Examkin

Soru

Zorluk: OrtaTersinirlik Kavramı ve Koşulları

Zaman serisi analizinde, bir Hareketli Ortalama (MA) sürecinin gözlemlenen değerler cinsinden sonsuz bir Otoregresif (AR) sürece dönüştürülebilmesi "tersinirlik" (invertibility) özelliği ile açıklanır. LL gecikme operatörünü (LXt=Xt−1LX_t = X_{t-1}) ve ϵt∼WN(0,σ2)\epsilon_t \sim WN(0, \sigma^2) beyaz gürültü sürecini temsil etmek üzere, Xt=ϵt−θ1ϵt−1+0,24ϵt−2X_t = \epsilon_t - \theta_1 \epsilon_{t-1} + 0,24 \epsilon_{t-2} şeklinde tanımlanan bir MA(2) sürecinin tersinir olması için θ1\theta_1 parametresinin alabileceği değer aralığı aşağıdakilerden hangisidir?

  1. −1,24<θ1<1,24-1,24 < \theta_1 < 1,24Cevap
  2. B
    −1<θ1<1-1 < \theta_1 < 1
  3. C
    −0,76<θ1<0,76-0,76 < \theta_1 < 0,76
  4. D
    θ1<1,24\theta_1 < 1,24
  5. E
    ∣θ1∣<0,24|\theta_1| < 0,24

Cevap

Sürecin tersinir olması için θ1\theta_1 parametresi −1,24<θ1<1,24-1,24 < \theta_1 < 1,24 aralığında olmalıdır.
Verilen Xt=ϵt−θ1ϵt−1+0,24ϵt−2X_t = \epsilon_t - \theta_1 \epsilon_{t-1} + 0,24 \epsilon_{t-2} modelinde MA bileşenleri θ1\theta_1 ve θ2=−0,24\theta_2 = -0,24 olarak tanımlanmıştır. Bir MA(2) sürecinin tersinir olması için karakteristik denklemin köklerinin birim çemberin dışında olması gerekir, bu da katsayılar üzerinde şu üç şartı gerektirir: θ2+θ1<1\theta_2 + \theta_1 < 1, θ2−θ1<1\theta_2 - \theta_1 < 1 ve ∣θ2∣<1|\theta_2| < 1. İkinci katsayı −0,24-0,24 yerine konulduğunda θ1<1,24\theta_1 < 1,24 ve θ1>−1,24\theta_1 > -1,24 eşitsizlikleri elde edilir. Dolayısıyla θ1\theta_1 bu iki değer arasında olmalıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Modelin karakteristik denklemini ve katsayılarını belirleme
θ(L)=1−θ1L+0,24L2\theta(L) = 1 - \theta_1 L + 0,24 L^2. Standart form 1−ϕ1L−ϕ2L21 - \phi_1 L - \phi_2 L^2 ile karşılaştırıldığında ϕ1=θ1\phi_1 = \theta_1 ve ϕ2=−0,24\phi_2 = -0,24 elde edilir.
Tersinirlik koşulları karakteristik denklemin katsayıları üzerinden tanımlanır.
2
MA(2) süreci için tersinirlik (kararlılık üçgeni) koşullarını uygulama
1) ϕ1+ϕ2<1\phi_1 + \phi_2 < 1, 2) ϕ2−ϕ1<1\phi_2 - \phi_1 < 1, 3) ∣ϕ2∣<1|\phi_2| < 1.
İkinci derece bir polinomun köklerinin birim çemberin dışında kalması için bu üç koşulun aynı anda sağlanması gerekir.
3
Verilen değerleri koşullarda yerine koyarak θ1\theta_1 aralığını hesaplama
1) θ1−0,24<1⇒θ1<1,24\theta_1 - 0,24 < 1 \Rightarrow \theta_1 < 1,24. 2) −0,24−θ1<1⇒−1,24<θ1-0,24 - \theta_1 < 1 \Rightarrow -1,24 < \theta_1. 3) ∣−0,24∣<1|-0,24| < 1 (Sağlanır).
Elde edilen eşitsizliklerin kesişimi nihai parametre aralığını verir.

Anahtar Kavram

MA(2) Süreçlerinde Tersinirlik Koşulları

Daha Fazla Pratik

Farklı MA(2) katsayıları ile kök analizi yaparak tersinirlik bölgesini grafik üzerinde inceleyebilirsiniz.
Tahmini Süre:1m 40s
Bu soruyu puanla

Konular

Tersinirlik Kavramı ve Koşulları

Bu konudan daha fazla soru