanslı beyaz gürültü sürecini temsil etmektedir.

Buna göre, kurulan bu modelin hem durağan (stationary) hem de tersine çevrilebilir (invertible) olması için parametrelerin sağlaması gereken koşullar aşağıdakilerin hangisinde birlikte ve doğru olarak verilmiştir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: ϕ1+ϕ2<1,ϕ2−ϕ1<1,∣ϕ2∣<1ve∣θ1∣<1\phi_1 + \phi_2 < 1 \quad , \quad \phi_2 - \phi_1 < 1 \quad , \quad |\phi_2| < 1 \quad \text{ve} \quad |\theta_1| < 1

Cevap

ϕ1+ϕ2<1,ϕ2−ϕ1<1,∣ϕ2∣<1ve∣θ1∣<1\phi_1 + \phi_2 < 1 \quad , \quad \phi_2 - \phi_1 < 1 \quad , \quad |\phi_2| < 1 \quad \text{ve} \quad |\theta_1| < 1 eşitsizliklerinin birlikte verildiği seçenektir.
Bir ARMA(2,1) modelinin durağan olabilmesi için AR(2) kısmına ait karakteristik denklemin kökleri birim çemberin dışında yer almalıdır. Bu durumun sağlanması için parametrelerin ϕ1+ϕ2<1\phi_1 + \phi_2 < 1, ϕ2−ϕ1<1\phi_2 - \phi_1 < 1 ve ∣ϕ2∣<1|\phi_2| < 1 olmak üzere üç eşitsizliği birden sağlaması gerekir. Modelin tersine çevrilebilir olması ise MA(1) kısmının kökünün birim çember dışında kalmasına bağlıdır ve bu koşul ∣θ1∣<1|\theta_1| < 1 şeklinde ifade edilir. Bu nedenle, hem AR(2) hem de MA(1) kısımlarının şartlarını eksiksiz barındıran ifade doğru cevaptır.

Adım Adım Çözüm

1
Modelin yapısını ve durağanlık ile tersine çevrilebilirlik şartlarının hangi bileşenlere bağlı olduğunu belirlemek.
Durağanlık AR(2) kısmına, tersine çevrilebilirlik ise MA(1) kısmına bağlıdır.
ARMA modellerinde durağanlığı otoregresif kısım (1−ϕ1L−ϕ2L21 - \phi_1 L - \phi_2 L^2), tersine çevrilebilirliği ise hareketli ortalama kısmı (1−θ1L1 - \theta_1 L) belirler.
2
AR(2) süreci için durağanlık koşullarını tanımlamak.
Durağanlık için karakteristik denklemin köklerinin mutlak değeri 1'den büyük olmalıdır. Bunun için üç eşitsizlik gereklidir: ϕ1+ϕ2<1\phi_1 + \phi_2 < 1, ϕ2−ϕ1<1\phi_2 - \phi_1 < 1 ve ∣ϕ2∣<1|\phi_2| < 1.
İkinci dereceden bir fark denkleminin kararlılık (durağanlık) şartları matematiksel olarak bu üçgensel bölge ile ifade edilir.
3
MA(1) süreci için tersine çevrilebilirlik koşulunu tanımlamak.
MA(1) parametresi mutlak değerce 1'den küçük olmalıdır: ∣θ1∣<1|\theta_1| < 1.
MA modelinin AR formatında sonsuz bir seri olarak ifade edilebilmesi için MA karakteristik denkleminin kökünün birim çemberin dışında olması gerekir.

Anahtar Kavram

ARMA Modellerinde Durağanlık ve Tersine Çevrilebilirlik Koşulları
Soru 16Soru →

Bir makroekonomik değişkenin davranışını inceleyen bir uzman, durağan olduğunu varsaydığı YtY_t zaman serisinin Otokorelasyon Fonksiyonu (ACF) ve Kısmi Otokorelasyon Fonksiyonunun (PACF) her ikisinin de sönümlenerek azaldığını belirlemiş ve seriye bir ARMA(2, 1) modeli kurmaya karar vermiştir.

Analiz sonucunda elde edilen tahminlere göre, aşağıdaki modellerden hangisi hem durağanlık hem de tersine çevrilebilirlik koşullarını eşanlı olarak sağlamaktadır?

(Not: BB, gecikme operatörünü ve εt\varepsilon_t, beyaz gürültü sürecini temsil etmektedir.)

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: (1−0.8B+0.15B2)Yt=(1+0.4B)εt(1 - 0.8B + 0.15B^2)Y_t = (1 + 0.4B)\varepsilon_t

Cevap

(1−0.8B+0.15B2)Yt=(1+0.4B)εt(1 - 0.8B + 0.15B^2)Y_t = (1 + 0.4B)\varepsilon_t modeli hem durağanlık hem de tersine çevrilebilirlik koşullarını eşanlı olarak sağlar.
Doğru modelde, karakteristik AR denklemi (1−0.8B+0.15B2)(1 - 0.8B + 0.15B^2) şeklindedir. ϕ1=0.8\phi_1=0.8 ve ϕ2=−0.15\phi_2=-0.15 iken ϕ1+ϕ2=0.65<1\phi_1+\phi_2=0.65<1, ϕ2−ϕ1=−0.95<1\phi_2-\phi_1=-0.95<1 ve ∣ϕ2∣=0.15<1|\phi_2|=0.15<1 eşitsizlikleri eşanlı sağlandığı için süreç durağandır. Benzer şekilde karakteristik MA denklemi (1+0.4B)(1 + 0.4B) kökü mutlak değerce 1'den büyük olduğu için (katsayı ∣0.4∣<1|0.4|<1) süreç tersine çevrilebilirdir.

Adım Adım Çözüm

1
ARMA(2,1) modelinin genel yapısında durağanlık ve tersine çevrilebilirlik koşullarını belirlemek.
Durağanlık için AR katsayıları ϕ1+ϕ2<1\phi_1+\phi_2<1, ϕ2−ϕ1<1\phi_2-\phi_1<1 ve ∣ϕ2∣<1|\phi_2|<1 olmalıdır. Tersine çevrilebilirlik için MA katsayısının mutlak değeri ∣θ1∣<1|\theta_1|<1 olmalıdır.
Model (1−ϕ1B−ϕ2B2)Yt=(1+θ1B)εt(1 - \phi_1 B - \phi_2 B^2)Y_t = (1 + \theta_1 B)\varepsilon_t formunda yazıldığında, karakteristik polinom köklerinin birim çemberin dışında yer alması bu eşitsizlikleri gerektirir.
2
Seçeneklerdeki modellerin AR kısımlarının durağanlık koşullarını test etmek.
Sadece (1−0.8B+0.15B2)(1 - 0.8B + 0.15B^2) ve (1−1.2B+0.5B2)(1 - 1.2B + 0.5B^2) terimlerini içeren modeller üç durağanlık koşulunu da aynı anda sağlamaktadır.
Durağanlık için gerekli üç AR(2) eşitsizlik kısıtının da aynı anda sağlanması şarttır.
3
Durağanlığı sağlayan modeller arasında MA kısmının tersine çevrilebilirlik koşulunu test etmek.
Durağan olan (1−0.8B+0.15B2)Yt=(1+0.4B)εt(1 - 0.8B + 0.15B^2)Y_t = (1 + 0.4B)\varepsilon_t modelinde MA katsayısı ∣0.4∣<1|0.4| < 1 olduğu için süreç aynı zamanda tersine çevrilebilirdir. Diğer durağan modelde ise ∣−1.5∣>1|-1.5| > 1 olduğundan tersine çevrilebilirlik sağlanmaz.
Tersine çevrilebilirlik için karakteristik MA denkleminin kökü birim çemberin dışında yer almalı, yani katsayının mutlak değeri 1'den küçük olmalıdır.

Anahtar Kavram

ARMA Modellerinde Durağanlık ve Tersine Çevrilebilirlik Koşulları
ARMA Modelleri Alıştırma Soruları — KPSS İstatistik | Examkin